多元函数的极值ppt课件

1、实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，假设本地牌子的每瓶卖计，假设本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，那么每天可卖出元，那么每天可卖出 瓶瓶本地牌子的果汁，本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价钱卖两种牌子的果汁汁问：店主每天以什么价钱卖两种牌子的果汁可获得最大收益？可获得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最

2、大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.问题的提出问题的提出的的图图形形观观察察二二元元函函数数22yxexyz 播放播放1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 极极大大值值点点、极极小小值值点点统统称称为为极极值值点点. . 若若 ),(),(00yxfyxf ， 则则称称),(00yxf为为极极小小值值，),(00yx为为极极小小值值点点. . 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有的某邻域内有定义，对于该邻域内异于定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx： 若若 ),(

3、),(00yxfyxf ， 则称则称),(00yxf为为极大值极大值，),(00yx为为极大值点极大值点； 例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必要条件必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且在具有偏导数，且在点点),(00yx处处有极值有极值，则它在该点的偏导数必然为，则它在该点的偏导数必然为零：零： 2 2、多元函数获得极值的必要条件、多元函数获得极值的必要条件不不妨妨设设),(yxfz

4、 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值, 0),(00 yxfx0),(00 yxfy必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.xyzo ),(000yxPxyzo ),(000yxP.),(,(),(),(0000000平平面面切切平平面面平平行行于于处处的的时时，对对应应图图形形上

5、上的的点点取取极极值值可可微微且且在在当当函函数数xoyyxfyxMyxPyxfz 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点或者临界点的点，均称为函数的驻点或者临界点.驻点驻点极值点极值点留意：留意：且偏导存在且偏导存在., , 0),(; 0),(000000）是是驻驻点点的的点点（即即满满足足方方程程组组yxyxfyxfyx .)0 , 0()0 , 0(, 0)0 , 0(, 0)0 , 0()0 , 0(22不是极值点不是极值点是驻点，但是驻点，但点点处偏导数处偏导数在在例如：函数例如：函数 yxffyxz , 0; 0),()

6、,(0000yxyxyzxz即即.)0 , 0()0 , 0(22不是驻点不是驻点数不存在，数不存在，处有极大值但在偏导处有极大值但在偏导在在例如：函数例如：函数yxz 0, zuyuxu即即梯度向量可表示为：取得极值的必要条件用在点一般地，多元函数0Pf 0d0 Pfgra定理定理 2 2（充分条件充分条件）设函数）设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下： （1 1）02 BAC时时具具有有极极值值， 当当0 A时时有有

7、极极大大值值， 当当0 A时时有有极极小小值值； （2 2）02 BAC时时没没有有极极值值； （3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 , 0),( , 0),( 0000 yxfyxfyx又又,),( ,),( ,),( 000000CyxfByxfAyxfyyxyxx 令令求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点及不可导点及不可导点. 第第二二步步 对对于于每每一一个个极极值值可可疑疑点点),(00y

8、x， 进进一一步步判判定定.对对驻驻点点,求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A，B，C. 第第三三步步 对对二二阶阶偏偏导导存存在在的的驻驻点点，定定出出2BAC 的的符符 号号，再再判判定定是是否否取取得得极极值值，取取得得极极值值时时，是是极极 大大值值还还是是极极小小值值. 极值可极值可疑点疑点 注：注： 对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按 极值定义断定之极值定义断定之., 求极值设函数例yxyxyxz2122 ),0 , 1(, 012),(, 022),(, 12),(, 22),(求求出出驻驻点点组组成成方方程程组组解解： yxyxfy

9、xyxfyxyxfyxyxfyxyx, 2 , 1 , 2 yyxyxxfff , 02, 03122212)0 , 1(22 ABACCBA又因又因，处，处，在驻点在驻点. 10120011)0 , 1()0 , 1(22 ff处取极小值：处取极小值：在在函数函数.的极值求函例 xyxyxz93322233).2 , 3(),0 , 3(),2 , 1(),0 , 1(, 063),(, 0963),(,63),(, 963),(2222 求求出出驻驻点点组组成成方方程程组组解解：yyyxfxxyxfyyyxfxxyxfyxyx. 66 , 0 , 66 yffxfyyxyxx; 5)0 ,

10、 1()0 , 1(0120612)0 , 1(2 ffABAC处有极小值：处有极小值：在在所以函数所以函数，又因又因，处，处，在驻点在驻点 .31)2 , 3()2 , 3(0120612)2 , 3(2 ffABAC处有极大值：处有极大值：在在所以函数所以函数，又因又因，处，处，在驻点在驻点 .)2 , 1(0612)2 , 1(2不是极值不是极值所以所以，处，处，在驻点在驻点fBAC ;)0 , 3(0612)0 , 3(2不是极值不是极值所以所以，处，处，在驻点在驻点 fBAC驻驻点点为为)1, 1( P,将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxx

11、zzzyzzzx将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件 知知, )0, 0( yxzz,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.例例4 讨论函数讨论函数及及能否获得极值能否获得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点

12、都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02BAC33yxz能够为能够为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz求最值的普通方法：求最值的普通方法： 将函数在将函数在D D内的一切驻点及不可导点处的内的一切驻点及不可导点处的函数值及在函数值及在D D的边境上的最大值和最小值相互的边境上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为比

13、较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用多元函与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值数的极值来求多元函数的最大值和最小值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,解解方方程程组组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在在边边界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)

14、2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比较较后后可可知知4)1 , 2( f为为最最大大值值,64)2 , 4( f为为最最小小值值.xyo6 yxD, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即即充充分分远远处处的的值值为为零零. ,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件

15、极值：对自变量除了限制在定义无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件域内外，并无其他条件.例例7 用一块面积为用一块面积为 12 平方米的铁皮制造一个无盖的平方米的铁皮制造一个无盖的长方体外形的水柜长方体外形的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大柜的容积最大? 解：设水柜的长、宽、高分解：设水柜的长、宽、高分别为别为x，y，z，那么，那么 xyz,1222 xyyzxzxyzV,)(2)12(,)(212yxxyxyVyxxyz ; 0)(2)212(; 0)(2)212(222222yxyxyxyVyxxxyyxV因此，长、宽、高分别为

16、因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，最大容时容积最大，最大容积为积为4。 ; 0212; 0212, 0, 022yxyxxyyx .0, 0),(因因为为函函数数只只有有一一个个驻驻点点内内部部取取得得，又又并并且且在在区区域域，容容积积的的最最大大值值一一定定存存在在根根据据实实际际问问题题的的意意义义， yxyxD, 1, 2 zyx. 1)22(22212 z),2 , 2(, 0312,2驻驻点点 xyx条件极值：条件极值：对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外, ,还有其它条件限制还有其它条件限制实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决议用来购买两元钱，他决议用来购

17、买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带到达最正确效果，盒录音磁带到达最正确效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以到达最正确效果元以到达最正确效果xyyxyxUlnln),( 问题的本质：求问题的本质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx普通地，求函数普通地，求函数 (目的函数目的函数),在条件在条件 (约束条件约束条件) 下的极值问题称为条件极值问题下的极值问题称为条件极值问题.0 0

18、) ), ,( ( yx) ), ,( (yxfz 条件极值：条件极值：对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外, ,还有其它条件限制还有其它条件限制条件极值的求法条件极值的求法: : 方法方法1 1 代入法代入法. .求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题例例: :转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz,0),(下在条件yx方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法. .如方法如方法1 1 所述所述 , ,那么问题等价于一元函数那么问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题, ,极值

19、点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数L L称为拉格朗日函数称为拉格朗日函数, , 0 xxxfL0yyyfL0),( yxL极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx那么极值点满足那么极值点满足: :),(),(),(yxyxfyxL拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 实数实数 称为拉格朗日乘数称为拉格朗日乘数.,还还是是极极小小值值值值题题的的意意义义判判定定出出是是极极大大极极值值点点，再再根根据据实

20、实际际问问驻驻点点就就是是可可能能的的）解解出出再再求求其其驻驻点点（有有时时不不必必，先先构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数在在实实际际计计算算条条件件极极值值时时 0 xxxfL0yyyfL0),( yxL那么极值点满足那么极值点满足: :),(),(),(yxyxfyxL拉格朗日乘数法可推行到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推行到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(zyxzyxzyxfL21

21、021xxxxfL021yyyyfL021zzzzfL01),(zyxL01),(zyxL推行推行:例例8 求函数求函数f(x,y)=x2 +2y2在条件在条件x2 +y2 =1下的最值下的最值.)( 1)0 , 1()0 , 1()(2)1, 0()1 , 0().0 , 1(),0 , 1(, 1, 0,1 );1(0,(0,1), 1, 2,0最最小小值值最最大大值值计计算算时时时时 ffffxyyx 解解)1(22222 yxyxL 拉拉格格朗朗日日函函数数设设 010)2(0240)1(022 22yxyyyLxxxLyx 建建立立方方程程组组目的函数：目的函数：约束条件：约束条件：

22、x2 +y2 =1222),(yxyxfz 例例9 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 z=x2 +2y2 与平面与平面 3x+6y+2z=27 的交线上与的交线上与xOy平面的最短的间隔平面的最短的间隔. 027290272633 02022064 032222zxzyxxzzyxzLyLyxxLzyx ),27,3,3( ,427,23,23 ）解解得得（.427最最短短距距离离为为解解)27263()2(222 zyxzyxzL 例例 1 10 0 将将正正数数 12 分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大. 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxL

23、 , 120020323322zyxyxLyzxLzyxLzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值为为才才能能使使表表面面积积最最小小？如如何何设设计计水水池池的的尺尺寸寸，该该的的无无盖盖长长方方体体水水池池，应应例例：要要造造一一个个容容积积为为0V,1x,y,z高高分分别别为为：设设长长方方体体的的长长、宽宽、解解法法 , 02; 022020 yVxySxVyxS令令,2 ,2 2020yVxySxVyxS yVxVxyyxS0022),( xyVxxyVyxyxzyzxyyxS002222),( , , 00 xy

24、VzVxyz 则则xyz表表面面积积.221,2,2303030时表面积最小时表面积最小高为高为宽为宽为当长为当长为VVV,在在表表面面积积的的最最小小值值一一定定存存.221 300VxyVz ,2,23030VyVx 解解得得 .4; 1;4302223022 yVySyxSxVxS 02242,200303022 VVVVxSA, 12 yxSB , 02242,200303022 VVVVySC, 01222 BAC,2,23030VyVx ：解解法法2, ,22),(0VxyzxzyzxyyxS 限限制制条条件件构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：)(22)(0Vxyzxzyzxyx

25、,y,z,L ,22,(2)(1)yxxyzxzy 得得、由由,2,222,(3)(2)zyyzyxzx 得得、由由,221,2(4)3030VzVyx 得得代代入入 (4) ;0(3) ;22(2) ;2(1) ;20VxyzLxyyxzLxzzxyLyzzyxL .221,2,2303030时表面积最小时表面积最小高为高为宽为宽为当长为当长为VVV表面积表面积例例 1 11 1 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标. 解解设设),(0

26、00zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的的切切平平面面方方程程为为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化简简为为 1202020 czzbyyaxx,该该切切平平面面在在三三个个轴轴上上的的截截距距各各为为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV , 在在条条件件1220220220 czbyax下下求求 的的最最小小值值,0002226zy

27、xcbaV .1000220220220的的最最大大值值下下求求等等价价于于在在条条件件zyxuczbyax 2202202200001),(czbyaxzyxzyxL 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 (4) , 01 (3) ;02 (2) ;02 (1) ;02220220220200020002000czbyaxLbzyxzLbyzxyLaxzyxL 当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四四面面体体的的体体积积最最小小abcV23min .可得可得30ax 30by ，30cz (4) , 01 (3) ;02 (2) ;02 (1) ;02220220220200020

28、002000czbyaxLbzyxzLbyzxyLaxzyxL 13222321220220220220220220220000000axczbyaxczbyaxzyxzyx,)(;)(;)( 令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxL 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax , ,010, 0, 0220220220000 cybyaxLLLzyx 由由1220220220 czbyax 000222min661zyxcbaxyzV 取取极极值值的的点点相相同同）取取极极值值的的点点与与使使（使使)ln(000zyxuV 多元函数的极值多元函数的极值求条

29、件极值的拉格朗日乘数法求条件极值的拉格朗日乘数法获得无条件极值的必要条件、充分条件获得无条件极值的必要条件、充分条件多元函数的最值多元函数的最值小小 结结思索题思索题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思索题解答思索题解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不不取取极极值值.练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值