数学模型作业

1、东 北 大 学研 究 生 考 试 试 卷评分考试科目： 数学模型 课程编号： 阅 卷 人： 考试日期： 2011.12 姓 名： 韩彦龙 （3）班 学 号： 1100480 注 意 事 项1考 前 研 究 生 将 上 述 项 目 填 写 清 楚2字 迹 要 清 楚，保 持 卷 面 清 洁3交 卷 时 请 将 本 试 卷 和 题 签 一 起 上 交东北大学研究生院数学模型在机械振动研究中的应用1 概述对于数学模型，现在还没有一个确定、统一的定义。因为从不同的角度出发或者采用不同的方法都可以有不同的定义。一般说来，数学模型是指用数学的语言描述客观世界的矛盾和事物。具体来说，数学模型是对现实问题中的

2、某一特定对象，为了某个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，用字母数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及表格、图像、树状图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。机械振动系统中的数学模型就是将实际事物抽象化而得到的表达，例如，力学中的质点、刚体、梁、板、壳、弹簧-质量系统都是数学模型。振动系统模型按系统的不同性质可以分为离散型系统和连续性系统、常参数系统与变参数系统、线性系统与非线性系统，确定系统与随机系统。（1）离散型系统与连续性系统 离散型系统是由集中参数元件组成的，基本的集中原件有三种：质量、弹簧与阻尼。质量模型只具有惯性，弹簧模型只具有弹性，其本身质量可

3、以忽略不计，阻尼模型既不具有弹性，也不具有惯性。阻尼模型是耗能原件，在相对运动中产生阻力。离散系统的运动在数学上用常微分方程描述。 连续系统是由弹性体原件组成的，典型的弹性体有杆、梁、轴、板、壳等。弹性体的弹性、弹性与阻尼是连续分布的，故亦称为分布参数系统。（2）常参数系统与变参数系统 如果一个振动系统的各个特性参数（如质量、刚度、阻尼系数等）都不随时间变化而变化，即他们不是时间的函数，这个系统就称为常参数系统。反之，则称为变参数系统。常参数系统的运动用常系数微分方程描述，而变参数系统则需要用变系数微分方程来描述。（3）线性系统和非线性系统如果一个系统的质量不随运动参数变化，而且系统的弹力和阻

4、尼力都可以简化为线性模型，即弹力和变形的一次方成正比，阻力和变形的一次方成正比，则称为线性系统。凡是不能简化为线性系统的振动系统都可以称为非线性系统。线性系统的运动用线性微分方程来描述，而非线性系统则需要用非线性系统来描述。(4)确定系统与随机系统确定系统的系统特性可以用时间的确定函数表示，随机系统的特性不能用时间的确定函数给出，只具有概率统计规律性。2 机械振动发展和研究现状振动无处不在，大到宇宙，小到微粒子，均存在振动现象。皆表现为各自的动力学行为。从广义上月亮的圆缺，潮汐的涨落，树木的年轮，人口的增讲长与衰减，农作物虫灾发生的周期，股市的涨跌与震荡，经济发展速度的变化等也具有振动共性。对

5、振动和动力学的研究。为人类认识世界，改造世界提供了无限的想象力和动力。公元前4000年出现的语言，音乐与乐器是人类进化和应用振动的典型实例。张衡发明地动仪在中国科学史上振动理论与相关技术已经广泛应用且具有重要意义。振动还应用于冶金，煤炭，石油，化工，机械，水利，电力，土木建筑，建材，铁路与公路交通，轻工与食品，农业生物，信息，医疗，健身，气象，玩具，钟表，光导纤维激光技术，超声技术等许多领域。另外，振动还广泛应用于各类工业部门中，特别是矿山工业中。物料的给料、输送、筛分、脱水和破碎、磨碎等作业，都可使用振动机械。例如：振动给料机、振动输送机、振动筛分机、振动磨矿机和振动破碎机等。在矿山工业及其

6、他一些工业部门中，各种振动机械用量很大。由于振动设备在国民经济中的重要位置，国内外对机械振动设备的研究都十分重视。近年来，振动设备有了很大的发展。数学的进步促使了航空航天，机械，车辆，船舶，土木，控制，通讯等工业的发展。进而促使对人们对振动线性时不变系统的振动现象进行深入研究，并形成了完整体系。由于数学的发展，非线性振动理论也得到了很大发展。3 基于数学模型下的几种机械振动研究方法3.1单自由度线性系统的振动模型在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统，用一个二阶常系数微分方程来描述，这类模型常用为较复杂系统的初步近似描述。复杂系统的数学模型可通过模态分析技术转化为一组独立的二阶常微分方程，其

7、中每一个方程都类似于单自由度系统的运动方程。因此，对单自由度系统进行详细深入的分析是十分必要的。构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。构成离散模型的元素有三个，弹性元件、阻尼元件和惯性元件。弹性元件最典型的例子是弹簧，通常假定弹簧为无质量元件。单自由度线性系统的振动模型其微分方程为： （3.1） 设，方程的解为：，其中特征方程为： （3.2）其解为： 定义临街阻尼系数：，阻尼比或阻尼因子：特征值：讨论阻尼比不同情况时，微分方程的解和特征值。当 时，方程的解： ， 特征值：当 时，方程的解： ，特征值：当时，方程的解： 特征值：当时，方程的解 通过对上述微分方程的讨论，就解决了单自由度

8、机械振动问题，还可以确定系统的响应，为应用于实际生产奠定了基础。振动及动力学问题采用数学分析方法显得思路清晰、灵活、易懂，对解的解释与实际问题完全相符，故工程应用非常方便。3.2多自由度线性系统的振动n个自由度的系统振动微分方程应用牛顿第二定律有 （3.3） （3.4） （3.5）研究多自由度振动系统主要是解决时间最优控制问题，利用主振型的正交性，将多自由度系统的振动变换为一系列独立的主振动，在分别求得各阶主振动的快速控制表达式后，再由振型变换得整个系统的快速控制解，代入约束条件得最到时间应满足的上述方程。利用外力控制结构的运动使之达到所要求的状态称为主动控制，其方法在航空航天及机器人控制等高

9、科技工程中有着广泛的应用，日益受到人们的重视，而获取最优控制解是整个问题的关键。控制方法主要局限于频域法，应用范围和控制效果均有一定的限制。随着现代控制理论的建立和完善，时域法有了较大的发展，解决了许多难以解决的问题，如今己成为一个非常活跃的研究方向。在实际工程中，一个受扰动而发生振动的系统，其功能常会受到损害，甚至有时会发生灾难性。为使其能迅速停振，不得不借助于外力以达目的。在大多数情况下，施加的外力会受动物理上的约束，如能量和功率的约束相等。所谓快速控制问题，就是要在允许的控制力集合内选取控制外力，使其所对应的系统停振时间达到最小。求解多自由度系统往往需要通过计算机计算来得到解，具有分布参

10、数及连续参数系统的运动微分方程中所包含的参数是空间变量的连续函数，则分布参数系统具有无限多个自由度。因此与其对应的特征解有无限多个特征值和特征向量，但是实际工程问题不可能也没有必要得到完全的特征解。3.3傅里叶变换在机械振动研究中的运用傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。傅立叶变换的基本思想首先由法国学者傅立叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。从现代数学的眼光来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。通过对函

11、数的条分缕析来达到对复杂函数的深入理解和研究。傅里叶变换在机械振动，物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。不同机械系统傅里叶变换如下：(1)连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换： （3.6） （3.7）(2)连续时间、离散频率傅

12、里叶变换-傅氏级数： （3.8） （3.9）(3)离散时间、连续频率： （3.10） （3.11）在机械振动研究中很多情况下需要分析系统对非周期激励的响应，由于输入信号是随机信号，很难预测系统的激励。通过傅里叶变换，可以将非周期信号转化成正弦函数或者余弦函数的叠加，再根据系统对简谐信号的响应，将各个输出分量叠加得到总和。这样运用傅立叶变换就能方便的求的系统对任意非周期信号的响应。3.4小波分析方法小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波分析是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化

13、分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，是调和分析发展史上里程碑式的进展。 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。在机械振动研究中，时常需要分析系统对一些信号的响应，在进行分析之前，需要将信号进行处理。信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储，精确地重构（或恢复）。在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 小波分析应用的另一重要方面是信号与图像压缩。小波在信号分析中的应用也十分广泛。可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。小波分

14、析由于具有时频域局部化特性，能将信号分解成交织在一起的多种尺度成分，并对大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域采样步长，从而能不断地聚焦到被测对象的任意微小调节，故被称之为“数学显微镜”。正是因为小波变换能不断地对被测信号进行聚焦，从而能从含有强噪声的振动信号中有效地识别出突变信号，故在机械设备的故障检测中获得了广泛的应用。机械设备由于局部异常而诱发的信号往往具有奇异性，表现为突变、尖点等不规则的瞬变结构。信号的奇异性包含了相应对象的重要状态特征信息，判断信号的奇异点出现的时刻，对信号奇异性实现了科学的描述，在信号处理和故障诊断等领域具有重要的意义。通常情况下，信号奇异性分两种情况：一种是

15、信号在某一个时刻内，其幅值发生突变，引起信号非连续；另一种是信号外观上很光滑，幅值没有突变，但是信号的一阶微分有突变产生，且一阶微分是不连续的小波变换对强噪声淹没下的瞬时信号的检测十分有效，且小波通过去噪，不影响对微弱时的信号检测。通过小波分解能够把任何信号(平稳或非平稳)映射到由一个小波伸缩、平移而成的一组基函数上，在通频范围内，得到分布在各个不同频道内的分解序列，其信息量是完整的。因此小波分析为机械故障监测及诊断提供了一种强有力的分析方式。3.5数学模型在机械振动线性控制系统中的运用机械控制系统的数学模型在控制系统研究中是相当重要的，要对系统进行仿真处理，首先应该建立系统的数学模型，然后才

16、能进行模拟，知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得原系统的响应达到预期的效果。所以说机械控制系统的数学模型是系统分析和设计的基础。目前大部分控制系统分析与设计的算法都需要架设系统的模拟已知，从而获得数学模型有两种方法：其一是从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型，另一种是由试验数据拟合系统的数学模型。前一种方法称为系统的物理建模方法，后一种方法称为系统识别。有了系统的数学模型，可以用MANTLAB进行分析和设计，运用MANTLAB语言对其数学模型进行描述。机械线性控制系统可以分为连续系统和离散系统，描述线性连续系统常用的描述方式是传递函数和状态方程。离

17、散型系统可以用离散传递函数和离散状态方程表示。连续动态系统由微分方程来描述，线性系统又是以线性常微分方程来描述的。状态方程是描述控制系统的另一种方式，这种方式由于是基于系统的内部的状态变量的，所以往往又称为系统的内部表述方法。4 机械振动研究发展展望由于矿山规模的不断扩大，大型振动给料机得到了很大的发展，国内已使用了1800t/h和2500t/h的大型给料机，这样在生产系统中减少了给料机的安装台数，简化了生产流程。目前大型筛分机也在不断发展，宽度为3.6m，长度为6m和7.3m的筛分机，已有不少矿山使用；国内使用最大筛分机的规格宽度达4.2m，长度达9.13m；这样为筛分系统的简化创造了有利的

18、条件。振动离心脱水机是煤矿必备的脱水设备，目前TWZ1300的振动离心脱水机处理能力达200t/h;最新的CMI-1400振动离心脱水机，处理能力已达到300t/h，产品水分达到5%9%，而噪声低于80dba。较大规格的振动磨矿机，其容积为1800L，功率为5565kW，已在很多地方使用。据称最大规格的容积已达3000L，传动功率达110kW。为了提高振动机械的工作效率，国内外有些振动设备制造公司在提高设备结构强度的基础上，提高振动机械的参数。例如国外圆振动筛振幅达12mm(双振幅)，直线振动筛的振幅16mm(双振幅)，振动频率超过1000r/min。振动磨机的最大振幅达1214mm，但结构强

19、度方面的问题较多，正在探讨之中。由于振动机械的发展和提高在工业发展中占有很重要的地位，振动机械的新技术和新产品的开发和应用，仍是今后非常值得重视的问题。大型振动机械的发展，尚需在结构强度方面进行更深入的探讨，以提高其运转的可靠性。新材料新工艺，特别是高性能材料的采用方面要进一步研究，以减轻振动机械的重量，提高其产品的质量。随着环境保护要求的提高，对振动机械的降噪问题要更深入地研究和采取必要的措施，以便使噪声得到控制。机械振动中的混沌现象引起了众多科学工作者的兴趣，混沌运动是一种由确定性系统产生对于初始求解非线性系统的基本方法性的往复非周期运动。解决混沌现象的方法有相平面法、作图法、李兹法、小参数法、奇异摄动法、谐波系数平衡法、平均法、渐进法、多尺度法和频闪法等。振动与动力学问题的