小学数学《定义新运算》练习题(含答案)

1、小学数学定义新运算练习题(含答案)(一) 直接运算型【例1】(奥数网题库)两个整数a和b, a除以b的余数记为a©b.例如，13©5=3.根据这样定义的运算，计算；(1) (26 © 9) © 4等于多少？(2) 108© (2008 ©19)分析：(1)因为：264-9=28, 84-4=2,所以(2609)04=804=0(2)因为：20084-19=10513,1084-13=82,所以 108 (2008©19) =108©13=4前铺定艾运算如下：G方=匕22(1) 计算 2007 2009, 2006

2、2008(2) 计算159, 1(59),分析：(教师先告诉学生匕仑表示(a+b) 4-2)2z、2007 + 2009(1) 2007 2009=2008:22006 + 20082006 2008=20072(2) 1 59 = 39=62 21(59) =1上？=17=上? =4；2 2【例2】(奥数网题库)定义运算为b=aXb- (a+b),(1) 求5海7, 7探5；(2) 求協(3探4), (12探3)名(3) 这个运算“”有交换律.结合律吗？ 分析：(1) 5探7=5X7- (5+7) =35-12=23, 了 5= 7X5- (7+5) =35-12=23(2) 要计算吃(3探

3、4),先计算括号内的数，有：34=3X4- (3+4) =5,再计算第二步 比5=12X5- (12+5) =43,所以 丄(3探4) =43.对于(12探3)纭 同样先计算括号内的数，辽3=12X3- (12+3) =21,其次21探4=21X4 (21 +4) =59,所以(边3)探4=59.(3) 由于 b=aXb (a+b)；匕a=bXa (b+a) =aXb (a+b)(普通加法、乘法 交换律)， 所以有ab=ba,因此“”有交换律由(2)的例子可知，运算“”没有结合律.巩固定艾新的运# a®b = axb + a+b ,求: (1) 62, 26(2) (1 2)3, 1

4、0(233)(3) 这个运算有交换律吗？ 分析：(1) 6 2=6X2+6+2=20： 26=2X6+2+6=20(2) (1 2)3二(1X2+1+2) ©3=5©3=5X3+5+3=23;13(233)=3 (2X3+2+3)二1 11=1X11+1+11=23(3) 由a®b = axb+a+b = bxa+b+a (普通加法、乘法交换律)，所以ab = b 即满 足交换律.拓展如果a、b、c是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a+b = b + a, (a + b) +c = a+ (b +c)现在规定一种运算它对于整数a. b、c、d满足：(a,

5、 b) * (c, d) = (aXc+bXd, aXc -bXd).例如：(4, 3) * (7, 5) = (4X7+3X5, 4X7-3X5) = (43, 13).请你举例说明：“*” 运算是否满足交换律和结合律.分析：(7, 5) * (4, 3) = (4X7+3X5, 4X7-3X5) = (43, 13),所以运算满足加法交换律， (2, 1) * (3, 2) * (3, 4) = (2X34-1X2, 2X3-1X2) * (3, 4) = (8, 4) * (3, 4) = (3X8 +4X4, 3X8-4X4) = (40, 8) : (2, 1) * (3, 2) *

6、 (3, 4) = (2, 1) *3X34-2X4, 3X3- 2X4= (2, 1) *17, 1= (2X17+1 X1, 2X17-1 X1) = (35, 33).所以，(2, 1) * (3, 2) * (3, 4) =# (2, 1) * (3, 2) * (3, 4),因此不满足结合律.【例3】(奥数网题库)我们规定:求25 4016 21的值.4分析:巩固我们规定:= adbe,例如: d1=2X4-1 X3 = 8-3=5.25 4()|=25X21+40X 16=525.640=116516 21|46求的值.510分析:46=4X10-5X6=40-30 = 10510

7、【例4】(南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛)规定：符号“”为选择两数中 较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3A5=5, 35=3.请计算下式：(70 3) A5 X 5(3A7)分析：因为(705ir3)A5=3A5=5, 5(3A7)=57=5,所以(703)A5X 5(3A7) 1=5X5=25巩固定义两种运算“” “0”，对于任意两个整数a、b, ab二a+b-1, a®b=aXb-1,计算： 4®(6®8)®(3©5)分析:6 8 =6+8-1=13 , 3 5 =3+5-1 =7 , 13 7 =13+7

8、-1=19 , 4 <8)19=4 X 19-1=754®(6 8)(3 5) =75【例5】(奥数网题库)定义的运算如下舟对任何自然数a. b,如果a+b是3的倍数，则a*b=,如果a+b除以3余数为1,则界b=兰±1,如果a+b除以3余数为2,则屛b 33_ a + b-23求：(2005*2006) * (2007*2008)分析：因为 2005+2006=4011 是 3 的倍数，所以 2005*2006=40114-3=1337,因为 2007+2008=4013, 4013 4-3=1337-2,所以 2007*2008=(4011-2) 4-3=1337

9、,因为 1337+1337=2674, 26744-3=891-1,所以 1337*1337= (1337+1337-1)4-3=891,所以(2005*2006) (2007*2008) =891丁 + h巩固定义“ ”的运算如下：对任何自然数a、b,如果a + b是偶数，则ab=-，如果a + b是2.a + b 1奇数，则ab=2求：(1)(1 9992 000) (2 0012 002)：(2)1 998(2 0002 002) 2 004.分析：(教师先告诉学生住纟表示(a+b)三2)2亠1999 + 2000-1(1)因为 1999 + 2000 = 3999 是奇数，所以 199

10、92000= 1999, 2001+2002=400322001 -4- 20021是奇数，所以 2001 2002= =2001, 1999 + 2001=4000 是偶数，2所以 19992001 =1999 + 20012=2000 ,所以(1 9992 000) (2 0012 002) =2000因为 2000+2002=4002 是偶数,20002002 =2000 + 2002=2001,1998+2001 =3999 是奇数,所以 1 9982001 =1998 + 2001 12= 1999. 1999 + 2004=4003 是奇数，所以19992 004 =1999 +

11、2004 12= 2001 ,所以 1 998(2 0002 002)少2 004=2001【例6】(奥数网题库)对自然数m, n (nm),规定=nX (n-1) X (n-2) X-X (n m + 1 ) ； Cn = P'= «X(7|-l)X-X(7?-7/?+l)4-/?X(n?-l)X xl. 求:c：，c：，c：，c：C，c：分析：C-( PQ 4(P；)=6-1=6; CA(6X5)+ (2X1) =15； Q- (6X5X4) -r (3X2X1) =20； (7"=(6X5X4X3) -r (4X3X2X1) =15；(6X5X4X3X2) 4

12、- (5X4X3X2X1) =6； Q.=(P：)-(P；=l前铺对自然数 m, n (nm),规定 =nX (n1) X (n2) X X (nm+1) 例如：Pj =4X3 = 12. P； =4X3X2=24.求:(1) P；, P；, P； ： (2) P：, P：, Pf, P：.分析：(1) P/=5X4X3 = 60, P/ =5X4X3X2 = 120, P/=5X4X3X2X 1 =120(2) P：=6X5X4=120, P： =6X5X4X3 = 360,=6X5X4X3X2=720, P：=6X5X4X3X2X1=720.总结这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运

13、算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.(二) 反求未知数【例7】(奥数网题库)定义新运算"”如下：对任意自然数a, b,必b=5Xa-3Xb, 能否找到一个自然数n,使得5檢探11=5探(6忍)？如果存在，求出自然数n；如果不存在，说明理由. 分析：5探6探11二(5X5-3X6)沪了n=5X7-3Xn； 5探心“)巧(5X6-3Xn)巧(30-3Xn)=5X5-3X (30-3Xn) =9Xn-65,因为 5探6探11=5探 gn),所以有 35-3Xn=9Xn-65,即 12Xn=100, 所以没有满意的自然数m使得5探6探11=5探(6渝)【例8】(奥数网题库)对于任意的整

14、数x与y定义新运算“” : xZky=上口_ (其中mx2vm是一个确定的整数)如果1A2=2,则2A9=?6x1x212分析：已知1根据定义得1厶2=:一 = 2,于是有2X(m+4)=12,解出m=2所/?7X 1 + 2x2 in + 4以2a9=6x2x92x2+2x954TT拓展x、y表示两个数，规定新运算及"”如下：x*y=mx+nyt xAy=kxy,其中m、n> k均为 自然数，已知 佯2二5,(2*3) 4=64,求(1A2) *3的值.分析：我们要先求出k> m. n的值通过1*2二5可以求出叭n的值,通过(2*3) A4=64求出k的值. 因为1*2

15、=mXHnX2=m+2n,所以有 叶2介二5又因为m、n均为自然数，所以解出： 当n=2 时：(2*3) A4= (1X2+2X3) A4=8A4=kX8X4=32k 有 32k二64,解出 k=2 当n=1 时：(2*3) A4= (3X2+1 X3) A4=9A4=kX9X4=36k=64, k 不是自然数，所以 n=2, k二2.(1A2) *3= (2X1X2) *3=4*3=1 X4+2X3=10.总结这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应 该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.(三) 计算机程序语言【例9】(第九届“祖冲之杯”

16、数学邀请赛)如下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是1999,输入B值是9时，运算器输出的C值是运算器一CA32454656B5385C2061B是除数，输出的是余数分析：观察表格可得：运算器输入的A是被除数,因为1999+9=2221,所以C=L前铺下图是一个运算器的示意图.A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判斯，当输入A值是2008,输入B值是4时，运算器输出的C值 是运算器Ap243 Of斗4屮6m7卩Cp5”46心分析：运算

17、器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1, 2008三4=502, 502-1=501,所以C=501.【例10】（奥数网题库）有A, B, C, D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A ：将输入的数加上5；装置B：将输入的数除以2；装置C ：将输入的数减去4；装置 D：将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成AB,输入1后，经过AB, 输出3.输入9,经过ABCD,输出几？经过BDAC,输出的是100,输入的是几？分析；（1）输入9经过A装置以后结果是9+5=14,再经过B装置以后结果是14三2=7,经过C装置以 后结果成为74=3,最后经过D

18、装置以后，最终输出结果等于3X3=9.（2）最后经过装置C后结果是100,那么输入装置C的数字是100+4=104,那么输入A的数字是104 -5=99,输入D的数是99壬3=33,输入B的数是33X2=66.所以最开始输入的数是66.拓展例题中的装置，输入7,榆出的还是7,用尽量少的装置应怎样连接？分析:CDAB（四）其他常见类型【例11】（南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8X8=8,9X9X9=5,9X3=3,（93+8）X7=837.导游告诉他，部落算术中所用的符号“ +、一、X、十、（）、=”与我们算术中的意义相同，进

19、位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同.请你按古老部落的算术规则， 完成下面算式：89X57= .分析：由部落算式"8X8=8”知“8”是1, “9X9X9=5”可知“9”是2, “5”是&由“9X3=3” 知“3”是0.继而可推得“7”是5.于是可知“89X57”是12X85=1020即“8393” .前铺a、b、c 代表一位数，规定 aXa=a, bXbXb=c, bXd=d,问 a+b+c+d=?分析：由 aXa=a 可知 a=1,由 bXbXb=c,可知 b=2, c=8,由 bXd=d 可知，d=0,所以 a+b+c+d=1+2+8+0=11

20、【例12】 （奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题.现代社会对保密要求越来 越高，密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其 中Q、W、E、N、M这26个字母依次对应1、2、3、25、26这26个整数（见下表）：QWERTYUI0PASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526J =扌（尤是正整数,IK26, x被3整除）（ jc + 2= +17（x是止整数,l<x<26, x被3除余1）$=凹+睑是正整数,1H6, x被3除余2）3将明文转换成密文，如:11&

21、gt;4+2"J"11H+ 1?=19> 即 R变为L；'8"12,即A变为S空？ + 17 = 23,即H变为V；按上述方法将明文HAK译为密文.分析：这是一道非常有意思的题目.明文HAK对应16. 1K 18； ¥ + 8*即A变为S；导6,即K变为Y,所以将明文HAK译为赵1. （例2）规定：人B=BXB+A,（1）计算（2探3）探（4探1）,（2）这个运算有交换律吗？分析：（1） 2探3 = 3X3+2=11, 4探1 = lXl+4=5, 口5=5X5+11 = 36,所以最后结果（2探3）探 （殊）=36.（2）因为B=AXA+BH BXB+A,所以这个运算不符合交换律2. (例6)定义新运算“！”如下：对于认识自然数m n! =nX (n-1) X (n2) XX3X2X1.(1) 求 3h 4!