两角和与差的三角函数ppt课件

1、一、两角和与差的三角函数一、两角和与差的三角函数二、二倍角公二、二倍角公式式( (升幂公式升幂公式) )( (降次公式降次公式) )sin()=sincoscossincos()=coscos sinsin- - + + tan()= tantan 1 tantan - - + + asin+bcos= a2+b2 sin(+) cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 sin2=2sincostan2= 2tan 1-tan2 sin2=1-cos22 cos2=1+cos22 三、半角公式三、半角公式四、万能公式四、万能公式五、其它公式五、其它公式sin3=3sin-4

2、sin3;cos3=4cos3-3cos;sin(60-)sinsin(60+)= sin3; 14cos(60-)coscos(60+)= cos3. 14sin =1-cos 2 2 cos =1+cos 2 2 tan =1-cos 1+cos 2 =sin 1+cos=1-cos sin sin= 2tan 2 1+tan2 2 tan= 2tan 2 1-tan2 2 cos= 1-tan2 2 1+tan2 2 公式选择公式选择1.从函数的称号思索从函数的称号思索 切割化弦切割化弦(有时也可思索有时也可思索“弦化切弦化切 ), 异名化同名异名化同名(使函数使函数的称号尽量一致的称号

3、尽量一致); 2.从角的特点思索从角的特点思索 异角化同角异角化同角, 抓住角之间的规律抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关如互余、互补、和倍关系等等系等等);3.从变换的需求思索从变换的需求思索 到达分解、化简或将条件与结论挂钩等目的到达分解、化简或将条件与结论挂钩等目的; 4.尽量避开讨论尽量避开讨论 常用技巧与方法常用技巧与方法1.变换常数项变换常数项 将常数变换成三角函数将常数变换成三角函数; 2.变角变角 对命题中的某些角进展分拆，从而使命题中的角尽量一致对命题中的某些角进展分拆，从而使命题中的角尽量一致; 3.升幂或降次升幂或降次 运用倍、半角公式进展升幂或降次变换运用倍、半角公

4、式进展升幂或降次变换, 从而改动三角函从而改动三角函数式的构造数式的构造;4.运用代数变换中的常用方法运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.三角函数式化简目的三角函数式化简目的1.项数尽能够少项数尽能够少;2.三角函数称号尽能够少三角函数称号尽能够少;3.角尽能够小和少角尽能够小和少;4.次数尽能够低次数尽能够低;5.分母尽能够不含三角式分母尽能够不含三角式;6.尽能够不带根号尽能够不带根号;7.能求出值的求出值能求出值的求出值.典型例题典型例题 1.求求 sin220+cos250+sin20cos50 的值的值.思想精析思想精析

5、 从幂入手从幂入手, , 用降幂公式用降幂公式. .解法解法1 原式原式= + + (sin70-sin30) 1+cos100 21-cos40 212= -sin70sin30+ sin70 1234= . 34思想精析思想精析 从形入手从形入手, , 配成完全平配成完全平方方. .= . 3412解法解法2 原式原式=(sin20+ cos50)2+ cos250 3412=sin(50-30)+ cos502+ cos250 34=(sin50cos30)2+ cos250 34思想精析思想精析 从角入手从角入手, , 化异角为同化异角为同角角. .= . 34解法解法3 原式原式=s

6、in2(50-30)+cos250+sin(50-30)cos50=(sin50cos30-cos50sin30)2+cos250 +(sin50cos30-cos50sin30)cos50= (sin250+cos250)34思想精析思想精析 从式入手从式入手, , 构造对偶式构造对偶式. .解法解法4 设设 x=sin220+cos250+sin20cos50, = . 34思想精析思想精析 从三角形入手从三角形入手, , 构造图形构造图形, , 利用正余弦定利用正余弦定理理. .解法解法5 设设 ABC 外接圆半径为外接圆半径为 1, A=20, B=40, y=cos220+sin25

7、0+cos20sin50. 那么那么 x+y=2+sin70 , x-y=-cos40+cos100-sin30 . x= (2+sin70-cos40+cos100-sin30) 12= ( +sin70-2sin70sin30) 1232那么那么 C=120. 由正余弦定理知由正余弦定理知:原式原式=sin220+sin240+sin20sin40 =sin220+sin240-2sin20sin40cos120 =sin2120= . 34得得:2+sin220+cos250+sin20cos50 sin220+cos250+sin20cos50 的值为的值为 . . 341.求求 si

8、n220+cos250+sin20cos50 的值的值. 2.知知 , cos(-)= , sin(+)=- , 求求 sin2 的值的值. 2 43131235解解: , 2 4300- - , , + + . 0, cos()0, cos(+ +)0, )0, 3.知知sin+cos=2sin, sincos=sin2, 求证求证: 2cos2=cos2. 4.知知 sin=msin(2+), 其中其中 m0, 2+k(kZ), 求证求证:tan( + )= tan . 1-m 1+m 证证: sin +cos =2sin , (sin(sin +cos+cos )2=4sin2)2=4s

9、in2 . . 1+2sin1+2sin coscos =2(1-cos2=2(1-cos2 ). ). sinsin coscos =sin2=sin2 , , 1+2sin21+2sin2 =2(1-cos2=2(1-cos2 ). ). 1+1-cos21+1-cos2 =2(1-cos2=2(1-cos2 ). ). 2cos22cos2 =cos2=cos2 . . 证证: sin =msin(2 + ), m= . m= . sin sin(2 + ) =tan( + ). tan tan = = tantan 1-m 1+m sin(2 + )+sin sin(2 + )-sin

10、 = tan 2sin( + )cos 2cos( + )sin tan(tan( + + )= tan)= tan . . 1-m 1+m 另证另证: sin =msin(2 + ), sin(sin( + + )-)- =msin(=msin( + + )+)+ . . sin(sin( + + )cos)cos - -cos(cos( + + )sin)sin 整理得整理得 (1-m)sin( (1-m)sin( + + )cos)cos =(1+m)cos(=(1+m)cos( + + )sin)sin . . =msin( + )cos +cos( + )sin . tan(tan(

11、 + + )= tan)= tan . . 1-m 1+m 4.知知 sin=msin(2+), 其中其中 m0, 2+k(kZ), 求证求证:tan( + )= tan . 1-m 1+m 5.知知 tan, cot 是关于是关于 x 的方程的方程 x2-kx+k2-3=0 的两实根的两实根, 且且 30.0.33 0, tan0, tan0, 0, , , (0, (0, ), ), 00 , , . .2 2 - - -0. 0, - - - . - . 2 -22- -0. 0. 2 2- -=- .=- .43由由 tan(2 tan(2- -)=1 )=1 知知 注注 亦可由亦可由

12、 tan1 得得 0 .4 0202 . . 2 -22- -0. 0. 7.计算计算 - +64sin220.sin220 3cos220 1sin220cos220 3cos220-sin220解解: 原式原式= +64sin220sin220cos220 ( 3cos20+sin20)( 3cos20-sin20)= +64sin220 sin240 16sin80sin40= +64sin220 =32cos40+64sin220 =32(1-2sin220)+64sin220 =32. 8.知知 sin2= (- - ), 函数函数 f(x)=sin(-x)-sin(+x) +2co

13、s. (1)求求 cos 的值的值; (2)假设假设 f-1(x) 表示表示 f(x) 在在 - , 上的反函数上的反函数, 试求试求 f-1(- ) 的值的值. 342 352 2 1010 2 解解: (1)- - , - 2-.3432coscos0, cos20, cos20. 0. 由知可得由知可得 cos2 cos2=- . =- . 45故由故由 cos2 cos2=2cos2=2cos2-1 -1 得得 cos=- . 1010 (2)f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos=-2cossinx+2cos =-2cos (sinx-1) = (sinx-1). 10

14、5 1010 由由 (sinx-1)=- 得得 10 5 sinx= . 122 2 xx - , , - , , x= . x= . 6 6 f-1(- )= . f-1(- )= . 1010 解法解法1 sin22+sin2cos-cos2=1, 4sin24sin2cos2cos2+2sin+2sincos2cos2= =2cos22cos2. . 1.知知 sin22+sin2cos-cos2=1, (0, ), 求求 sin, tan 的值的值. 2 cos2cos2(2sin2(2sin2+sin+sin-1)=0-1)=0cos2cos2 (2sin(2sin - -1)(si

15、n1)(sin +1)=0.+1)=0.(0, ), (0, ), 2 cos2cos20, 0, sinsin +1+1 0.0.2sin2sin -1=0.-1=0.sinsin = .= .12 = .= .6 tantan = .= .33故故 sin, tan 的值分别为的值分别为 和和 . 3312解法解法2 sin22+sin2cos-cos2=1, sin2sin2coscos-cos2-cos2=1-sin22=1-sin22=cos22=cos22. .2sin2sincos2cos2=2cos2=2cos2coscos2 2. .(0, ), (0, ), 2 cos2c

16、os20.0.sinsin=cos2=cos2. .即即 cos( -cos( -)=cos2)=cos2. .2 - -(0, ), 2(0, ), 2(0, (0, ), ), 且且 y=cosx y=cosx 在在(0, (0, ) )内是减函数内是减函数, , 2 2 - -=2=2. . 2 = .= .6 sinsin = , = , tantan = .= .1233课后练习课后练习解法解法3 由知由知 sin22+sin2cos-cos2-1=0, 可看作关于可看作关于 sin2 的一元二次方程的一元二次方程.解这个一元二次方程得解这个一元二次方程得: : sin2 =-cos

17、-cos cos2 cos2+4(1+cos2+4(1+cos2) ) 2= . -cos-cos3cos3cos 2(0, ), (0, ), 2 sin2sin2=cos=cos. .即即 2sin2sincoscos=cos=cos. . = .= .6 tantan = .= .33sinsin = .= .12 1.知知 sin22+sin2cos-cos2=1, (0, ), 求求 sin, tan 的值的值. 2 故故 sin, tan 的值分别为的值分别为 和和 . 3312 2.知知 cos=- , cos(+)= , 且且 (, ), + ( , 2), 求求 . 1312

18、26 17 2 23232323解解: (, ), + ( , 2), (0, (0, ). ). 26 7 2 又由知得又由知得 sin=- , sin(+)=- , 135coscos=cos(=cos(+ +)-)- =cos( + )cos +sin( + )sin = (- )+(- )(- ) 131213526 17 2 26 7 2 =- . 22= . = . 43 3.知知 tan( +)+tan=a, cot( +)+cot=b, 求证求证: ab(ab-4)= (a+b)2. 4 4 证证: a=cos( + )cos sin( + + ) 4 4 = , cos( +

19、 )cos sin( +2 ) 4 4 b= . sin( + )sin sin( +2 ) 4 4 4 sin( + )sin cos( + )cos sin2( +2 ) 4 4 ab=ab= 2 sin( +2 )sin2 21-cos( +4 ) 2 cos2 sin2 2(1+sin4 ) sin4 4(1+sin4 ) = = . ab-4= . ab-4= . sin4 4 sin24 16(1+sin4 ) ab(ab-4)= . ab(ab-4)= . 4 4 又又a+b=tan( +a+b=tan( + )+cot( +)+cot( + )+tan)+tan +cot+co

20、t = + 2 sin( +2 ) 2 sin2 2 cos2 2 = + sin2 2 sin4 4(sin2 +cos2 ) = , (a+b)2= (a+b)2= sin24 16(sin2 +cos2 )2 sin24 16(1+sin4 ) = . ab(ab-4) =(a+b)2. ab(ab-4) =(a+b)2. 4.知知 sin( +2)sin( -2)= , ( , ), 求求 2sin2+tan -cot-1 的值的值. 2 4 4 144 解解: 由知由知 =sin( +2 ) sin( -2 ) 144 4 =sin( +2 ) cos( +2 )4 4 = sin(

21、 +4 )2 12= cos4 . 12cos4cos4= . = . 12( , ),( , ),4 2 = . = . 12 5 2sin22sin2 +tan+tan -cot-cot -1-1=-cos -2cot 6565=-cos2 -2cot2 = +2 3 32= 3 . 52=cos +2cot6 6 5.设设 , , 是锐角是锐角, 且且 tan =tan3 , tan= tan. 求求证证: , , 成等差数列成等差数列.2 2 12证证: 由知由知tan = tan 12tan 1-tan2 2 2 =tan (1+tan2 ) (1-tan2 )(1+tan2 ) 2

22、 2 =2 2 2 tan +tan 1-tan tan 2 2 =2 2 + =tan . , , , , 是锐角是锐角, , , , 都都是锐角是锐角. .2 + 2 + =tan 故由故由 tan 知知: = .2 + , , , , 成等差数列成等差数列. . tan +tan3 1-tan tan3 2 2 =2 2 6.知知 tan( +)= . (1)求求 tan 的值的值; (2)求求 的的值值.sin2-cos2 1+cos2 124 12解解: (1)tan( +)= , 且且 tan( +)= ,4 4 1+tan 1-tan 1+tan 1-tan 12 = . = .

23、 解得解得 tan=- . 13(2)原式原式= 2sincos-cos2 1+2cos2 -1 2sin-cos 2cos =12=tan - 13=- - 12=- . 56 7.知知 6sin2+sincos-2cos2=0, , ), 求求sin(2+ ) 的值的值.2 3 解解: 6sin2+sincos-2cos2=0, (3sin(3sin+2cos+2cos)(2sin)(2sin-cos-cos)=0. )=0. 3sin3sin+2cos+2cos=0 =0 或或 2sin 2sin-cos-cos=0. =0. 又由知得又由知得 cos cos0, 0, 2 . . 2 ( , ( , ), ), 从而从而 tan tan 0. 0. tantan =- . =- . 23sin(2sin(2 + )=sin2+ )=sin2 cos +cos2cos +c