ch11_1经典功率谱估计

1、biaE)(var2EE的一致估计为则称若, 0varlim, 0biaN)(DTFTxxPnR (1) 由随机序列一个样本的由随机序列一个样本的N个观测值计算自相关函个观测值计算自相关函数的估计数的估计nRx(2) 对对 进行进行DTFT即得该随机序列的功率谱估即得该随机序列的功率谱估计计)( xPnRxXk是宽平稳各态遍历随机信号，是宽平稳各态遍历随机信号，xk是其一个样本是其一个样本NNkNxnkxkxNnR121lim已知已知xk的的N个观测值个观测值x0,x1,xN 1，则自相关函数的估计为则自相关函数的估计为110nkxkxNnRNkx*1nxnxN1) 1(NnNnRx的计算过程

2、的计算过程10Nn11NnkxnkxkxNnR 110nkxkxNnRnNkx0) 1(nN1110NnnkxkxNnRnNkxnNlnlxlxN101例例已知平稳各态遍历的实随机序列已知平稳各态遍历的实随机序列Xk的单一样的单一样本的本的N个观测值为个观测值为xk=1, 0， 1，试计算该随机，试计算该随机序列的自相关函数估计。序列的自相关函数估计。解:1, 0, 2, 0, 131nRx110nkxkxNnRNkx231nxnx1, 0, 1nx , 1, 0 , 12nx例例已知平稳各态遍历的实随机序列已知平稳各态遍历的实随机序列Xk的单一样本的的单一样本的N个观测个观测值为值为xk=1

3、, 0， 1，试计算该随机序列的自相关函数估计。，试计算该随机序列的自相关函数估计。解：解： format rat x=1 0 -1; Rx,n=xcorr(x,biased)Rx = -1/3 0 2/3 0 -1/3 n = -2 -1 0 1 2 1) 对xk补零形成L点序列) 12(NLkxLDFTkxmXLLIDFT12mXNnRLx2)3)2j)e(1DTFT XNnRx 自相关函数估计的计算自相关函数估计的计算已知平稳各态遍历的实随机序列已知平稳各态遍历的实随机序列Xk的单一样本的的单一样本的N个观个观测值为测值为xk=1, 0， 1，试计算该随机序列的自相关函数，试计算该随机序

4、列的自相关函数估计。估计。x=1 0 -1;X=fft(x,8);Rx1=ifft(abs(X).2)/3;Rx=fftshift(Rx1);Rx1 = 0.6667 0 -0.3333 0 0 0 -0.3333 0Rx =0.0000 0 -0.3333 0 0.6667 0 -0.3333 0),(DTFT,DFTmPPnRkxxxx 估估计计 101NkxnkxkxNnRnLLnxxnRPje )(e Re2 0 j11 nNnnRR 相关法相关法计算功率谱估计计算功率谱估计已知实平稳随机序列已知实平稳随机序列Xk单一样本的单一样本的N个观测值为个观测值为xk=1, 0， 1，试利用，

5、试利用相关法相关法估计其功率谱。估计其功率谱。解：Xk的自相关函数估计值为1, 0, 2, 0, 131nRxDTFT)(nRPxx eRe22312j )2cos(132 对 进行傅里叶变换得Xk的功率谱估计nRx功率谱估计的质量与自相关函数估计的质量密切相关功率谱估计的质量与自相关函数估计的质量密切相关)(1var2nrRnrRrRNnRrbianRNnnRxxN，偏差偏差、方差趋于零，是一致估计。方差趋于零，是一致估计。N 固定时，固定时，n N，偏差较大，偏差较大其它 01, 1 , 0NkkxkxN方法基础方法基础:*1nxnxNnRNNx由由*DTFT1)(nxnxNPNNx )e

6、()e(1jj NNXXN2j)e(1 NXN 已知已知称称 用用IN( )表示表示10jje DTFT)e (NkkNNNkxkxX2jjDTFT)e (1)()e (NxNNXNPXkx 功率谱估计其中其中2DFTL1mXNmPmXkxNxNN 功率谱估计功率谱估计点点 102jeDFTLkmkLNNNkxkxmX 周期图法计算功率谱估计周期图法计算功率谱估计已知实平稳随机序列已知实平稳随机序列Xk单一样本的单一样本的N个观测值为个观测值为xk=1, 0， 1，试利用周期图法估计其功率谱。，试利用周期图法估计其功率谱。对对xk进行离散时间傅里叶变换进行离散时间傅里叶变换(DTFT)2 j1

7、0jje1e )e (NkkNkxX)e ()e (1)e (1)(j*j2j NNNNXXNXNI )e1)(e1(312j2j )2cos(132功率谱估计为：功率谱估计为：njNNnNenRNnNIE)(1) 1(N，EIN( )= Px( )，渐进无偏估计渐进无偏估计sin)sin(1)(var24NNINN增加，增加， 方差不减小，不是一致估计方差不减小，不是一致估计利用利用MATLAB计算计算周期图x：进行功率谱估计的输入有限长序列；NFFT：DFT的点数；Fs ：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；Pxx：功率谱估计值； F：Pxx值所对应的频率点Pxx,F = periodo

8、gram(x,NFFT,Fs)利用周期图法估计利用周期图法估计零均值方差为零均值方差为1平稳高斯白噪平稳高斯白噪声的功率谱。取序列的长度分别为声的功率谱。取序列的长度分别为N=64，128，256，512。并分析谱估计质量。并分析谱估计质量。N=512;Nfft=2048;randn(state,0);x=randn(1,N);P,F=periodogram(x,Nfft,2) ;plot(F,10*log10(P);A=axis;axis(A(1:2) -40 20);grid;title(N=,num2str(N);xlabel(Frequency);ylabel(Power Spectr

9、al(dB);平稳高斯白噪声功率谱估计结果(周期图法)00.20.40.60.81-40-20020N=64FrequencyPower Spectral(dB)00.20.40.60.81-40-20020N=128FrequencyPower Spectral(dB)00.20.40.60.81-40-20020N=256FrequencyPower Spectral(dB)00.20.40.60.81-40-20020N=512FrequencyPower Spectral(dB) 波动的大小不随数据长度波动的大小不随数据长度N的增加而减小，即周期图法谱估的增加而减小，即周期图法谱估计的

10、方差较大，且不随计的方差较大，且不随N的增加而减小。的增加而减小。 周期图法进行功率谱估计周期图法进行功率谱估计, 方差不随方差不随N的增加的增加减小。减小。如何提高谱估计质量如何提高谱估计质量?1) 对自相关函数估计值加窗对自相关函数估计值加窗2) 将将N个观测值分段个观测值分段, 计算各段的周期图计算各段的周期图, 再取平均再取平均对自相关函数估计值加窗对自相关函数估计值加窗, 将误差较大的估计值截去将误差较大的估计值截去nxNNnMnRnwPj1)1(e )(PM( )波动比波动比IN ( )小，可证是一致估计小，可证是一致估计降低了频率分辨率降低了频率分辨率1, 1 , 0; 1, 1

11、 , 0;MkAikiMxkxi第第i段序列的周期图为段序列的周期图为2j)e (1)( MiMXMI 平均周期图平均周期图)(1)(10 iMAiAMIAP 将随机序列将随机序列Xk的的N个观测值分成个观测值分成A段段平均周期图法平均周期图法：减小方差：减小方差：增加估计的偏差，：增加估计的偏差，降低了谱的分辨率降低了谱的分辨率：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大：将各段数据有一定程度的重叠：将各段数据有一定程度的重叠 X:进行功率谱估计的输入有限长序列；进行功率谱估计的输入有限长序列； WINDOW: (1)给定长度给定长度 L，则用指定长度

12、的，则用指定长度的Hamming窗。窗。 (2)给定序列给定序列 ，则用该序列为窗。，则用该序列为窗。 NOVERLAP指定分段重叠的样本数。缺省时指定分段重叠的样本数。缺省时NOVERLAP=L/2，L为窗的长度。为窗的长度。：DFT的点数，的点数，NFFTL。 ：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；：功率谱估计值；：功率谱估计值；F：Pxx值所对应的频率点值所对应的频率点：一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，设一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，设)34. 0cos()3 . 0cos(kwkkkx分别采用周期图法和分别采用周期图法和Welch法估

13、计该序列的功率谱。法估计该序列的功率谱。N=1024;NFFT=1024;Fs=2*pi;L=128;n=0:N-1;randn(state,0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n);window=boxcar(L);P,f=periodogram(x,NFFT,2) ;Pw, f2=pwelch(x,window,NFFT,2);subplot(211);plot(f2,10*log(Pw);grid;title(Welch);axis(0 1 -60 60);subplot(212);plot(f,10*log(P);grid;title(Periodogram);axis(0 1 -60 60);00.20.40.60.81-50050Welch00.20.40.60.81-50050Periodogram 周期图法谱估计曲线的波动很大，即估计的方差较大。周期图法谱估计曲线的波动很大，即估计的方差较大。 WelchWelch法谱估计曲线较为平滑，方差减小，但分辨率降低。法谱估计曲线较为平滑，方差减小，但分辨率降低。 对对WelchWelch法，当数据分段数增加，各段数据长度较短时，谱法，当数据分段数增加，各段数据长度较短时，谱的分辨率明显下降，而谱估计曲线较为平滑，方差较小；的分辨率明显下降，而谱估计曲