多元函数全微分ppt课件

1、),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二元函数对二元函数对 x和对和对y的的偏微分偏微分 二元函数对二元函数对 x和对和对y的的偏改变量偏改变量 由一元函数微分学中改动量与微分的关系由一元函数微分学中改动量与微分的关系:.)()()(dxxfdyxfxxfy 得得 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P 对对应应于于自自变变量量

2、改改变变量量yx ,的的全全改改变变量量（全全增增量量），记记为为z 全改动量的概念全改动量的概念 即即 z =),(),(yxfyyxxf 0 x0yx y yx yxyxxyyxyyxxyxfyyxxfzyxxyyxfzyx 000000000000)(),(),(),(.),(,的改变量为的改变量为矩形面积在点矩形面积在点则面积为则面积为例如：设矩形边长例如：设矩形边长000000),(,),(xyxfyyxfyx 线性主要部分)()(22yxo可可表表示示为为的的全全改改变变量量在在点点如如果果函函数数),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz )( oyBxA

3、z ,有关有关而仅与而仅与不依赖于不依赖于其中其中yxyxBA 即即记为记为,dzyBxAdzyx ),(00 oxyx y ),(),(,),(),(0000yxyxfzyBxAyxyxfz在点在点称为函数称为函数可微分可微分在点在点则称函数则称函数 .全微分全微分22)()(yx 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在D 内内可可微微分分.y=f(x)在某点处：在某点处： 可导可导 可微延续可微延续z=f(x,y)在某点处：可偏导在某点处：可偏导 可微分延续可微分延续延续延续 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微

4、微分分, 则则函函数数在在该该点点连连续续.证：证： 现实上现实上),( oyBxAz , 0),(),(limlim0000000 yxfyyxxfzyx 即即),(lim0000yyxxfyx ),(00yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处连连续续.1定定理理 22yx . 0, 0, 0, 0)(limlim00 yxoyBxAz yyxfxyxfdzyxfyxfyxfzyxyxfzyxyxyx ),(),( ),( ),(),( ,),(20000),(00000000 存存在在，且且的的两两个个偏偏导导数数则则函函数数）可可微微分分，在在点点（：如如果果函函

5、数数定定理理),(),(0000yxfByxfAoyBxAzyx ，）即即可可微微分分定定义义中中 证：证：如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(00yxP可微分可微分, 220000 ),( ),(),(yxoyBxAyxfyyxxfz 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此此时时|x ,),(),(0000yxfyxxf |),(| xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim00000),(00yxfAx 同理可得同理可得).,(00yxfBy y=f(x)在某点处：在某点处： 可导可导 可微可微z=f(x,y)在某点处：在某点处： 可偏导可偏导 可微分可微分例如，例如，

6、.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 那那么么2222)()()()(yxyxyxyx),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 阐明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全阐明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证：证：),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf. ),( ,),(),( ),( ),(30000可可微微分分在在点点则则函函数数连连续续在在点点的的偏偏导导数数：如如果果函函数数定定理理yxfyxyx

7、fyxfyxfzyx ),(),(0000yyxfyyxxf xyyxxfx ),(010 )10(1 xxyxfx 100),( 依偏导数的延续性依偏导数的延续性且且当当0, 0 yx时时，01 .同理同理),(),(0000yxfyyxf ,),(200yyyxfy ),(),(lim000000yxfyyxxfxxyx 100010),(),( yxfyyxxfxx且且当当0, 0 yx时时，02 .无穷小无穷小xxyxfx 100),( yyyxfy 200),( z 212121 yxyx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微处可微 22yx . 0, 0

8、, 0yx 全全微微分分记记为为注注：习习惯惯上上记记,dyydxx yyxfxyxfdzyx),(),(上上的的全全微微分分记记为为在在区区域域上上可可微微，函函数数在在区区域域则则称称函函数数）都都可可微微，上上每每一一点点（在在定定义义域域如如果果函函数数DfDfyxDyxfz,),( dyyxfdxyxfdzyxyx),(),( 0000),(00 .dyyzdxxzdz 或或.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推行到三元函数全微分的定义可推行到三元函数:.),(dzzudyyudxxuduzyxfu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微

9、分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理理叠加原理也适用于叠加原理也适用于n元函数的情况元函数的情况:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun 212121),(例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxy

10、yxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计算函数计算函数yzeyxu 2sin的全微分的全微分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在点在点)0 , 0(1)连续连续; (2)偏导数存在偏导数存在; (3)偏导数在偏导数在点点)0 , 0(不连续不连续; (4)f在点在点)0 , 0(可微可微. 思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论

11、论；对对于于偏偏导导数数需需分分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨讨论论. 证证那那么么22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(l

12、im)0 , 0(),(yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.(3)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在在点点)0 , 0(可可微微 . 0)0,0( df(4)多元函数延续、可导、可微的关系多元函数延续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数延续函数延续偏导数延续偏导数延续函数可导函数可导都都较较小小时时，有有近近似似等等式式连连续续，且且个个偏偏导导数数的的两两在在点点当当二二元元函函数数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00.),(),(0000yyxf

13、xyxfdzzyx 也可写成也可写成).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),(),(0000yxfyyxxfz yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(00000000 00,yyyxxx 令令.cm, 4 cm, 20 cm, 1 . 0 值值求容器外壳体积的近似求容器外壳体积的近似半径为半径为内内内高为内高为外壳厚度均为外壳厚度均为容器，容器的容器，容器的例：有一无盖的圆柱形例：有一无盖的圆柱形解：设圆柱描画器的半径为解：设圆柱描画器的半径为r,高为高为h，hrV2 外壳体积可看作容器体积外壳体积可看作容器体积V在在r

14、=4,h=20时，时，.1 . 0分分近近似似计计算算时时的的全全增增量量，可可用用全全微微 hr连连续续，2,2rhVrhrV hrrrhhhVrrVdVV 22 )cm(6 .171 . 041 . 0204232 那么圆锥体的体积为那么圆锥体的体积为例例4.)99. 1()02. 2(322的的近近似似值值计计算算 .01. 002. 0)2 , 2(),()99. 1()02. 2(,),(:322322时时的的函函数数值值、处处、自自变变量量有有增增量量在在点点函函数数可可看看作作则则设设解解 yxyxfyxyxf,0)(32),(,)(32),(2232223222上上处处处处连连

15、续续在在 yxyxyyxfyxxyxfyx,31)2 , 2(,31)(32)2 , 2()2,2(3222 yxfyxxf)01. 0()2 , 2(02. 0)2 , 2()2 , 2()99. 1 ,02. 2( yxffff0033. 201. 03102. 0312 .0033. 2)99. 1()02. 2(322 即即例例 5 5 计计算算02. 2)04. 1(的的近近似似值值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2

16、, 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 ).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数延续、可导、可微的关系多元函数延续、可导、可微的关系留意：与一元函数有很大区别留意：与一元函数有很大区别小小 结结思索题思索题练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数

17、xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为

18、cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六、利用全微分证明六、利用全微分证明: :乘积的相对误差等于各因子的相乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和对误差之和; ;商的相对误差等于被除数及除数的相商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和对误差之和. .七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及