一元函数微积分学

1、 2.2 一元函数微积分学一元函数微积分学 2.2.1 导数与微分导数与微分1、极限函数、极限函数p=limit(F,x,a)、绘图函数、绘图函数plot；2、向量或矩阵求导指令：、向量或矩阵求导指令：diff1) Y = diff(X)：计算向量或矩阵的差分，若：计算向量或矩阵的差分，若X是向量，则是向量，则diff(X) 返回返回X(2)-X(1) X(3)-X(2) . X(n)-X(n-1)；若；若X是矩是矩阵，则阵，则diff(X) 返回返回X的各列差分矩阵的各列差分矩阵X(2:m,:)-X(1:m-1,:).如：如：x = 1 2 3 4 5; y = diff(x)其输出结果为其

2、输出结果为y = 1 1 1 12) Y = diff(X,n)：计算：计算n阶向量或矩阵的微分阶向量或矩阵的微分(或差分或差分)；如：如：x = 1 2 3 4 5; z = diff(x,2) 其输出结果为其输出结果为z = 0 0 0 3、符号求导指令、符号求导指令diff1) diff(S,v) 或或 diff(S,sym(v)：返回符号表达：返回符号表达式式S对自变量对自变量v的导数；的导数；2) diff(S,n)：对于正整数：对于正整数n，求，求S的的n阶导数；阶导数；3) diff(S,v,n) 与与 diff(S,n,v)：返回符号表达式：返回符号表达式S对自变量对自变量v的

3、的n阶导数，缺省阶导数，缺省n时为求时为求1阶导阶导数、缺省数、缺省v时默认变量时默认变量x.4、diff(y)./diff(x)是求近似导数是求近似导数 .dxdy例例1 求正弦函数的一阶导数与函数的二阶导数。求正弦函数的一阶导数与函数的二阶导数。解：解：M文件程序处理如下：文件程序处理如下：syms x; f=sin(5*x);g=exp(x)*cos(x);df=diff(f)dg=diff(g,2)例例2 设函数，讨论在处的左、右导数与导数。设函数，讨论在处的左、右导数与导数。解：由若函数在点导数的定义和导数存在的充要条件，考解：由若函数在点导数的定义和导数存在的充要条件，考察在在点的

4、左右导数。察在在点的左右导数。M文件程序设计如下：文件程序设计如下：syms x;diffleft=limit(abs(x)/x,x,0,left)diffright=limit(abs(x)/x,x,0,right)例例3 已知抛射线的运动轨迹的参数方程为已知抛射线的运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向。的运动速度的大小和方向。解：该问题的解决分为两步，先求在时刻解：该问题的解决分为两步，先求在时刻t的运动速度的的运动速度的大小大小 ，再求轨道的切线方向，即，再求轨道的切线方向，即(为切线的为切线的倾角倾角)，由此，由此M文件程序设计如下：文件程序设计如

5、下：syms t v1 v2 g;x=v1*t;y=v2*t-1/2*g*t2;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);v=sqrt(dx2+dy2) %运动速度的大小运动速度的大小tan=dy/dx %轨道的切线方向轨道的切线方向22121gttvytvx 22dtdydtdxv2.2.2 微分学基本定理微分学基本定理1、求导指令、求导指令diff；2、绘图指令、绘图指令plot；3、用符号运算求解一般方程指令：、用符号运算求解一般方程指令： solve(f)：解方程：解方程f；solve(f，x )：对变量：对变量x解方程解方程f.4、泰勒、泰勒(Taylor) 展式指令：展式

6、指令：taylor(f,n)：返回函数：返回函数f的的n-1阶麦克劳林阶麦克劳林（Maclaurin）展开式，其中）展开式，其中f为自变量为自变量v的的符号函数；符号函数； taylor(f,n,v,a) ：返回函数：返回函数f在在a点的点的n-1阶泰勒阶泰勒(Taylor)展开式，其中展开式，其中f为自变量为自变量v的符号函数，的符号函数，n, v,与与 a 可以省略即可以省略即taylor(f)指令，指令， 此时此时a=0、n默认为默认为6、v为为f中所确中所确定的符号变量定的符号变量. 5、符号替换指令：、符号替换指令：subs(S,old,new) 用新的符号变量或数值用新的符号变量或

7、数值变量替换表达式变量替换表达式S中旧的符号变量或表示中旧的符号变量或表示一个变量名的字符串一个变量名的字符串.详细的应用可见详细的应用可见Matlab help.例例1 验证拉格朗日验证拉格朗日(Lagrange)中值定理对函数中值定理对函数y=4x3-5x2=x-2在区在区间间a,b上的正确性。上的正确性。解：为解题方便，首先求出函数的导数：解：为解题方便，首先求出函数的导数：syms x;y=4*x3-5*x2+x-2;dy=diff(y)输出结果：输出结果：dy=12*x2-10*x+1下面利用下面利用dy验证拉格朗日验证拉格朗日(Lagrange)中值定理，现取中值定理，现取a=0，

8、b=2进行验证。进行验证。a=0;ya=4*a3-5*a2+a-2; %求出求出a=0时函数值时函数值b=2;yb=4*b3-5*b2+b-2; %求出求出b=2时函数值时函数值eq=12*x2-10*x+1-(yb-ya)/(b-a)=0;eq=dy-(yb-ya)/(b-a)=0;mm=solve(eq,x);%求符号解求符号解mm=subs(mm,a,b,yb,ya,-1,1,yb,ya)%代值代值,求数值解求数值解例例 2 设函数设函数f(x)=(x-1) (x-2)(x-3)(x-4) ，说明，说明f(x)=0有几个实根，指有几个实根，指出他们所在的区间，并求出所有根。函数曲线出他们

9、所在的区间，并求出所有根。函数曲线解：由罗尔解：由罗尔(Rolle)定理易知有三个根，且分别在区间内，函数与的图定理易知有三个根，且分别在区间内，函数与的图形如图所示。形如图所示。M文件程序设计如下文件程序设计如下x=0.5:0.1:4.5;y1=(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4); hold onplot(x,y1);%绘出原函数图形绘出原函数图形syms x;y=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4);dy=diff(y);x=0.5:0.1:4.5;y2=subs(dy,x,x);plot(x,y2,-r); %绘出导函数图形绘出导函数图形再输入以下命令：再输入

10、以下命令：dy利用已求导数，则求的根利用已求导数，则求的根M文件程序为文件程序为eq=(x-2)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-3)=0;solve(eq,x)%求符号解求符号解例例3 Taylor级数计算器的使用。级数计算器的使用。函数函数 taylortool格式格式 taylortool %该命令生成图形用户界面，显该命令生成图形用户界面，显示缺省函数示缺省函数f=x*cos(x)在区间在区间-2*pi，2*pi内的图内的图形，同时显示函数形，同时显示函数f的前的前N=7项的项的Taylor多

11、项式级多项式级数和数和(在在a=0附近的附近的)图形通过更改图形通过更改f(x)项可得不同项可得不同的函数图形。的函数图形。taylortool(f) %对指定的函数对指定的函数f，用图形用户界面显示出用图形用户界面显示出Taylor展开式。展开式。例例 taylortool( cos(x)再通过改变相关的参量，可得图再通过改变相关的参量，可得图 2.2.3 函数性态研究函数性态研究1、前面用过的极限指令、前面用过的极限指令limit、求导指令、求导指令diff、绘图指令绘图指令plot等；等；2、添加网格指令：、添加网格指令：grid on3、求一元函数局部极小值点指令：、求一元函数局部极小

12、值点指令：fmin x = fmin(fun,x1,x2)：x = fmin(fun,x1,x2,options)：4、ezplot(f,a,b)绘出函数图像指令；绘出函数图像指令；axis(a,b,c,d)限定当前坐标轴的坐标范围指令限定当前坐标轴的坐标范围指令.例例 1 求解函数求解函数f(x)=x3-6x2+12x+4的单调性、凹凸性、极值和拐点。的单调性、凹凸性、极值和拐点。本题在计算机强大的图形处理功能条件下，利用几何关系判断函数的单调性、凹凸性、极值和拐点情况。首先求解函数的一、二阶导数，然后画出它们图像，最后利用图像研究该函数的性态。本题在计算机强大的图形处理功能条件下，利用几何

13、关系判断函数的单调性、凹凸性、极值和拐点情况。首先求解函数的一、二阶导数，然后画出它们图像，最后利用图像研究该函数的性态。 M文件程序设计如下：文件程序设计如下：syms x;f=x.3-6*x.2+12*x+4;f1=diff(f,x)f2=diff(f,2)f1jie=solve(f1,x)%求方程的根求方程的根x=-3:0.5:7;y=subs(f,x,x); y1=subs(f1,x,x); y2=subs(f2,x,x); hold onplot(x,y);%绘制函数图像绘制函数图像plot(x,y1,-.k); %绘制函数图像绘制函数图像plot(x,y2,-r); %绘制函数图像

14、绘制函数图像grid on %加上网格，为方便观察函数性态加上网格，为方便观察函数性态 例例 4 利用利用Matlab对函数对函数 的性态作以分析，的性态作以分析，并绘出函数图像。并绘出函数图像。 解：对于本函数有奇点；且不是奇和偶函数；无周期、无解：对于本函数有奇点；且不是奇和偶函数；无周期、无界。为了进一步讨论其它性态，现求出其一阶、二阶导数，界。为了进一步讨论其它性态，现求出其一阶、二阶导数，并研究函数的极值、拐点和凹凸性。并研究函数的极值、拐点和凹凸性。2)3(361xxysyms x;f=1+36*x/(x+3)2;dydx=diff(f);d2ydx=diff(f,2);zhu_x

15、=solve(dydx,x) %求解驻点求解驻点(x,y)zhu_y=subs(f,x,zhu_x)guai_x=solve(d2ydx,x) %求解二阶导数的零点求解二阶导数的零点guai_y=subs(f,x,guai_x)x1=zhu_x-5:1:zhu_x; %将驻点横坐标将驻点横坐标x左半部分离散化左半部分离散化x2=zhu_x:1:zhu_x+5; %将驻点横坐标将驻点横坐标x右半部分离散化右半部分离散化zhu_yL=subs(dydx,x,x1) %观察驻点左侧一阶导数符号观察驻点左侧一阶导数符号zhu_yR=subs(dydx,x,x2) %观察驻点右侧一阶导数符号观察驻点右侧

16、一阶导数符号x3= guai_ x-5:1:guai_x; %二阶导数的零点左半部分离散化二阶导数的零点左半部分离散化x4= guai_ x:1:guai_x+5; %二阶导数的零点右半部分离散化二阶导数的零点右半部分离散化guai_yL=subs(d2ydx,x,x3) %二阶导数零点左半部分的二阶二阶导数零点左半部分的二阶导数符号导数符号guai_yR=subs(d2ydx,x,x4) %二阶导数零点右半部分的二阶二阶导数零点右半部分的二阶导数符号导数符号f_left=limit(f,x,-3,left) %判断在无定义判断在无定义x=-3点处有无垂直渐点处有无垂直渐近线近线f_right

17、=limit(f,x,-3,right)f_min_inf=limit(f,x,-inf,right) %判断在无穷远处有无水平渐判断在无穷远处有无水平渐近线近线 f_plus_inf=limit(f,x,inf,left) ezplot(f,-30,30); %绘出函数图像，如图绘出函数图像，如图 axis(-30,30,-15,5); %限定当前坐标轴的坐标范围限定当前坐标轴的坐标范围2.4 定积分及应用定积分及应用1、符号积分命令、符号积分命令intint(fun)：求函数：求函数fun的不定积分；的不定积分；int(fun,var)：求函数：求函数fun关于变量关于变量var的不定的不

18、定积分；积分；int(fun, var, a，b,)：求函数：求函数fun的在的在a,b间的间的定积分或广义积分；定积分或广义积分；2、数值计算定积分、数值计算定积分quad， quad1，trapzquad(fun,a,b,tol)：fun为被积的函数名，为被积的函数名，a, b微积分上下限，微积分上下限，tol为精度，若缺省，其缺省值为精度，若缺省，其缺省值为为1.0e-6； quad(fun,a,b,tol,trace)：参数：参数fun,a,b,tol用法与上面相同，用法与上面相同，而输入第五个非零参数而输入第五个非零参数trace，是对积分过程通过被积函数上，是对积分过程通过被积函数上的图像进行跟踪的图像进行跟踪.对于对于quad使用自适应步长使用自适应步长Simpson法，而法，而quadl的调用格式的调用格式与与quad一致，但它使用一致，但它使用Lobbato算