数值分析(第5版)第2章-插值法

1、 设设 y= f(x) 是区间是区间a , b 上的一个实函数上的一个实函数, , xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1个互异实数个互异实数, ,已知已知 y=f(x) 在在 xi 的值的值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), , 求次数不超过求次数不超过n n的多的多项式项式Pn(x)使其满足使其满足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (2-1)这就是插值问题这就是插值问题. .第第2 2章章 插值法插值法第一节第一节 引言引言n一、一、 插值问题插值问题1其中其中Pn(x) 称为称为 f(x) 的插值多项式的插值多项式, , f(x) 称为称为被插函

2、被插函数数, , xi(i=0,1, .,n)称为称为插值节点插值节点, , (xi, yi) (i=0,1, ,n) 称为称为插值点插值点, , a,b 称为称为插值区间插值区间, , 式式( (2-1) )称为称为插值插值条件条件。 从从几何意义几何意义来看来看, ,上上述问题就是要求一条多述问题就是要求一条多项式曲线项式曲线 y=Pn(x), , 使使它通过已知的它通过已知的n n+1+1个点个点(xi,yi) (i=0,1, ,n), ,并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x). .2二、插值多项式的存在性和唯一性二、插值多项式的存在性和唯一性定理定理1 1 设节点设节点xi (i=

3、0,1, ,n)互异互异, 则则满足插值条件满足插值条件Pn(xi)=yi 的次数不超过的次数不超过n的多项式存在且唯一的多项式存在且唯一. .证证 设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (2-2)则由插值条件式则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得关于系数可得关于系数a0 ,a1 , ,an的线性代数方程组的线性代数方程组3 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有此方程组有n n+1+1个方程个方程, , n n+1+1个未知数个未知数, , 其系数行列式其系数

4、行列式是范德蒙行列式，即：是范德蒙行列式，即：（2-3） ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(1112121102004 ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200由于插值节点由于插值节点 xi 互不相同互不相同, , 所有因子所有因子 xj-xi 0, 所以所以上上述行列式不等于零述行列式不等于零, ,故由克莱姆法则知方程组故由克莱姆法则知方程组 (2-3) 的的解存在唯一解存在唯一. . 即满足条件式即满足条件式 (2-1)的次数不超过的次数不超过n的多的多项式项式(2-2) 存在且唯一。证毕。存在且唯一。证毕。 5第二节第二节 拉格朗日插值拉格朗日插

5、值一、基函数一、基函数 0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 故可设故可设)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 考虑下面最简单考虑下面最简单 最基本的插值问题。求最基本的插值问题。求n 次多项次多项式式 l i(x) (i=0,1, , n)，使其满足条件，使其满足条件6)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 其中其中A A为常数为常数, , 由由li (xi)=1可得可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 70110110()()()()( )()()()()()(0,1, )()iiniiiiiiinnjjijj ixxxxxxx

6、xl xxxxxxxxxxxinxx 称之为称之为拉格朗日基函数拉格朗日基函数。8 n=1时的一次基函数为时的一次基函数为: : 01010110( ),( ).xxxxlxlxxxxx 0 x1xy 1 O x)(0 xl0 x1x)(1xl y Ox9021201010210120122021()()()()( ),( ),()()()()()()( ).()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxx n=2时的二次基函数为时的二次基函数为 : 100110110()()()()( )()()()()()(0,1, )()iiniiiiiiinnjjijj ixxxx

7、xxxxl xxxxxxxxxxxinxx 0( )( )nni iiLxy l x 利用利用拉格朗日基函数式拉格朗日基函数式l i(x), , 构造多项式构造多项式二、拉格朗日插值多项式二、拉格朗日插值多项式设节点设节点xi (i=0,1, ,n)互异互异, 插值条件插值条件Ln(xi)=yi11 特别地特别地, , 当当 n =1时又叫线性插值时又叫线性插值, ,其几何意义为其几何意义为过两点的直线过两点的直线. . 当当n =2时又叫抛物插值时又叫抛物插值, , 其几何意其几何意义为过三点的抛物线义为过三点的抛物线. .可知其满足可知其满足()(0,1, )njjLxyjn ,称为拉格朗

8、日称为拉格朗日)()(xLxPnn 插值多项式插值多项式, , 由插值多项式的唯一性，得由插值多项式的唯一性，得12131)(0 niixl 值得注意的是值得注意的是, , 插值基函数插值基函数l i(x) (i=0,1, ,n)仅由插值仅由插值节点节点xi (i=0,1, ,n)确定确定, ,与被插函数与被插函数 f(x)无关无关. .还应注意还应注意, ,对于插值节点对于插值节点, ,只要求它们互异只要求它们互异, ,与大小次序与大小次序无关。无关。 以以 xi (i=0,1,n)为插值节点为插值节点, , 函数函数 f(x) 1作插值作插值多项式多项式, , 则由插值多项式的唯一性立即得

9、到基函数的则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的一个性质一个性质14019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 所以所以1137(7)2.65L 01,4,9,yx xx 7 例例1 1 已知已知 用线性插值求用线性插值求 近近 似值。似值。012,3,yy 基函数分别为基函数分别为:解解10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55Lxy lxy lxxx 插值多项式为插值多项式为23(9)(4)55xx 1(6)5x 15)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(1

10、1()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl)3, 4(),6, 3(),0 , 1(),2, 1( 例例2 求过点求过点 的三次插值多项式。的三次插值多项式。4, 3, 1, 13210 xxxx解解 以以为节点的基函数为节点的基函数分别为分别为: :16)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL )3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(

11、1(401)2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx17三、插值余项三、插值余项 截断误差截断误差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也称为插值多项式的余也称为插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。项。以下为拉格朗日余项定理。 定理定理1 设设f (x)在区间在区间a ,b上存在上存在n+1 阶导数阶导数, xi a, b (i=0,1, , n) 为为n+1个互异节点个互异节点, 则对任何则对任何x a ,b, , 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn

12、 ( , )a b 且与且与x 有关有关) )()(n0i1inxxx 其中其中18证证 由插值条件和由插值条件和 n+1(x) 的定义的定义, 当当x=xk 时时, 式子显然式子显然成立成立, 且有且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 这表明这表明x0 , x1, , xn 都是函数都是函数 n+1(x) 的零点的零点, 从而从而1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是待定函数是待定函数。 对于任意固

13、定的对于任意固定的x a,b, x xk ,构造自变量构造自变量t 的辅助的辅助函数函数191( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,n ), ,以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn和和x是是 (t) 在区间在区间a,b上的上的n+2个互个互异零点异零点, 因此根据罗尔因此根据罗尔(Rolle)定理定理, 至少存在一点至少存在一点 = (x) (a,b), ,使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)

14、1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以20在估计误差时下列不等式很有用。在估计误差时下列不等式很有用。),(, )()!1()(01baxxxnMxRniinn niinnnxxnfxLxfxR0)1()()!1()()()()( ),(,)(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 或或 xfMnbxan)1(1max 其中其中2115. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，节节点点4, 5 . 2, 2210 xxx)(xf求求的抛物插值多项式的抛物插值多项式, ,且计算且计算f (3)的近似值并估计误差的近似值并估

15、计误差。例例3 设设25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy解解 )45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx插值为多项式插值为多项式22于是于是 325. 0)3(2 xLf因为因为 83)2()(max,64,24 fxfxxfx可得可得03125. 0)43)(5 . 23)(23(8361)3()3()3(22 LfR23例例4 已知已知 用线性插值计算用线性插值计算sin0.33333487. 03

16、4. 0sin,314567. 032. 0sin 解解 (1) 用线性插值用线性插值324027. 0)33487. 0314567. 0(2132. 034. 032. 033. 0333487. 034. 032. 034. 033. 0314567. 0)33. 0(33. 0sin1 L24第三节第三节 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式一、差商及其基本性质一、差商及其基本性质定义定义1 称称101010)()(,xxxfxfxxf 为为 f (x)在在x0、x1点的一阶差商点的一阶差商.一阶差商的差商一阶差商的差商202110210,xxxxfxxfxxxf 称为函数称为函数f

17、(x)在在x0、x1 、x2 点的二阶差商点的二阶差商.25一般地，一般地，n-1阶差商的差商阶差商的差商nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 称为称为f (x)在在x0 , x1 , , xn点的点的 n 阶差商。阶差商。差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下26xk函数值函数值一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商. x0 x1 x2 x3 .f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 .

18、 f x0, x1, x2 , x3 .表表5-127这一性质可以用数学归纳法证明，它表明差商与节这一性质可以用数学归纳法证明，它表明差商与节点的排列次序无关，即点的排列次序无关，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,性质性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即差商可以表示为函数值的线性组合，即称之为差商的对称性称之为差商的对称性。28性质性质2 若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数, 且节点且节

19、点x0 , x1 , xn a,b ,则至少存在一点则至少存在一点 a, b 满足下式满足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f(x)=- -6x8+7x5- -10,求求f1,2, ,9及及f1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=- -68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.29例例2 已知已知1215207431ix)(ixf计算三阶差商计算三阶差商 . 7 , 4 , 3 , 1 f30解解 做差商表做差商表7三三阶阶差差商商二二阶阶差差商商01425. 1 ix)(ixf所以所以25. 17 , 4 , 3 , 1 f1

20、3472151213141431二、牛顿插值多项式二、牛顿插值多项式如此继续下去，可得一系列等式如此继续下去，可得一系列等式设设x是是a，b上一点，由一阶差商定义得上一点，由一阶差商定义得000)()(,xxxfxfxxf 同理，由二阶差商定义同理，由二阶差商定义110010,xxxxfxxfxxxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf 得得)(,)()(000 xxxxfxfxf 得得3201010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxx

21、fxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx33)()(,)()()(,)(,)(,)()(,)(,)()(10021021010210010010100100nnnxxxxxxxxxfxNxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 001001201001( )(),()

22、,()(),()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf xxxxxx 其中其中34可见可见, Nn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知 Nn(x) 满足满足插值条件式插值条件式,故其为插值问题的解故其为插值问题的解,称之为牛顿插值多项称之为牛顿插值多项式。式。由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式 是等价的是等价的,即即 Ln(x) Nn(x)35且有如下递推形式且有如下递推形式)()(,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和余项公式和余项公式)()(,)(010nnnxxxxx

23、xxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性质由此即得性质2 2。且。且k010( ),()()nnnR xf xx xxxxxx36例例3 已知已知求满足以上插值条件得牛顿型插值公式。求满足以上插值条件得牛顿型插值公式。1121520743ix)(ixf37解解 在例在例1中，我们已经计算出中，我们已经计算出;25. 1,3210 xxxxf4, 1, 0)(210100 xxxfxxfxf则牛顿三次插值多项式为则牛顿三次插值多项式为2675.381425. 1)4)(3)(1(25. 1)3)(1(4)1(0)(233 xxxxxxxxxxN38xk f(xk)一

24、阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商0.40 0.55 0.65 0.80 0.900.4107 0.5781 0.6967 0.8881 1.02651.1160 1.1860 1.2757 1.38410.2800 0.3588 0.43360.1970 0.2137 0.0344例例5 已知已知f(x)=shx的数表的数表,求三次牛顿插值多项式求三次牛顿插值多项式,并由此并由此计算计算f(0.596)的近似值。的近似值。 39)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解解 由上表可得过前三点的二次牛顿

25、插值多项式为由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf故故40又又1970. 0,3210 xxxxf可得过前四点的三次牛顿插值多项式可得过前四点的三次牛顿插值多项式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截断误差的截断误差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf41差分与等距节点的牛顿插值多项式差

26、分与等距节点的牛顿插值多项式 设函数设函数y=f(x)在等距节点在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上的上的函数值为函数值为fi=f(xi)(h为步长为步长)定义定义2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1 分别称为函数分别称为函数f(x)在点在点xi处的一阶向前差分和一阶向处的一阶向前差分和一阶向后差分。后差分。 一般地一般地, f(x) 在点在点 xi 处的处的 m 阶向前差分和阶向前差分和 m 阶向阶向后差分分别为后差分分别为 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi- m-1fi-142函数值函数值一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶

27、差分三阶差分四阶差分四阶差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4) . 4f0 ( 4f4) .表表5-243性质性质1 1 mfi= mfi+m性质性质2 2 111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h差分有如下基本性质差分有如下基本性质44代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(!2)()(00

28、2000 ntttnfttftffthxNxNnnn称为牛顿向前插值公式，其余项为称为牛顿向前插值公式，其余项为),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值节点为插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要计算如果要计算 x0附近点附近点 x 处的函数值处的函数值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t 1)45 类似地类似地, 若计算若计算 xn 附近的函数值附近的函数值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- 1 t 0) ，可得牛顿向后插值公式，可得牛顿向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 nttt

29、nfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余项及其余项46例例6 设设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多项式用三次插值多项式求求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近似值.解解 相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下: 0.4814 0.74210 1.22356 1.14396 1.88606 3.10962 1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 2.71828 4.4816 7.28906 12.1824

30、20.0855四阶差分四阶差分三阶差分三阶差分二阶差分二阶差分一阶差分一阶差分函数值函数值47函数值函数值一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分四阶差分四阶差分2.71828 4.48169 7.28906 12.1824 20.0855 1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 1.14396 1.88606 3.10962 0.74210 1.22356 0.4814 求求f(1.2)用牛顿前插公式用牛顿前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)

31、2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN 48求求f(2.8)用牛顿后插公式用牛顿后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得 t= -0.43(2.8)(2.8)3.1096220.085547.90305 ( 0.4)( 0.4) ( 0.4 1)2!1.22356( 0.4) ( 0.4 1)( 0.42)15.76808723!fN 49第四节第四节 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值n一、一、 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式 为了使插值函数能更好的切合原来的函数，许多问为了使插值函数能更好的切合原来的函数，许多问题不但要求节点

32、上的函数值相等，还要求导数值相同题不但要求节点上的函数值相等，还要求导数值相同，甚至高阶导数也相等，这类插值问题称为埃尔米特，甚至高阶导数也相等，这类插值问题称为埃尔米特插值。插值。50 xi a, b (i=0,1, , n) 为为n+1个互异节点个互异节点,考虑函数值考虑函数值与导数个数相等的情况。与导数个数相等的情况。 jjxfy jjxfm nj, 0 我们要求插值多项式我们要求插值多项式H(x)满足满足jjjjmxHyxH )(,)(共共2n+2个条件，可确定次数不超过个条件，可确定次数不超过2n+1的多项式。的多项式。51 ), 1 , 0,(, 0nkjxxjkkk 满足上述条件

33、的插值多项式可以写成用插值基函数满足上述条件的插值多项式可以写成用插值基函数表示的形式表示的形式 njjjjjnxmxyxH012)()()( 52对插值基函数先取对数再求导数得，对插值基函数先取对数再求导数得，535455基函数满足下列插值条件基函数满足下列插值条件)(, )(, )(, )(1010 xxxx 001(0)()0(1)()0(0,1)iiixixi 33()(0,1)()iiiiHxyiHxm H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式称为三次埃尔米特插值多项式。56110(0)()1(1)()0(0,1)iiixixi 001(0)()0(1)()0(0,1)iiixixi 1

34、10(0)()1(1)()0(0,1)iiixixi 57 条条 件件 函函 数数函数值函数值导数值导数值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001表表2-3即即58210100)()(xxxxxxx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx 201011)()(xxxxxxx ,)(21)(20101011xxxxxxxxx 2201000022101111( )12 ( )( )( )()( )( )12 ( )( )( )()( )xlx lxxxxlxxlx lxxxxlx 即即)(),(10 xlxl插值点的插值点的Lag

35、range),(),(1100yxyx为为以以一次基函数一次基函数. 59可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 20101121010020101011210101003)()()(21)(21)(xxxxxxmxxxxxxmxxxxxxxxyxxxxxxxxyxH 定理定理3 满足条件式满足条件式 的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。33(),()(0,1)iiiiHxy Hxmi 60二、误差估计二、误差估计定理定理4 设设f(x)在包含在包含x0

36、、x1的区间的区间a,b内存在四阶导内存在四阶导数，则当数，则当xa,b时有时有(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xH xfxxxx ( , )a b 且与且与x有关有关)61例例1 已知已知f(x)=x1/2在在X=121和和144时的函数值及其一阶导时的函数值及其一阶导数的数据见下表数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似的近似值值,并估计其截断误差并估计其截断误差.6263得得3125(125)11.18035H 由由2/7)4(1615)(xxf 可求得可求得 2233322221112( )22191442652

37、12123231112114414412122 2324 23Hxxxxxxxxx 64例例26566第五节第五节 分段低次插值分段低次插值67686970,)(10baCxIh ., 0,)(20nkfxIkkh 是线性函数。是线性函数。在每个区间在每个区间,)(310 kkhxxxI满满足足已已知知。求求一一折折线线函函数数上上的的函函数数值值。在在节节点点连连接接起起来来逼逼近近函函数数插插值值节节点点用用折折线线段段分分段段线线性性插插值值就就是是通通过过)(), 1 , 0()(xIfnixxfhii 一、分段线性插值一、分段线性插值71)(xIh,1 kkxx由定义知由定义知 在每

38、个小区间在每个小区间上可以表示为上可以表示为 72 , 00(,0(,)(11111111jjjjjjjjjjjjjxxxbaxjxxxxxxxjxxxxxxxxl略略去去）略略去去） njjjhxlfxI0)()(分段线性插值多项式分段线性插值多项式基函数基函数73分段线性插值在区间分段线性插值在区间xi，xi+1上的余项估计式为上的余项估计式为 , , , ,) )( (m ma ax x) ) )( ( (! !) )( () )( () )( (1211182 iixxxiiixxxxfhxxxxfxPxfii 一致收敛定理一致收敛定理：设：设 ， 在在a,b上一致收敛到上一致收敛到

39、。,)(baCxf )(xIh)(xf74例例1 已知函数已知函数 在区间在区间 上取等上取等 距插值节点（如下表）距插值节点（如下表）, 求区间求区间 上分段线性插上分段线性插值函数，并利用它求出值函数，并利用它求出 的近似值的近似值211)(xxfy 5 , 05 , 0)5 . 4(fix1iy0.038460.058820.10.20.51543201, ii解解 在每个小区间在每个小区间 上上， )()1()1()1()1()(11ixyiyiiixyiiixyxPiiii 75于是于是04864. 0)4(03846. 0)5(05882. 0)5 . 4( xxP )4(0384

40、6. 0)5(05882. 0)3(05882. 0)4(1 . 0)2(1 . 0)3(2 . 0)1(2 . 0)2(5 . 05 . 0)1()(xxxxxxxxxxxP 5 , 44 , 33 , 22 , 11 , 0 xxxxx76二、分段三次二、分段三次Hermite插值插值xi，xi+1作埃尔米特插值，得作埃尔米特插值，得),.,1 , 0)(),(nixfmxfyiiii在每个子区间在每个子区间20101121010020101011210101003)()()(21)(21)(xxxxxxmxxxxxxmxxxxxxxxyxxxxxxxxyxH 77显然，显然，H3(x)

41、满足插值条件满足插值条件 H3(xi)=yi，阶导数连续阶导数连续。),.,1 ,0()(i3nimxHi在节点在节点ix处一处一78分段三次埃尔米特插值在区间分段三次埃尔米特插值在区间xi，xi+1上的余上的余项估计式为项估计式为79一致收敛定理一致收敛定理80-0.16-0.500.20.51210ixiyim例例3 已知函数已知函数 , ,在区间在区间 上取等距上取等距插值节点（如下表插值节点（如下表),),求区间求区间 上分段三次上分段三次 埃尔米特插值函数埃尔米特插值函数, ,并利用它求出并利用它求出 的近似值的近似值)5 . 1(f 3 , 03 , 0)1(1)(2xxfy 81

42、解解 ,由式由式(4) ,在每在每 个小区间个小区间 上上1 ih1, ii 212212)(1() 1( )()(1( 21 ) 1()(21)(ixixmixixmixixyixixyxHiiii 于是于是 2222)1)(3314(04. 0)2(5 . 0)34(5 . 0)1)(21()(xxxxxxxxxH2 , 11 , 0 xx82 22)15 . 1)(335 . 114(04. 0)25 . 1(5 . 15 . 0)5 . 1(5 . 1 Hf3125. 0 83定义定义 给定区间给定区间a，b的一个划分的一个划分 a=x0 x1.xn-1xn=b，如果函数如果函数S(x

43、)满足：满足：在每个小区间在每个小区间xi，xi+1(i=0,1,.,n-1)上是三次多项式。上是三次多项式。在每个内节点在每个内节点xi(i=1,2,.,n-1)上上第六节第六节 样条插值样条插值n一、问题的提出一、问题的提出 84具有二阶连续导数，则称具有二阶连续导数，则称S(x)为关于上述划分的为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。一个三次多项式样条函数，简称三次样条。S(x)在每个小区间在每个小区间xi，xi+1上是一个三次多上是一个三次多项式，因此需要确定四个待定常数，一共有项式，因此需要确定四个待定常数，一共有n个个小区间故应确定小区间故应确定4n个系数，个系数，S

44、(x)在在n-1个节点上个节点上具有二阶连续导数，应满足条件具有二阶连续导数，应满足条件85)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii86二、三弯矩方程二、三弯矩方程Mi来求来求S(x)的方法称为三弯矩法的方法称为三弯矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 为参数为参数,这种通过确定这种通过确定设设iiiiiihxxMhxxMxS 11) )( ( 在在xi，xi+1上是一次多项式且可表示为上是一次多项式且可表示为)(xS 积分两次并利用积分两次并利用 S(xi)=yi S(xi+1)=yi+1定出积分常数得定出积分常数得对对)(x

45、S 87) )( () ), , , ,( ( , , ) )( () )( () )( () )( () )( (2861106666121112311nixxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSiiiiiiiiiiiiiiii为了使为了使 S(x) 成为所求的三次样条，同时为了成为所求的三次样条，同时为了确定参数确定参数 Mi ，对，对S(x) 求导得求导得iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 88所以所以) )( () )( () )( () )( (30636029663011111iiiiiiiiiiiiiiiihyyMhMhxS

46、hyyMhMhxS) )( () ), , , ,( (316121211nidMMMiiiiii 得得(i=1,2,.,n-1) )( () )( (00iixSxS由由89) 1, 2 , 1(6) 1, 2 , 1(1(1111111 nihyyhyyhhdnihhhhhhiiiiiiiiiiiiiiiiii 1 1、I I 型样条函数型样条函数，由公式，由公式(6-29)、(6-30) 得得nnmxSmxS) )( (, ,) )( (00已知已知90即即) ) )( () )( () )( ( () )( (34666336221110001001010nnnnnnnnnhyymhd

47、mhyyhddMMdMM) )( () )( () )( (326366311111001100000nnnnnnnnnhyyMhMhxSmhyyMhMhxSm91合并式合并式(6-31)、(6-33)有有) )( (3562122121101101111nnnnnnddddMMMM 从中解出从中解出Mi(i=0,1,.,n)代入式代入式(6-28)得得 I 型三次样条型三次样条S(x)。922、II 型样条函数型样条函数M0、Mn已知，故方程组已知，故方程组(6-31)为为从中解出从中解出 Mi(i=1,2,.,n-1) 代入式代入式(6-28)得得 II 型三次样条型三次样条S(x)。93

48、3、III III 型样条函数型样条函数111110001100036)0()0(63 nnnnnnnnhyyMhMhxSxShyyMhMh，则由公则由公式式(6-29)、(6-30)得得) )( () )( (000nxSxS已知已知94整理得整理得) )( (376211nnnnndMMM 其中其中) )( (38661110011011100nnnnnnnonnnnhyyhyyhhdhhhhhh 9596三、三转角方程三、三转角方程设设), 1 ,0()(nimxSii定定im为参数，这种通过确为参数，这种通过确来求来求S(x)的方法叫三转角法的方法叫三转角法。用前面介绍的分段埃尔米特插

49、值，得到在用前面介绍的分段埃尔米特插值，得到在iixx, ,1上上S(x)的表达式为的表达式为) )( () )( () )( (. .) )( () )( () )( (4062121211211211112111iiiiiiiiiiiiiiiiimhxxxxhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxS97) )( (xS iiiiiiiiyxxhhyxxhh) )( () )( (1312113121126126iiiiiiiimxxhhmxxhh) )( () )( (121112116262所以所以) )( ( ixSiiiiiiiimhmhyhyh111211214266) )( (

50、ixS11222466iiiiiiiimhmhyhyh同理同理98其中其中：iiiiiiiiihhhhhh1111 , ,1113iiiiiiixxfxxfg, , , ) ), , , ,( (121ni(6-42)同三弯矩方程一样，有三种条件：同三弯矩方程一样，有三种条件：1、已知、已知,)(,)(00nnmxfmxf则方程组化为则方程组化为：) ) )( (, , , ,( (416121211nigmmmiiiiii ) )( (ixS得得：) ), ,( ( ixS由由S(x)二阶连续可微，即二阶连续可微，即99)436(222211220111221122221 nnnnnnnnn

51、mgggmgmmmm 2、已知、已知00 ) )( () )( (nxSxS由由00 ) )( (xS可得可得 1010,32xxfmm 由由0 ) )( (nxS可得可得nnnnxxfmm, ,1132100101032xxfmm, ,于是有于是有iiiiiigmmm112 ) ) )( (, , ,( (446121ninnnnxxfmm, ,1132) )( (4562122121101101111nnnnnnggggmmmm 即矩阵形式为即矩阵形式为：101其中其中 nnnxxfgxxfg,3,31100 3、已知、已知)()(),()(),()(000nnnxSxSxSxSxSxS

52、则有则有：nmm 0 )466(13213111211000120 nnnnnnmmhyyhmmhyyh102)476(2222121121112211 nnnnnnnnggggmmmm 103 )max()506()(max83)()(max)496()(max241)()(max)486()(max3845)()(max10)4(2)4(3)4(4inibxabxabxabxabxabxahhxfhxSxfxfhxSxfxfhxSxf 则其则其I 型和型和II 型三次样条插值函数以及导数的型三次样条插值函数以及导数的误差有如下估计式误差有如下估计式设设 f(x) 在在a，b上有直到四阶的连续导