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1、精品文档2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)若 lim (cosx b)=5，贝U a =，b =Te -a 函数f (u,v)由关系式fxg(y), y =x g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) = 0 ,(13)精品文档V v21 f (x -1)dx =2xxe(3)设 f(X)=T-11 1x :22，则1x22 2 2(4)二次型 f(X1,X2,X3)=(X1 X2)(X2-X3)(x3 xj 的秩为 (5)设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P X DX = (6)设总体

2、X服从正态分布N( *, /),总体Y服从正态分布N(血，(T2), X-X2，和丫1飞,K2分别是来自总体 X和丫的简单随机样本，则n1_ 2 n2_ 2臣(Xi-X)+迟(Yj -Y)iTj壬Hin -2二、选择题：本题共 8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内函数 f(xr：isii；;：2 在F列哪个区间内有界(A) ( -1，0).(B) (0，1).(C) (1，2).(8)设f(x)在内有定义，且lim f (x) = a , g(x) fX：(D) (2，3).巧尺0，则()0 ，x = 0(A) X

3、= 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x =0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关(9)设 f(x) =|x(1 X),则()(A) X = 0是f (x)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f(X)的拐点.(B) x = 0不是f (X)的极值点，但(0, 0)是曲线y二f(X)的拐点(C) x = 0是f (x)的极值点,且(0, 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f(x)的极值点，(0, 0)也不是曲线y二f (x)的拐点.(10) 设有下列命题：0QO 若a (U2nV

4、U2n)收敛，则Un收敛.C3O:一 un 1000 收敛.n =1则un发散.n =1n =1n =1QO 若un收敛，则n =1 若 lim1，nT=o UnoOoOcd 若7 (un vn)收敛，则7 un , 7 vn都收敛n =1n =1 n T则以下命题中正确的是()(A)(B)(C)(D)(11) 设f (x)在a,b上连续，且f (a) .0, f (b) ：0，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点人 (a,b)，使得f (x°)> f (a).(B)至少存在一点xo (a,b)，使得f(xo)> f(b).(C)至少存在一点x0 (a,b)，使得f (

5、冷)=0.(D)至少存在一点xo (a,b)，使得f (Xo) = 0.(12)设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当 |A| = a(a=0)时，|B|=a.(B)当 |A|=a(a = 0)时，|B|=-a.(C)当 | A|=0 时，|B |=0.(D)当 |A|=0 时,|B|=0.设n阶矩阵A的伴随矩阵A - 0,若&,&,&, &是非齐次线性方程组Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系()(B)仅含一个非零解向量.(A)不存在.精品文档(C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量(14)设随机变量X服从正态

6、分布 N(0,1),对给定的 a (0,1),数Ua满足PX u J = a若 P| X |<x = a 则 x等于()(A)U a.(B)(C)U1_a(D) Uj精品文档"2三、解答题：15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分8分)1 cos X求 lim (22 ).xi sin x x(16) (本题满分8分)求11( . x2y2 y)d二，其中D是由圆x2亠y2 = 4和D(x 1)2y2 =1所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连

7、续，且满足xxbbf(t)dt_ g(t)dt, x a , b), f(t)dt= g(t)dt.aaaa证明：bbxf(x)dx_ xg(x)dx.a a(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格P (0,20) , Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性Ed (Ed > 0);dR(II) 推导 Q(1-Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时,dP降低价格反而使收益增加(19) (本题满分9分)设级数468xx(_： X ：)2 42 4 62 4 6 8的和函数为S(x).求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S

8、(x)的表达式(20) (本题满分13分)设 a = (1,2,0)t , a = (1，a 2, _3 aT , a = (T, -b -2, a ' 2b)T ,卩二(1,3,-3)丁 ,试讨论当a,b为何值时,(I) B不能由a, a2, a线性表示；(II) B可由ai, a, a唯一地线性表示，并求出表示式(ill) B可由a, a, a线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式(21) (本题满分13分)设n阶矩阵qbb"b1bA =:-电bI(I)求A的特征值和特征向量(n )求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵(22) (本题满分13分)1P(A|B-1 1设A ,

9、 B为两个随机事件，且P(A) , P(B|A) ,4 3；1, B发生，：0, B不发生.4A发生，X0, A不发生,求(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布(II) X与丫的相关系数PXY；(III) Z = X2 Y2的概率分布(23) (本题满分13分)设随机变量X的分布函数为r “ 口1 -F(x;： , )= x0,其中参数a 0, B 1.设X1,X2 / ,Xn为来自总体 X的简单随机样本(I)当a = 1时，求未知参数 B的矩估计量(II)当a二1时，求未知参数 卩的最大似然估计量(III) 当卩二2时，求未知参数a的最大似然估计量2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试

10、题解析一、填空题 (1)【答案】a =1,b = -4【详解】本题属于已知极限求参数的反问题方法1：根据结论：lim f(x) - A, (1)若 g(x) > 0，则 f(x) > 0 ； (2) 若 f(x) 、 0 , g(x)且 A = 0，则 g(x)_. 0因 为 lim sn( cxdb)=5，且 li3mixn(cxOb)=0，所 以X0e(cosx-b)s inxTime -lim1-0hXTx_05 !：；.，. ax >0lim (ex -a) =0 (否则根据上述结论(2)给极限是0,而不是5)， 0由 I i mef -a =)leE a km-a

11、=1 得 a =01.x_0x -.0x . 0极限化1叫¥门；(cosx -b)等价无穷小1叫-(cosx -b) = 1 -b = 5，得b = -4. 因此，a = 1， b = -4.方法2：由极限与无穷小的关系，有sin xx e -a(cosx - b) = 5 ：，其中lim :x >0解出上式两端求极限,aex(5 叱J-(cosx-b)sinx5+«把a = 1代入，再求b，b 二 cosxx(5： )(e -1)两端同时对Xr 0取极限，得b = lim(cos x -(5 ： )(ex -1)sin xxe (5 +g) (cosx b)sin

12、x a =5 +g= limcos x-lim °= 1 _ 血 d 肚=15 = _4x_0x_osin xxtx因此，a = 1，b = -4.【答案】g (v)g2(v)【详解】应先写出f （u , V）的表达式，再求偏导数推知所以二xg(y)v = y，从而:u+ g(v),g(y)g治，于是由 fxg(y),小 x g(y)，df1c 21 f (x-1)dx = j(x-1)e2 dx 3(-1)dx2f(cf、Q(1、&u '"g(v) ?£u点vcv3u丿dvig(v)丿f (u , v)=g(v)g2(v)g (v)【答案】-12

13、【详解】方法i作积分变换，令x-1=t，则 x:1 > 2=22所以 1f(x-1)dx 二 1 f (t)dt = ) f (t)dt 亠 i1 (-1)dt二 21 xex2dx 1(-1)dx 1x2（也可直接推出.212x2xe dx = 0，2匕因为.21 xex dx积分区间对称，被积函数是关于x是奇2函数，则积分值为零） 方法2：先写出的f （x -1）表达式Lrf(x-1) =1乞 X -1 :：-21x -1 -2即：f(x-1)(x-1)e-1（X）2所以4e(、(x4)23212【答案】2.【详解】方法 1：因为 f （X1,X2,X3）=（X1 X2）2 （X2

14、-X3）2 （X3 X1）2= 2x1 2x2222x32x1x2 2x1x32X2X3n naij=：aji，所以二次型对应的矩阵的由二次型 f(X1,X2,|,Xn)二二 aijXiXj 中,i 4 j二i行，j列元素是Xi与Xj乘积项系数的一半，其中于是题中二次型的矩阵为1A= 1-1,由初等变换得-1行的(_2)倍加至t行,11行的(T倍加到3行lo-3-3从而r(A)=2,由二次型的矩阵的秩等于二次型的秩，知二次型的秩为2.-3方法 2：因为 f(X1,X2, X3) =(X1 X2)2 (X2 -X3)2 (X3 -X1)22 22x2 2x32x1x2 2%x3 - 2x2x3-

15、2(x11133X2 2X3)2?(X2 -X3)232=2%-V2，11其中 yX12X2-X3,2 2 22x-| 2x2 2x3 2x-|X2 2玄3 _2x2x3对捲配方2(x,2公冷 x.jX3) 2x2222X3- 2X2X3= 2(X 1 X2 三 X32 - =2(%1 x221X22-2(x1121 212X,) - x2 -X,22 221 23 232?X3)3X2?X31X3)23(X2 - X3)22 2-x2 x3 2 兔 2 仝3 2 x2 x3-3x2x3二次型的秩r( f)=矩阵的秩r(A)=正负惯性指数之和 p q，所以此二次型的秩为2.0e我 f(x)=0

16、若X 0，其方差DX右X"于是，由一维概率计算公式，P ;<X < = " fX (x)dx，有aPX 、DX = PX -1 = e-Xdx = -e'X1【答案】C2 .【详解】根据公式 E(X Y E(X) E(Y)和样本方差是总体方差的无偏估计量,又Xi，X2，Xn,和丫1，丫2,Yn2分别是来自总体简单随机样本，X和Y都服从正态分布1 口即是 E(Xi -X)2 =D(X) =：;2，n -1 i 4,ni-E(丫 -Y)2 =D(Y) =：; 2.n - 1 i 4ni_n1_所以有 E' (Xj _X)2 hn _1 ；2， E&#

17、39; (Y -Y)2 =：n _1 ；2i 1i对于题给式子将分子分离出来即可出现上式，也就不难求出结果 n2 _Z (Xi X)2 +瓦(Yj -Y)2i 二jd：m + n2 21nin2 -24- 202- 2E(Xi -X) ER (Yj -Y)i£j =11(n 1 -1)匚(匕-1K =:;，故应填c .n1 n2 _二、选择题(7)【答案】(A)【详解】方法1：如果f (x)在(a,b)内连续，且极限lim f (x)与lim f (x)存在，则函数f (x)在 xTa+xTb(a,b)内有界.当x0,1,2时f (x)连续，而lim f (x) = lim xsin

18、(x-2)2sin2)一亟,x1x j x(x-1)(x-2)2(-1-1)(-1-2)218 si n(0 2)si n22 = ，(0-1)(0-2)4心)lim xsin(x2)2x 1 x(x -1)(x -2)2limxsi n(1 -2)(x-1)(1-2)2lim f(x)=lim-xsin(x2)2x x x(x-1)(x -2) lim f(x)=lim xsin(x-2)2 二前(0-2)2=竺x fi- x 0 x(x-1)(x-2)(0-1)(0-2)4lim f (xH lim xsin(x_2)Hm 列弋=佃丄二x 2x ：2 x(x1)(x-2)2x£(

19、x2)2 xQx 2所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).所以存在0，在区间-0)方法2：因为lim f (x)存在，根据函数极限的局部有界性,上f (x)有界，又如果函数f (x)在闭区间a , b上连续，贝U f (x)在闭区间a , b上有界,根据题设f(x)在-1,-訂上连续，故f(x)在区间上有界，所以f(x)在区间(-1,0)上有界，选(A).(8) 【答案】(D)1【详解】考查极限lim g(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通过换元u =丄,XTOx可将极限lim g(x)转化为lim f (x).XTOXT°O11因为 limg(x) =

20、li叫仁)u lim f(u) = a,又 g(0)=0,xX所以， 当a =0时，lim g(x)二g(0)，即g(x)在点x=0处连续， XT0当a=0时，lim g(x) = g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点，因此， g(x)在 XT0点x =0处的连续性与a的取值有关，故选(D).(9) 【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论方法1:由于是选择题，可以用图形法解决,令(Xx(x -1),1 f 11 )是以直线X 为对称轴，顶点坐标为,，开口向上的一条抛物线，与X轴相2 124 丿交的两点坐标为(0,0 ),(1,0 ), y= f(x) =F(x

21、)的图形如图点x = 0是极小值点；又在点(0, 0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的,所以点(0, 0)是拐点，选C.方法2：写出y二f (x)的分段表达式:f(x)=-x(1x), 一1*0、x(1 x),0<xv1从而 f(x)=-12x,x：0J - 2x,0 £ x c1，f“(x：_0<x<0-2,0cxc11叫.f (x) = 1吧.1-2x =10 ,所以 0 ： x ： 1 时，f (x)单调增,lim f (x) = lim ：；T 2x =-1 ： 0 ,所以-1：x0 时，f (x)单调减,x0 x0 所以x =0为极小值点当 一1 ：

22、x ：0 时，f (x) = 20，f (x)为凹函数； 当1x0时，f (x) - -2 <0，f (x)为凸函数，于是(0, 0)为拐点.(10) 【答案】(B)【详解】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.是错误的，如令un = (-1)n，lim_un汇0，所以v Un发散，而n =107 (U2n4 - U2n -1 '- 1 1 收敛.n ±cooa是正确的，因为级数7 Un 1000比级数7 Un少了前1000项，改变、增加或减少级n =1nW数的有限项，不改变级数的敛散性，所以这两个级数同敛散是正确的，因为由limUn1，从而有nm：Un 1

23、UnO01，于是正项级数nNUn在项数0充分大之后，通项严格单调增加，故I ：lim Un式0，从而lim Un式0，所以送Un发散.n =11是错误的，如令 Un = , Vn二，显然, nnun , 7 vn 都发散,n =1n =1收敛故选(B).而送(UVnl -+-K心(nn丿 Inn(11) 【答案】(D)【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项方法1：举例说明(D)是错误的例：f (x) =4-x2,-1乞x1，f (1) = -2xx=1 =2>0, f (1) = _2/二=_2吒0.但在1,1上 f (x)X3:>0 方法

24、2：证明(A)、(B)、(C)正确由已知f (x)在a,b上连续，且f (a) . 0, f (b) ： 0 ,则由介值定理，至少存在 一点x0 (a,b)，使得f (x0) =0，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义 f(a)二lim f(x) 一 f (a) . 0,根据极限的保号性，至少存xTa*xa在一点 x0 (a,b)使得 f (x)一0，即 f(x0) f (a)，所以选项(A)正确.x° a同理，f (b)二lim f (b): 0，根据极限的保号性，至少存在一点x0 (a,b)7_ b _x使得f(x0)f(b).所以选项(B)正确，故选(D).(12) 【答案】

25、(D )【详解】方法1:矩阵等价的充分必要条件：矩阵A与B等价= A,B是同型矩阵且有相同的秩，故由A与B等价，知A与B有相同的秩.因此，当 | A|= 0时,r(A) : n ,则有 r(B) ： n,即 | B | = 0,故选(D).方法2：矩阵等价的充分必要条件：A与B等价二 存在可逆P,Q，使得PAQ=B.两边取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得|PAQ = P| A|Q = B . P,Q可逆，由矩阵 A可逆的充分必要条件：A0，故P0Q0，但不知具体数值.由P a|Q|Tb，知A式0时，B不能确定但A =0有B|=0.故应选(D).方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的

26、初等变换对矩阵的行列式的影响有：A中某两行(列)互换得B ，贝U B = A .A中某行例)乘k(kO)得B，贝U B =k A.A中某行倍加到另一行得 B，则| B = A又由A与B等价，由矩阵等价的定义：矩阵 A经有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，知|B = ±k A.故当A = 0时，BA = 0，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但|A|=0，则B =0，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若|A|=0二B=0,若Ah0= BhO.故应选(D).(13) 【答案】(B)【详解】由定理：若x-i, x2是Ax = b的解，则

27、捲-x2是对应齐次方程组 Ax = 0的解，及1=2，得1 - = 0是Ax =0的解由齐次线性方程组有非零解的充要条件， 知r(A) ： n . A* - 0,由伴随矩阵的定义，知A中至少有一个代数余子式 Aj = 0,即A中有n -1子式不为 零，由 秩(A)二r的充要条件是 A的非零子式的最高阶为 r ,故r(A) 一 n-1,再由上面的r(A) ： n，得r(A)二n -1，故基础解系所含向量个数为n -(n -1) = 1，故选(B).(14) 【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何x 0有1px Ax = px cx=px| ax.或直接利用图形求解2方

28、法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，PX ： -u：.二：-，于是1 G =1 P x| ex =P x| Zx = PX MX + PX 乞x =2PX 王 x1 -a即有 PX -x，可见根据分位点的定义有x二u-，故应选(C).2方法2：如图一所示题设条件图二显示中间阴影部分面积aOx图a , P X 刈=ot 两端各余面积所以PX :山_：.，答案应选(C).2三、解答题(15)cos xx2-sin2 xcos x丁)璧分问2 . 2x sin x等价sin xL x2 2 2x -sin xcos x limx D2 1 2 Qx sin 2x = lim £xx

29、4n2 2x I洛 lim 4x 0x412x si n4x= limx 04x3洛 xinmi 12x sin4x22sin22x4x31 - cos4xlim 2lim ?x 10 6x2x 0 6xsin2xL 2x 02(2x)26x2【详解】求“：-：”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简(16)【详解】利用对称性与极坐标计算 .方法 1 令 D( x, y) | x2y2 4, D2 二( x, y) | (x 1)2y2 -1，根据二重积分的极r sin r rdr坐标变换：D =( x, y) “讥 I-',r 空r乞r2二，则:.f x,y d二D.x2

30、 y2d 二化为极坐标：D1 二(x, y)|x2 y2 乞 4二(x,y)|0_r 一2二,0 乞 r 乞2D所以,x2y2 / dcos2 日 + r2 sin2 日 rdr = 1 ' d& f r2dr ；0 0 0 0D1x化为极坐标:D222Hm(x 1)心弘叫<3,0 汀乞-2cos2所以II.X2y2dcD2_2 d $ r2cor2sin2rdr-02_2cos r 20 r dr所以! ! ?x2y2dcD二x2y2 d；-x2y2 deD2Did日2r2dr - fJoi-2 cosT 22 dr2dr.二 022 二 r30 32dr0_2cosd

31、r0-8cos3 二J je21-si n=2 :sin 一沁316二832i 399区域D关于x轴对称，yd二中被积函数y为y的奇函数，根据区域对称性与被D积函数的奇偶性：设f x,y在有界闭区域 D上连续，若D关于x轴对称，f x,y对y 为奇函数，则 i if x, y d；-0，所以.i .iyd；丁 =0DD所以 11( . x2y2y)d ；：一 二x2y2d' 亠 11 yd：=半(3恵一2).DD方法2:11(、.、x2 y2y)d；：=x2y2d一亠 11 yd；= 2 11 、x2y2d；0DDDD上半D22卫 2二 r32-2cosJ极坐标变换2dT J0 r2d

32、r + M日J九紺“=2 2 3cos2 3-2cos寸岀8-何8 8cos3日16 二 16= r sinsin3日 T16 严-2).x(17)【详解】令 F(x) = f(x) - g(x)， G(x) F(t)dt.axx因为已知f(t)dt- g(t)dt，ab aXXXX所以 G(x) F(t)dt =-f(t) - g(t) dtf(t)dt- g(t)dt _0 , x a,baaaaaG(a) = *F(t)dt =0,bb又f(t)dt 二 g(t)dt,aabbbb所以 G(b)= F(t)dt 二 f(t)-gtdt 二 f (t)dt - g t dt =0'

33、a' a' a abbb b从而 J xF(x)dx G(x) = F(x) J xdG(x)分部积分 xG(x) a - J G(x)dx-aaabG a =G b =0 i G (x) dx, a,bb由于 G(x) _ 0,x a,b，故有- G(x)dx 乞 0,即 xF(x)dx _ 0a' abbb也即是 x f( M g( x> dx xf(x)dx xgxdx_0'a' a' abb因此xf(x)dx 乞 xg(x)dx.a' a(18) 【详解】(I)由于需求量对价格的弹性Ed> 0，所以P dQQ"

34、;dPQT00-5P-P20 PP 100-5P100 5PP (0,20)P20 P(II)由 R 二 PQ，得亞二d PQ =Q PdQ =Q(V PdQ) =Q(1 匕)二 Q(1 Ed)dP dPdPQdP20-PdR要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，0,即dP P证Q(1 - Ed) ：0= Ed1，换算成P为1，解之得：P 10，又已知P (0,20)，20-P所以20 P 10，此时收益随价格降低反而增加(19) 【详解】对S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.(I) S(x)468XXX2 42 4 6

35、2 4 6 8易见S(0)= 04x 6x52 42 4 68x72 4 6 8因此S(x)满足下述一阶线性微分方程及相应的初始条件：2xS (x)=刈乡 S(x)，S(0) =0.33x=+22 42 4 6x5x7x4+2 4x6+2 4 6X2)七 S(x)X即S(x)-xS(x), S(0) =02 x3(II) S(x) - xS(x)为一阶线性非齐次微分方程，其对应的线性齐次微分方程为:2S(x) -xS(x) = 0 ,分离变量：豁二皿，两边积分:2xIn S(x)C1，2S(x)x2G=e2=Ce2x2用常数变易法来求非齐次方程的通解：令x2S(x)二C x e2x2x由初始条

36、件S(0) =0，得c=1.故S(x) =eT于是：S (x) = xC x e2 C x e2代入 S(x) -xS(x)3x2x-2:xC x ex2x2C x e 2 - xC x e2x33 x2x所以，Cx 二 一e 2 dx c$ 23x2、x22x22x22x2x2xS(x) = f-e 2 dx + ce=e"2dx . +cex-f-deP+ceT2122I 2)kJ)(2x2x22x22x2x2x22x2分部x -=一一=-ee 2dx+cx-一 -e+ ce2 =X1 +ce2刀口p-2222202x220 x因为 S(0) = 0，所以 S 0ce2=0=c=

37、1,所以 S(x)二 e 21 ；2 23x或直接由通解公式，方程 S(x) -xS(x)的通解为2x-1 Ce 22xdx x3 - |xdxx22-x 1 .2Sx & 寸 dx c一xrrx,亠很 2x2 亠:x3x3 二-(*)(20) 详解】B可否由a, a, a线性表示的问题可以转化为线性方程组 是否有解的问题因此，设可有数x-|,x2, x3,使得一:朽 匕2%2匕3X3 - - 记A = ( a，a，a)对矩阵(A, B)施以初等行变换,有-1 1-11 1-11-11 1(A, B)=-2 a +2b -231 行 :<(-2)+2行0a-b10-3aa +2b

38、-30-3aa +2b-3 一_1 111 1 12i3+3行 0 a b 10 0 a - b 0(I)当a = 0时，b是任意数时，有11-11(A, B)t 0 0-b 10 0b 0一可知，r(A) =r(A, B) 由非齐次线性方程组有解的充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵 的秩，知方程组(*)无解，B不能由a , a2 , a3线性表示(II)当a = 0,且a = b时，由11-11(A, B)t 0 a-b1'0 0 a-b 0一可知，r(A)二r(A, B) =3,由非齐次线性方程组有解得充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，由定理：设 A是m n

39、矩阵，方程组 Ax二b，则，(1)有唯一解r(A)=r(A)二 n ； (2)有无穷多解 二 r(A)=r(A) ： n (3)无解：r(A) 1 = r(A)可知方程组(*)有唯一解由同解阶梯形方程求解，得：,11% =1 ,aX2, X3 = 0 .a11此时卩可由a, a2, a唯一地线性表示，其表示式为 B = (1)a+ a- aa(III)当a=0, a二b=0时，对矩阵(代B)施以初等行变换,由1 1(A, 0)T 0 a0 01-11-10011001 a1-11a000一001可知，r(A) =r(A, ® = 2 ,由定理：设 A是m n矩阵，方程组 Ax = b

40、，则，有无穷多解二r(A)二r(A) ： n，知方程组(*)有无穷多解，其全部解为11X1 =1,X2c, X3=C， 其中c为任意常数.aa、 一 一 一 1 1B可由a1, a , a线性表示，但表示式不唯一，其表示式为B = (1)a ( C)a2'C a3.a a(21) 【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,可以直接用|疋- A|=0求特征值，和(2E - A)x =0求特征向量或将 A分解令A = B (1 -b)E，其中B = b1n n ,则 A = f (B) , f是多项式，求 B的特征值、特征向量【详解】(I)方法 1：1 b = 0 时，丸一1-bi

41、llb1-b 川 4七九一1 III-b2|),n行分1 九一1 HI-b|EA|=<卜4卜4别加到1行也-1 -(n -1口1d44««1-bill丸一'1b 川 f-' -1-(n- 1)b，i(1b)故，A的特征值为4 =1，(n-1 )b , h =-入=1 - b .对入=1(n - 1)b ,人E _A =z(n -1)b-b<i-b川(n-1)b 川A4-b'-b+Un-1)-1+-1 II(n -1) II¥卜1-1、1-1F、 T-b川(n-1)b>< -1-1II1 (n-1)>'n

42、 -1-1川-1_r-1n -1IH-1-11H(n_1)行分别加到n行+111门门仃1仃丨丨1 ill”-1-1IHn -1-1<0000丿-1-1n -1-1HlHI-1n -1IIIIIIHI0n -1IH1 -n-11 行（_1）n -1-11IHIHI02 1 卄（n 1）行灯-1）III0nIII_n1-n(1IIIIII-1分别加到1III<01III1 -n_n1行分别加到2 111( n-1行因为矩阵的秩为r(E - A) =(n -1),故方程组(E - A)x=0 ,基础解系的个数 为n - r(+E - A) = n - (n -1)=1,故有一个自由未知量

43、.选x1为自由未知量，取x1 = 1,解得& =(1,1,1，,1)T，所以A的属于入的全部特征向量为k& =k(1,1,1/ ,1)T(k为任意不为零的常数).对石二二入=1 一 b ,4bb |1 4乂1行X (_1)分别00 II1 0h1加到2.汕n行l+hr4411°0 II1 0丿(1 1IIIIIIIII10.,i=2川 I，n.+0丿矩阵的秩为 r( E - A) =1,in.故方程组(rE -A)x =0,i =2,|l(,n，基础解系的个数为n- r('jE-A)二n-1 , i = 2|, n.故有n-1个自由未知量选X2.X3JH.Xn

44、为自由未知量，将他们的n-1组值(-1,0,川,0);(0, -1|1,0)汕|(0,0, |1,书,得基础解系为&=(1.一1.0,0)T , & =(1.0.-1,0)T ,. b =(1.0.0.， 1)T.故A的属于 h的全部特征向量为+(k2.k3.心是不全为零的常数)2 当b =0时,X-1=(X- 1)n,I X -A| =特征值为xX-1，Z1b 川 b''b+(1-b)b川b'b 1川b+i+a=bb+(1-b)川b+1i+4i+w<bb川1+ 1 <lbbIII b+(1 b)=1,任意非零列向量均为特征向量.方法2： A

45、 =bb 1II b"1 -b0III0、*11川rbb tII b01-bIII011川1+44+44rb44=b+FIlbb 1II b>1 00III1-b丿<1 1川1丿(1-b)Ei,1,丨|(,11 (1-b)E 二bB (1-b)E ,1, III ,订若B有特征值，特征向量，则当f是多项式时，f (B)有特征值f(J，其特征向量仍是'.因(、wJ )：(：)= n，故，二n是的特征值，其对应特征向量为1=1,1，川，1.从而有 A = :b (b),E有特力其对应特征向量仍是 q =a= 11,1,III,11T.=aotT是实对称阵，由IIIII

46、I1行(-1)分别加到IIIIIIIIIIIIk为特征值的重可知r(B) =1，由实对称矩阵的特性：r( E - A)工n - k，其中数，故 =0是B = T的n -1重特征值，其对应的特征向量应满足(0E -厂T)X -TX =0，即只需满足 为 X2 丨1, Xn =0，其基础解系的个数为n-1，故有n-1个自由未知量选X2,X3,IH,Xn为自由未知量,将他们的n-1组值(-1,01, 0)；-(01 1川，0)11 (0.0得基础解系为 & =(1,-1,0，,o)T ,旨=(1,0,-1, ,0)T, , & =(1,0,0, ,-1)T .从而知 A=b：vT (1-b)E 有 n-1 重特征值 f(，=0)=b 0 (1-b) =1-b 对应 的特征向量仍是 2, 31, n ,其全部特征向量为 k2 &2 k3，心& ( k? , ks ,，心是不全为零的常数)(n ) 1当b=0时，由A与对角矩阵相似的充要条件：A有n个线性无关的特征向量，知，令 P = ( &, &, &)，则P JAP =1 +(n -1)b1 -b12 当b=0时