四元数与欧拉角

1、四元数四元数与欧拉角与欧拉角1Outline四元数的定义四元数的定义四元数的运算四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成利用四元数进行旋转合成2n1.1*四元数四元数(quaternions)定义定义一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转过特定角度可达到任何姿态过特定角度可达到任何姿态转轴的方向可以表示成一个单位矢量转轴的方向可以表示成一个单位矢量: 则描述该转动的四元数可以表示成则描述该转动的四元数可以表示成:kjincoscoscosnq2sin2coskjicos2sincos2sincos2sin2cos四元数

2、既反映了转动的方向又反映了转动的幅值四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值.31.2 四元数的组成四元数的组成 四元数的表示：四元数的表示：kjiqcos2sincos2sincos2sin2cos1P2P3PkPjPiPq321 - 标量部分标量部分kPjPiP321- 矢量部分矢量部分 包括一个实数单位包括一个实数单位 1 和三个虚数单位和三个虚数单位 i, j, k 另一种表示法另一种表示法: Pq, P 代表矢量部分代表矢量部分4Outline四元数的定义四元数的定义四元数的运算四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成利用四元数进行旋转合成52

3、.1*加法和减法加法和减法kPjPiPq321kjivM321加法和减法：加法和减法： MqkPjPiPv)()()()(332211或简写成：或简写成： PvMq,62.2 虚数单位的乘法规则虚数单位的乘法规则kPjPiPq321ijki, j, k 在乘法运算中的规则在乘法运算中的规则: 1kkjjiiijkjijkikjkijik1222ijkkji对比对比 Hamilton 的公式的公式72.3*四元数乘法四元数乘法或简单地表示成：或简单地表示成： PvPPvMq)()(kjivkPjPiPMq321321)(332211PPPviPPvP)(233211jPPvP)(311322kP

4、PvP)(122133321123132231321vPPPPPPPPPPPP321123132231321PPPvvvv82.3 四元数乘法自定义函数四元数乘法自定义函数function q1=qmul(q, m)function q1=qmul(q, m)lm=q(1); p1=q(2); p2=q(3); p3=q(4);lm=q(1); p1=q(2); p2=q(3); p3=q(4);q1=lm -p1 -p2 -p3q1=lm -p1 -p2 -p3 p1 lm -p3 p2 p1 lm -p3 p2 p2 p3 lm -p1 p2 p3 lm -p1 p3 -p2 p1 lm

5、p3 -p2 p1 lm* *m;m; a=1 2 2 3; a=1 2 2 3; b=2 4 2 3; b=2 4 2 3; q=qmul(a,b) q=qmul(a,b)q =q = -0.7796 -0.7796 0.3282 0.3282 0.4924 0.4924 0.2052 0.2052 92.3*四元数乘法表示符号四元数乘法表示符号)()(kjivkPjPiPMq321321四元数乘法的符号四元数乘法的符号MqMqMqqM关于交换率和结合律关于交换率和结合律qMMq)()(321321qqqqqq102.4*共扼和范数共扼和范数共扼四元数的定义共扼四元数的定义 - 两个四元数的

6、标量部分相同，向两个四元数的标量部分相同，向量部分相反量部分相反kPjPiPq321kPjPiPq321*q 和和 q* 彼此互为四元数彼此互为四元数.可以证明：可以证明： *)*(qhhq四元数的范数四元数的范数 q- 定义成定义成 23222122PPP*qqq1q, 则则 q 成为规范化的四元数成为规范化的四元数 若若kjiqcossincossincossincos2222是规范化的是规范化的112.5*四元数的逆和除法四元数的逆和除法121qq 若若则则 q1 和和 q2 彼此互为逆彼此互为逆, 写为写为121 qq112 qq和和因为因为2q*qq12q*qq21q*qq1q*1q

7、q除法除法:Mhq1hMqMqh1hMq 没有具体意义没有具体意义或或qMh function qi =qinv(q)function qi =qinv(q)% inverse of quaternion% inverse of quaternionqn=norm(q);qn=norm(q);q(2:4)=-q(2:4);q(2:4)=-q(2:4);qi=q/qn2;qi=q/qn2;12Outline四元数的定义四元数的定义四元数的运算四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成利用四元数进行旋转合成133.1*矢量的旋转矢量的旋转XYZnRR如果矢量如果

8、矢量 R 相对固定坐标系旋转相对固定坐标系旋转, 并且该旋并且该旋转可以用四元数转可以用四元数 q 描述，新矢量记为描述，新矢量记为 R， 则则 R 和和 R 之间的变换可以表示成下述四元之间的变换可以表示成下述四元数运算数运算:1qRqR含义含义: 矢量矢量 R 相对固定坐标系旋转，相对固定坐标系旋转，旋转的角度和轴向由旋转的角度和轴向由 q 决定决定上述运算中上述运算中, R 被当成一个标被当成一个标量部分为零的四元数，即：量部分为零的四元数，即：kRjRiRRzyx 0143.2*坐标系的旋转坐标系的旋转XYZ一个矢量一个矢量 V 相对于坐标系相对于坐标系 OXYZ 固定固定 :Vzky

9、jxiV从坐标系从坐标系 OXYZ 转动了转动了 q, 得到一个得到一个新坐标系新坐标系 OXYZ .nXYZV 分解在新坐标系分解在新坐标系 OXYZ 中中 kzjyixV矢量矢量 V 在两个坐标系之间的坐标变换在两个坐标系之间的坐标变换:记：记： kzjyixVezkyjxiVeqVqVee1则则分别称为分别称为 V 在两个坐在两个坐标系中的映像标系中的映像.eV和和eV153.3 四元数和方向余弦四元数和方向余弦qVqVee1- 表示坐标系旋转表示坐标系旋转, 其中其中kzjyixVezkyjxiVezyxCzyxq 和和 C 之间是什么关系之间是什么关系 ?kPjPiPq321kPjP

10、iPq3211假设假设则则kzjyixVe)(kPjPiP321)(zkyjxi0)(kPjPiP321应用四元数乘法应用四元数乘法, 得到得到163.3 四元数和方向余弦四元数和方向余弦)(kPjPiP321)0(zkyjxi)(kPjPiP321kzjyixVeC方向余弦矩阵方向余弦矩阵zPPPyPPPxPPPx)(2)(2)(2313212322212zPPPyPPPxPPPy)(2)()(21322321222321zPPPyPPPxPPPz)()(2)(22221232132231zyxPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPzyx2221232132231132232

11、12223212313212322212)(2)(2)(2)(2)(2)(2173.4 四元数转动变换的两种形式四元数转动变换的两种形式 如果一个矢量如果一个矢量 V 固定，坐标系旋转按照四元数固定，坐标系旋转按照四元数 q 进行了旋转，进行了旋转，得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达式间的关系借助映像方式可以表示为：式间的关系借助映像方式可以表示为：qVqVee1如果一个坐标系固定如果一个坐标系固定, 一个矢量一个矢量 VE 按照四元数按照四元数 q 相对该坐标系相对该坐标系进行了转动，得到一个新的矢量进行了转动，得到一

12、个新的矢量 VE，则新旧矢量之间的关系，则新旧矢量之间的关系为：为：1qVqVEE18Outline四元数的定义四元数的定义四元数的运算四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成利用四元数进行旋转合成194.0*转动四元数的合成转动四元数的合成连续的多次转动可以等效成一次转动连续的多次转动可以等效成一次转动.XYZZXYZXY假设四元数假设四元数 q1 和和 q2 分别代表第一次和第分别代表第一次和第二次坐标系旋转二次坐标系旋转.q1q2则合成后的转动四元数则合成后的转动四元数 q 可以表示成可以表示成: q21qqq其中其中 q1 和和 q2 的轴必须表示

13、成映像形式的轴必须表示成映像形式.若若 q1 和和 q2 的轴都表示在原来坐标系中的轴都表示在原来坐标系中, 则则12qqq204.1四元数合成例子四元数合成例子: 非映像方式非映像方式坐标系顺序旋转情况下四元数的合成坐标系顺序旋转情况下四元数的合成坐标系坐标系 OXYZ 相对坐标系相对坐标系 OXYZ 多次旋转多次旋转首先首先, 绕绕 Z 轴转过角度轴转过角度 , 瞬时转轴瞬时转轴 n 和和 k 轴重合轴重合, 则则 kn 1kq221sincos21第二次旋转第二次旋转: 绕绕 X 转过角度转过角度, 旋转轴旋转轴 n 表示为表示为: 4.1 四元数合成四元数合成: 非映像方式非映像方式

14、in 2jisincos对应的四元数对应的四元数: 2222nqsincos)sin(cos2sin2cosji22kq221sincos4.1 四元数合成四元数合成: 映像的方式映像的方式)sin(cossincosjiq222这里这里 q1 和和 q2 的转动轴表示为非映像的的转动轴表示为非映像的形式形式, 因此合成的四元数为因此合成的四元数为:12qqqkji2222sincos)sin(cossincos转动次数越多，合成后四元数的表达式会愈发复杂转动次数越多，合成后四元数的表达式会愈发复杂234.2*四元数合成四元数合成: 映像的方式映像的方式每次转动的瞬时转轴都以映像方式给出每次转

15、动的瞬时转轴都以映像方式给出.对第一次转动对第一次转动, 瞬时转轴瞬时转轴 n1 的映像的映像方式和非映像方式相同：方式和非映像方式相同：knne11kq2sin2cos1因此因此244.2 四元数合成四元数合成: 映像的方式映像的方式第二次转动绕着第二次转动绕着 OX 转过了转过了转轴转轴 n2 沿着沿着 OX in 2n2 在坐标系在坐标系 XYZ 中的映像为：中的映像为：ine2因此因此 q2 的映像形式为的映像形式为 2222enqsincosi 22sincos254.2 四元数合成四元数合成: 映像的方式映像的方式第三次转动绕着第三次转动绕着 OY 轴转过轴转过 .转轴转轴 n3

16、沿着沿着 OY jn 3轴轴 OY 是由原来坐标系的是由原来坐标系的 OY 轴转轴转动得到的，因此动得到的，因此 n3 的映像形式为的映像形式为:jne3这样，四元数这样，四元数 q3 的映像形式为的映像形式为3322enqsincosj22sincos264.2 四元数合成四元数合成: 映像的方式映像的方式因为因为 q1, q2 和和 q3 都表示成了映像的都表示成了映像的形式形式, 所以合成的四元数所以合成的四元数 q 的计算公的计算公式为式为:321qqqqjik222222sincossincossincos由由 q 可以进一步得到合成转动对应的方向余弦矩阵可以进一步得到合成转动对应的

17、方向余弦矩阵27Outline欧拉角的定义欧拉角的定义欧拉角性质欧拉角性质应用应用285.0*静态静态的定义的定义29 对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。于刚体，随着刚体的旋转而旋转。参阅右图。设定参阅右图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称轴为参考系的参考轴。称 xy-平面平面与与 XY-平面的相交平面的相交为交点线，用英文字母（）代表。为交

18、点线，用英文字母（）代表。 z x z 顺规的欧拉角顺规的欧拉角可以静态地这样可以静态地这样定义定义: 是是 x-轴与交点线的夹角，轴与交点线的夹角， 是是 z-轴与轴与Z-轴的夹角，轴的夹角， 是交点线与是交点线与X-轴的夹角。轴的夹角。很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。出夹角的顺序，指定其参考轴。实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。

19、欧实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义好明确的定义。5.1.1*静态的定义静态的定义30角值范围角值范围1.,值从值从 0 至至 2 弧度。弧度。2. 值从值从 0 至至 弧度。弧度。 对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：两组

20、欧拉角的两组欧拉角的 ，一个是，一个是 0 ，一个是，一个是 2 ，而，而 与与 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。向。两组欧拉角的两组欧拉角的 ，一个是，一个是 0 ，一个是，一个是 2 ，而，而 与与 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。向。旋转矩阵旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵 是由三个基本旋转矩阵合成的：是由三个基本旋转矩阵合成的：5.1 .2*静态静态的定义的定义31 单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，单独分开作用

21、，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘， 1.最里面的最里面的(最右的最右的) 矩阵代表绕着矩阵代表绕着 z 轴的旋转。轴的旋转。 2.最外面的最外面的(最左的最左的) 矩阵代表绕着矩阵代表绕着 Z 轴的旋转。轴的旋转。 3.在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。经过一番运算经过一番运算,别种顺序别种顺序在经典力学里，时常用在经典力学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。另外，还有别种欧拉角组。顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉合法的欧拉角组中，唯

22、一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，种顺规。例如，y 顺顺规，第二个转规，第二个转动轴是动轴是 y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空航天工程顺规，是用在航空航天工程学；参阅学；参阅Tait-Bryan angles。5.2*动态的定义动态的定义32 我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述特别注意，以下的描述, XYZ 坐标轴是旋转的刚坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而体坐标轴；而 xyz 坐标轴是静止不动的实验室参考轴。坐标轴是静止不动的实验室参考轴。A) 绕着绕着 XYZ 坐标轴旋转：最初，