二次函数的实际应用

1、四川省武胜县街子初级中学数学数学课件课件新人教版新人教版制作人制作人宋志友 生活是数学的源泉，生活是数学的源泉，我们是数学学习的主人我们是数学学习的主人. .要修建一个圆形喷水池要修建一个圆形喷水池, ,在池中心竖在池中心竖直安装一根水管直安装一根水管. .在水管的顶端安装在水管的顶端安装一个喷水头一个喷水头, ,使喷出的抛物线形水柱使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为在与池中心的水平距离为1m1m处达到处达到最高最高, ,高度为高度为3m,3m,水柱落地处离池中水柱落地处离池中心心3m,3m,水管应多长水管应多长? ?123123解解: :如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系, ,点点

2、(1,3)(1,3)是图中这段抛物线的顶点是图中这段抛物线的顶点. .因此可设这段抛物线对应的函数是因此可设这段抛物线对应的函数是这段抛物线经过点这段抛物线经过点(3,0)(3,0) 0=a(30=a(31) 1)2 23 3 解得解得: :因此抛物线的解析式为因此抛物线的解析式为: :y y=a(x=a(x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)当当x=0 x=0时时,y=2.25,y=2.25答答: :水管长应为水管长应为2.25m.2.25m.3 34 4a=a=y y= (x= (x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 4 2 . 二次函数y=ax2+bx+

3、c的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 。抛物线abacab44,22abx2直线abac442上小下大abac442高低 1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .抛物线直线x=h(h，k)基础扫描 3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，y的最 值是 。 4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。 5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是

4、 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。直线x=3(3 ，5)3小5直线x=-4(-4 ，-1)-4大-1直线x=2(2 ，1)2小1基础扫描 2bac bx=-ya4a4-当时， 有最大（小）值26、如何求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的最值？有哪几种方法？写出求二次函数最值的公式（1 1）配方法求最值（）配方法求最值（2 2）公式法求最值）公式法求最值基础扫描 要用总长为要用总长为2020米的铁栏杆，一面靠墙，围成一米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？最大？ 你会解吗？你

5、会解吗？要用总长为要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？怎样围法，才能使围成的面积最大？ 解：设矩形垂直于墙的一边解：设矩形垂直于墙的一边AB的长为的长为x米，矩形的面积为米，矩形的面积为y米。米。由题意得：由题意得：y=x(20-2x) (0 x10)即：即：y=-2x2+20 x将这个函数关系式配方，得：将这个函数关系式配方，得： y=-2(x-5)2+50抛物线的顶点坐标是（抛物线的顶点坐标是（5，50）抛物线的开口方向向下抛物线的开口方向向下当当x=5，y最大值最大值=50答：与墙垂直的一边长为

6、答：与墙垂直的一边长为5m时，花圃的面积最大，最时，花圃的面积最大，最大面积为大面积为50m2。利润问题利润问题一一.几个量之间的关系几个量之间的关系.2.利润、售价、进价的关系利润、售价、进价的关系:利润利润= 售价进价售价进价1.总价、单价、数量的关系：总价、单价、数量的关系：总价总价= 单价单价数量数量3.总利润、单件利润、数量的关系总利润、单件利润、数量的关系:总利润总利润= 单件利润单件利润数量数量二二.在商品销售中，采用哪些方法增加利润？在商品销售中，采用哪些方法增加利润？ 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件，市件，市场调查反映

7、：如调整价格，场调查反映：如调整价格，每涨价每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期可多元，每星期可多卖出卖出20件，已知商品的进价件，已知商品的进价为每件为每件40元，如何定价才能元，如何定价才能使利润最大？使利润最大？请大家带着以下几个问题读题请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？生了变化？探究探究2 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每元，每星期可卖出星期可卖出30

8、0件，市场调查反映：件，市场调查反映：每涨价每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每件；每降价降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出20件，已件，已知商品的进价为每件知商品的进价为每件40元，如何定价元，如何定价才能使利润最大？才能使利润最大？分析分析:调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：先来看涨价的情况：设每件涨价设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。涨价的函数关系式。涨价x元时则每星元时则每星期少卖期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件,

9、每件利润为每件利润为 元，元，因此，所得利润为因此，所得利润为元元10 x(300-10 x)(60+x-40)（60+x-40）(300-10 x)y=(60+x-40)(300-10 x)(0X30)即y=-10（x-5）+6250当x=5时，y最大值=6250怎样确定x的取值范围625060005100510522最大值时，yabx可以看出，这个函数的图像可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当的最高点，也就是说当x取取顶点坐标的横坐标时，这个顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可

10、以函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标求出顶点的横坐标.元x元y625060005300所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元也可以这样求极值解：设降价解：设降价x元时所获利润为元时所获利润为y，则每星期可多卖，则每星期可多卖 件，件，实际卖出实际卖出 件，每件利润为件，每件利润为 元，元，由由(1)(2)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?y=(300+20 x)(60-40-x) =-20(x-5x+6.25)+6150 =-20（x-2.5）+61

11、50 x=2.5时，y最大值=6150怎样确定x的取值范围（0 x20）所以，当定价为所以，当定价为57.5元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元 答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最大利润为获得最大利润为6250元元.20 x（300+20 x)（60-40-x）探究探究3计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，现有一张半径为45mm的磁盘， （1）磁盘最内磁道的半径为rmm，其上每0.015mm的弧长为一个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小

12、于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？即即0045. 02y = （45r-r） （0r45）你能说出你能说出r为多少时为多少时y最大吗？最大吗？一座抛物线形拱桥，当水面在一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶时，拱顶离水面离水面2m，水面宽，水面宽4m。水面下降。水面下降1m，水面宽度增加多少？水面宽度增加多少？探究探究4如何建立坐标系呢？ACBD你认为A、B、C、D四点，哪一点作为原点较好？X轴、y轴怎么规定呢？我们来比较一下我们来比较一下（0、0）（4、0）（2、2）（-2、-2

13、）（2、-2）（0、0）（-2、0）（2、0）（0、2）（-4、0）（0、0）（-2、2）谁最谁最合适合适还是都来做一做还是都来做一做（0、0）（4、0）（2、2）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x-2）+2或或y=a（x-0）（）（x-4）y=-0.5x+2x设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x-0）+2或或y=a（x+2）（）（x-2）y=-0.5x+2（-2、0）（2、0）（0、2）xyxyoo还是都来做一做还是都来做一做（0、0）（-2、-2）（2、-2）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=axy=-0.5x（-4、0）（0、0）（-2、2）设抛物线的解析式为

14、设抛物线的解析式为y=a（x+2）+2或或y=a（x+4）（）（x-0）y=-0.5x-2xoXYOYX好像是选它好像是选它最好！最好！XYo解解：设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax点（点（2、-2）在抛物线上，）在抛物线上， a=-0.5 ， 这条抛物线的解析式为这条抛物线的解析式为 y=-0.5x，当水面下降当水面下降1m时，时，y=-3，这时有这时有 -3=-0.5x解得解得 x1= 、x2=- 。（-2、-2）（2、-2）（0、0）66此时水面宽为此时水面宽为2 ， 故水故水面宽增加了（面宽增加了（2 -4）m。662 m4m6实际问题抽象转化数学问题数学问题运用数学知识问题的解决问题的解决谈谈你的学习体会谈谈你的学习体会解题步骤：解题步骤：1、分析题意，把实际问题转化为数学问题。、分析题意，把实际问题转化为数学问题。2、根据已知列出适当的二次函数的解析式（并注意自变量、根据已知列出适当的二次函数的解析式（并注意自变量的取值范围）。的取值范围）。3、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题