实数的完备性 (2)

1、 实数的完备性 完备性是实数集的一个十分重要的性质，它不但是实分析的理论基础，而且是泛函分析中各种抽象空间的空间性质的丰富源泉。完备性通俗地讲就是对极限“运算”是封闭的。其中的柯西收敛原理在现代数学中利用它来定义各种抽象空间的完备性。 在高等数学中大家学过几个关于数列极限的存在定理。比如单调有界定理，柯西收敛原理，有界数列必有收敛之列等，这些定理都刻画了实数的完备性。还有几个定理与之等价，区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，他们一起构成了实数完备性定理。定义定义1nnab,:设闭区间列满足如下条件设闭区间列满足如下条件111. , ,1, 2,nnnnababn2. lim()0 ,nnnba

2、,.nnab则则称称为为闭闭区区间间套套 简简称称区区间间套套定义定义1 中的条件中的条件1 实际上等价于条件实际上等价于条件1221.nnaaabbb一、区间套定理nna aa a121nnbbb b12 1定理定理1(区间套定理区间套定理),nnab若若是是一一个个区区间间套套, 则则存存在在唯唯一一的的实实数数使使,1, 2,nnabn 或者或者. ,1nnnba 证证 由定义由定义1 的条件的条件1 可知可知, 数列数列an递增递增, 有上界有上界b1. .所以由所以由单调有界定理单调有界定理, 可知可知 an 的极限存在的极限存在. x 从而由定义从而由定义1 的条件的条件2 可得可

3、得.lim)(limlim nnnnnnnaabb因为因为 an 递增递增, bn 递减递减, 所以所以,nnba 下面来证明唯一性下面来证明唯一性. 设设 1 也满足也满足,1nnba ,limnna 设设这样就证明了这样就证明了 的存在性的存在性. 注注 区间套定理中的闭区间若改为开区间区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结那么结论不一定成立论不一定成立. 例如对于开区间列例如对于开区间列 , 显然显然10n，但是定理但是定理1中的中的 是不存在的是不存在的, 这是因为这是因为110,.nn 111.0,0,1, 2,1nnn 12.lim00.nn推论推论 , 2 , 1, nban

4、n 若若 是区间套是区间套 所确定所确定的点的点 ,nnba有有，则则, 00NnN ).,(, Ubann ( ) nanb区间套定理区间套定理主要用于主要用于存在性存在性问题的研究问题的研究. . 存在性的问题是数学分析的核心问题存在性的问题是数学分析的核心问题, ,许多问题都归结许多问题都归结为证明存在某种性质的点为证明存在某种性质的点. . 如果没有实数的基本定理如果没有实数的基本定理( (单调有界定理单调有界定理, ,区间套定理等区间套定理等) )，这种存在性的回答是非常困难的这种存在性的回答是非常困难的. . 用区间套证题通常分为三个步骤：用区间套证题通常分为三个步骤： (1) 分

5、析所要证明存在的点满足的所谓分析所要证明存在的点满足的所谓“邻域性质邻域性质”，由此，由此构造区间套（这一步往往是技术性的构造区间套（这一步往往是技术性的,有一定的难度）；有一定的难度）；(2) 由区间套定理由区间套定理,确认点的存在性（关键的一步）；确认点的存在性（关键的一步）；(3) 验证所得到的点就是所要找的点验证所得到的点就是所要找的点. 在什么情况下应用闭区间套定理呢？在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说一般来说, 证明问证明问题需要找到具有某种题需要找到具有某种性质性质 P 的一个数的一个数,常常应用闭区间套定理常常应用闭区间套定理将这个数将这个数“套套”出来。出来。 怎样应

6、用闭区间套定理呢怎样应用闭区间套定理呢? 首先构造一个具有性质首先构造一个具有性质P的闭区间的闭区间. 性质要根据性质性质要根据性质P来定。来定。 其次，其次，通常采用通常采用二等分法二等分法， 将此闭区将此闭区间间二等分二等分 ，至少有至少有一个闭区间具有性质一个闭区间具有性质P。 继续二等分法，继续二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P 的的闭区间列闭区间列，根据闭区间套定理根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性就得到唯一一个具有性质质P的数。的数。., 0, 0 mnnaaNnmNa有有收收敛敛证证: (必要性必要性) ,limAann 设

7、设2/, AaNnmn有有对对.2/ Aam及及.2/2/| AaAaaamnmn, 0, 0 N 则对则对:Cauchy2收敛准则）收敛准则）（定理定理 充分性充分性 ., 0, 0 NnaaNnN有有即在区间即在区间 内含有内含有 中中几乎所几乎所有的项有的项., NNaana几乎所有项，几乎所有项，内含内含在在令令21,21,21111nNNaaaN ,21,211111 NNaa ，记记., 0mnnaaNnmNa有有收收敛敛几乎所有项，几乎所有项，内含内含在在令令21,21,21222222nNNaaaN ,21,2111222222 ，记记 NNaa几乎所有项，几乎所有项，也含也含

8、，则则22na n21212143，依依次次令令 仿以上方法得到闭区间列仿以上方法得到闭区间列 ,nn 几乎所有项，几乎所有项，其中每个区间都包含其中每个区间都包含na, 2 , 1, 11 nnnnn 且且),( , 0211 nnnn 是闭区间套。是闭区间套。即即, nn 由区间套定理，存在唯一的一个数由区间套定理，存在唯一的一个数 , 2 , 1, nnn 由推论得由推论得 ：有有，, 00NnN ).,(, Unn 因此在因此在 内含有内含有 中除有限项外的所有项中除有限项外的所有项， );( Una.lim nna即即 柯西收敛原理的意义不仅在于它提供了判断数列收敛的一个充分必要条件

9、，而且，他还是刻画实数完备性的最常用的表达形式。在现在数学中，正是利用它来定义各种抽象空间的完备性的。因此，常常称它为完备性定理。二、聚点定理二、聚点定理 设设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也，也可以不属于可以不属于S）。）。 若若 的的任何邻域任何邻域内都含有内都含有S中中无穷多无穷多个点，则称个点，则称 为点集为点集S的一个的一个聚点聚点。 的聚点为的聚点为如如1)1( nSn . 1, 1 的聚点为的聚点为1 nnS, 1 的的聚聚点点为为),( baS ,ba)(:2聚点的定义聚点的定义定义定义整数集整数集Z和自然数集和自然数集N没有聚点。没

10、有聚点。任何有限数集没有聚点任何有限数集没有聚点. 聚点概念的另两个等价定义聚点概念的另两个等价定义: 2 定义定义,);(, SUSSo 的点，即的点，即异于异于中中邻域内都含有邻域内都含有的任意的任意若点若点对于点集对于点集则称则称 为为S的一个聚点。的一个聚点。 2 定义定义若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列 ,Sxn 的一个聚点。的一个聚点。为为则称则称Sxnn , lim 显然，显然，2 2 2 定义定义定义定义定义定义三个定义等价性的证明三个定义等价性的证明: : 22 定义定义定义定义只需证：只需证：设设 为为S（按定义（按定义 ）的聚点，）的聚点， 2 ,),(,

11、 0SUx ，则则取取SUx);(, 1111 ，则则取取SUxx);(|,| , 2/1min2212 ，显显然然12 xx ，则则取取SUxxnnnnn);(|,| ,/1min1 互异，互异，与与且且121 nnxxxx ()1x1 2x)(2 注意这种技巧！注意这种技巧！无限地重复以上步骤，得到无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列中各项互异的数列 ,nx，且且满满足足：nxnn1| .lim nnx从从而而证毕。证毕。定理定理3 (维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（Weierstrass)聚点定理聚点定理)实轴上的任意有界无限点集实轴上的任意有界无限点集 E 至少有一个聚点。至少有一个

12、聚点。证：证： 因为因为E是有界点集，是有界点集， ，使使, 0MMEM ，记记,11MMba 现将现将 等分为两个子区间。等分为两个子区间。 ,11ba因为因为E是是无限点集无限点集，故两个子区间中至少有一个，故两个子区间中至少有一个含有含有E中无穷多个点，中无穷多个点， ，记记这这个个区区间间为为, 22ba区间套定理区间套定理 聚点定理聚点定理，且且Mabab )(211122, 2211baba 则则再将再将 等分为两个子区间，等分为两个子区间， ,22ba则其中至少有一个子区间含有则其中至少有一个子区间含有E中无穷多个点中无穷多个点 ,，记记这这个个区区间间为为, 33ba, 332

13、2baba 则则，且且2)(212233Mabab 按此办法无限制的进行下去，得到一个按此办法无限制的进行下去，得到一个区间列区间列 满满足足：,nnba,11 nnnnbaba, 2 , 1 n)( 021 nMabnnn且且是是闭闭区区间间套套，即即,nnba且其中每一个闭区间都含且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点。由区间套中无穷多个点。由区间套定理，存在唯一点定理，存在唯一点, 2 , 1, nbann 有有，所以所以, 00NnN );(, Ubann 按定义按定义2， 为为S的一个聚点。的一个聚点。 ,limlim nnnnba由于由于定理定理4（致密性定理）（致密性定理）有界数列

14、必含有收敛子列。有界数列必含有收敛子列。证证设设xn为有界数列为有界数列 , 若若xn中有无限多个相等的项，中有无限多个相等的项， 则由这些项组成的子列是一个常数列，则由这些项组成的子列是一个常数列，总是收敛的。总是收敛的。点集点集xn至少有一个聚点，至少有一个聚点， ，记记为为 若若xn中不含无限多个相等的项，则中不含无限多个相等的项，则xn在数轴上在数轴上对应的点集必为有界无限点集对应的点集必为有界无限点集，故由故由聚点定理聚点定理，证毕。证毕。于是按定义于是按定义 ，存在，存在 xn 的一个收敛子列的一个收敛子列以以 为其极限为其极限.2 用用聚点定理聚点定理证明证明致密性定理致密性定理

15、注：注： 聚点定理聚点定理和和致密性定理致密性定理在有理数域不一定成立。在有理数域不一定成立。,)11( ,)11(nnnnxnS 如：如： S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚点为点为e，因而在有理数域没有聚点。因而在有理数域没有聚点。 数列数列xn是有理数域内的有界数列，但其极限是有理数域内的有界数列，但其极限是无理数是无理数e.从而任一子列均收敛于从而任一子列均收敛于e。故。故xn在有在有理数域内没有收敛的子列。理数域内没有收敛的子列。定义定义3（开覆盖的定义）（开覆盖的定义） 设设 S 为数轴上的点集，为数轴上的点集，H 为开区间的集合，即

16、为开区间的集合，即H 的每一个元素都是形如的每一个元素都是形如 的开区间的开区间. 若若 S中任何一点都含在中任何一点都含在 H 中至少一个开区间内，则中至少一个开区间内，则称称 H 为为 S 的一个的一个开覆盖开覆盖，或称，或称 H 覆盖覆盖 S. 若若 H 中开区间的个数是无限的（有限）的，则中开区间的个数是无限的（有限）的，则 称称 H 为为 S 的一个的一个无限开覆盖无限开覆盖（有限开覆盖有限开覆盖）。）。三、有限覆盖定理三、有限覆盖定理( ,) 也可以用以下方式定义也可以用以下方式定义开覆盖开覆盖: :定义定义33：设设 S 为数轴上的点集为数轴上的点集, , H 为开区间的集合为开

17、区间的集合:(,),iiHiI 若若(,),iii IS 则称则称 H 为为 S 的一个开覆盖的一个开覆盖, ,或称或称 H 覆盖覆盖 S.函数函数f 在在 (a, b) 内连续，内连续， 使使, 0),(, 0 xbax ，当当),(xxUx ，有有 | )()(|xfxf这样就得到一个开区间集这样就得到一个开区间集:),(| ),(baxxxHxx 它是区间它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。的一个无限开覆盖。),21 ,1(),43 21(),32 0( nnnn，是区间是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。的一个无限开覆盖。如：如： 在具体问题中，一个点集的开覆盖往往是由该问题的某些具

18、体条件所确定。26证明思路：证明思路：( (反证法反证法 + + 区间套定理区间套定理) )设设 , a b不能用不能用H中有限个开区间来覆盖中有限个开区间来覆盖. .1) 1) 构造一区间套构造一区间套,nnab其中每一个区间不能用其中每一个区间不能用H中有限个中有限个开区间覆盖开区间覆盖; ;定理定理5 (海涅海涅-波莱尔波莱尔(Heine-Borel)有限覆盖定理有限覆盖定理) 设设H为闭区间为闭区间a, b的任一的任一(无限无限)开覆盖，则必可从开覆盖，则必可从H中选中选出有限个开区间来覆盖出有限个开区间来覆盖a, b.区间套定理区间套定理 有限覆盖定理有限覆盖定理2) 2) 由区间套

19、定理由区间套定理, ,存在唯一存在唯一1 2,(, ,);nnabn 3)3) 一定落在一定落在H中的某个开区间内中的某个开区间内: :( ,),H 进而当进而当n大大到一定程度时有到一定程度时有,( ,),nnab 矛盾矛盾! !证证:( (反证法反证法) ) 设不能从设不能从H中选出有限个开区间覆盖中选出有限个开区间覆盖a, b. 将将a, b等分为两个子区间，则其中至少有一个子区等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用间不能用H中有限个开区间来覆盖中有限个开区间来覆盖 ,记这个子区间为记这个子区间为 再将再将a1, b1等分为两个子区间，其中至少有一个区间等分为两个子区间，其中至少

20、有一个区间不能用不能用H中有限个开区间来覆盖中有限个开区间来覆盖.,11ba, 11baba 则则，且且)(21 11abab 记这个子区间为记这个子区间为 a2, b2, 1122baba 则则)(21222abab 且且重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列列 满满足足：,nnba, 2 , 1,11 nbabannnn)( 0)(21 nababnnn是是一一个个闭闭区区间间套套，即即,nnba且其中每一个闭区间都不能用且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来中有限个开区间来覆盖覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点由区间套定理，

21、存在唯一的一点 , 2 , 1 , nbann 由于由于H是闭区间是闭区间a, b的一个开覆盖，的一个开覆盖，使使故故),(),( H由定理由定理1的推论，当的推论，当n充分大时有充分大时有).,(, nnba这表明这表明an, bn只须用只须用H中的一个开区间中的一个开区间 就能覆盖就能覆盖 ,),( 这与挑选这与挑选an, bn时的假设时的假设“不能用不能用H中有限个开区间中有限个开区间来覆盖来覆盖”相矛盾。相矛盾。 证毕证毕.有限覆盖定理对开区间不一定成立有限覆盖定理对开区间不一定成立 。注注:, 2 , 1)1 ,11( nn，如如开开区区间间集集合合构成了开区间构成了开区间 (0,

22、1) 的一个开覆盖的一个开覆盖 ，但不能从中选出有限个开区间盖住（但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）.因为右端点始终为因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，左端点有限个中必有一个最小者，,11 N设为设为.110）这这部部分分将将不不能能被被盖盖住住，则则（ N 一般来说，如果我们已知在闭区间一般来说，如果我们已知在闭区间a,b的每一的每一点的某个邻域内都具有性质点的某个邻域内都具有性质P，每一点的邻域（开每一点的邻域（开区间）集覆盖区间）集覆盖a,b，为了将性质为了将性质P扩充到整个闭区扩充到整个闭区间间a,b，这时用有限覆盖定理能将覆盖这时用有限覆盖定理能将覆盖a,b的

23、无限的无限多个邻域转化为有限个邻域。多个邻域转化为有限个邻域。 总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理。到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理。supS ,)2(;,1, 400 的的上上确确界界，记记为为为为数数集集则则称称数数使使得得中中的的某某一一个个数数，必必存存在在对对任任意意正正数数）有有的的上上界界（即即对对一一切切是是）（满满足足下下述述条条件件：若若数数对对于于给给定定的的数数集集定定义义SxxSxSxSxSS inf ,)2(;,1, 500 的的下下确确界界，记记为为为为数数集集则则称称数数使使得得中中的

24、的某某一一个个数数，必必存存在在对对任任意意正正数数）有有的的下下界界（即即对对一一切切是是）（满满足足下下述述条条件件：若若数数对对于于给给定定的的数数集集定定义义SxxSxSxSxS用区间套定理证明用区间套定理证明确界原理确界原理定理定理6 （确界存在定理）非空有上界的数集必有上确界；（确界存在定理）非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界注意：1.上确界存在则必唯一，下确界也是这样。2.单调递增而有界的数列，其极限就是数列的上确界；单调递减而有界的数列，其极限就是数列的下确界；定理定理7 用致密性定理证明柯西收敛准则用致密性定理证明柯西收敛准则. 证证01na 设设是是一一个个柯柯西西列列, ,那那么么对对于于， 存存在在0,|1,| | 1.nNnNN nNaaaa 时故时故NNMaaaa121max|,|,| 1, 令令nnnaMa|,. 那那么么对对一一切切 ，所所以以是是有有界界数数列列.knnaa由由致致密密性性定定理理, ,存存在在的的收收敛敛子子列列Aaknk lim设设.下面证明下面证明 an 以以 A为极限为极限.因为因为 an 是柯西列是柯西列