lambda演算 和图灵机

1、报告内容 使用演算的计算和图灵机模型完成简单的加法运算。 说明演算的计算能力与图灵机的计算能力等价。1.演算 演算（lambda calculus）是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。它由阿隆佐邱奇和他的学生斯蒂芬科尔克莱尼在20世纪30年代发明的。 演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则（变量替换）和一条函数定义方式。 演算表达了两个计算机计算中最基本的概念“代入”和“置换”。“代入”我们一般理解为函数调用，或者是用实参代替函数中的形参；“置换”我们一般理解为变量换名规则。“代入”就是用lambda演算中的-归约概念。而“替换”就是lambda演算中的-变换。

2、 表达式的唯一形式：x，ye，f(a) 例如：f(x,y)=x+y xyx+y 函数求值： f(2,3)可以表示为： (xyx+y) 2 3 (y2+y)3 2+3 如上已经完成了普通加法，这样就结束了？ lambda演算系统中合法的字符如下： x1，x2，x3，.xn 变元 归约 等价 ，（，） 所有能够在lambda演算系统中出现的合法符号只有以上四种，其他符号都是非法的。例如x.x+2，如果没有其他对于符号的说明，那么这就是一个非法的演算表达式。 同时，自然数 2 也需要定义。 在 lambda 演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常见的还是邱奇数 Church数 邱奇编码是把数据和运

3、算符嵌入到lambda演算内的一种方式，它是使用lambda符号的自然数的表示法。这种方法得名于阿隆佐邱奇，他首先以这种方法把数据编码到lambda演算中。 Church数是在Church编码下的自然数的表示法。表示自然数n的高阶函数是把任何其他函数 f 映射到它的n重函数复合 的函数。 lambda演算中的数字n就是一个把函数 f 作为参数并以 f 的n次幂为返回值的函数。在在演算中，计算系统演算中，计算系统用函数的嵌套次数来计数。用函数的嵌套次数来计数。 PLUS 3 2= m.n.f.x.( (m f)(n f) x) ) 3 2 /将3和2应用于m,n这两个自由变量=f.x.( (3

4、f) (2 f) x) ) /(2 f) x) = (f.x.(f (f x) f x) = f (f x)=f.x.( (3 f) (f (f x) ) /3=f.x.f (f (f x)=f.x.( (f.x.f (f (f x) f )(f (f x) ) /将f 和 (f (f x) 应用于f和x上=f.x.(f (f (f (f (f x) /正好等于5的邱奇数定义2.图灵机 图灵机基本模型有一个有穷控制器，一条输入带和一个带头，带被分成许多单元，带头在每个时刻扫视带上的一个单元。 它工作的时候是这样的：从读写头在纸带上读出一个方格的信息，并且根据它当前的内部状态开始对程序进行查表，

5、然后得出一个输出动作，也就是是否往纸带上写信息，还是移动读写头到下一个方格。程序也会告诉它下一时刻内部状态转移到哪一个。 具体的程序就是一个列表，也叫做规则表，是这样的： 当前内部状态s输入数值i 输出动作o下一时刻的内部状态sq01前移q1q10往纸带上写qnq20后移qy 简单说完成加法的图灵机的输入字符集是0、1和+。带字符集是0、1、+、=、还有空白符。 图灵机程序计算加法的过程： 一开始带上内容是一个二进制加式，比如2+3，读写头在右边的 1 上。bb10+11=b 首先，图灵机将读写头运动到更右一个位置，写下 =，然后运动到原始位置。 开始向右扫描。读到 1 或 0，通过进入不同的状态记住读到的是 1 还是 0，把已读过的字符记成已读状态。 然后往右找 + ，找到后，再往右找 1 或 0，还是把读过的字符标记成已读状态。找到后凭借进入不同的状态记住已读到的两个加数分别是什么。 然后再往右找 =，找到后在 = 右边第一个非 0 或 1 的空位写下记住的两个加数的和。3.演算的计算