人教版八年级上册数学导学教案 12.3　角的平分线的性质

1、123角的平分线的性质一、教学目标1经历探索和证明角的平分线的性质定理及逆定理的过程，理解角的平分线的性质定理2会应用角的平分线的性质定理及逆定理进行计算和推理二、教学重难点重点：探索并证明角的平分线的性质定理及逆定理难点：应用角的平分线的性质定理及逆定理进行推理证明教学过程一、情境引入【思考1】 教材图12.31是一个平分角的仪器，其中ABAD，BCDC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线你能说明它的道理吗？教师指出：这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法已知AOB.求作：AOB的平分线【作法】 (1)以点O为圆心，适当

2、长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求(教材图12.32) 二、互动新授【思考2】 如教材图12.33，任意作一个角AOB，作出AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？我们猜想角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等下面，我们利用三角形全等证明这个性质首先，要分清其中的“已知”和“求证”显然，已知为“一个

3、点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证如教材图12.34，AOCBOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.求证PDPE.【证明】 PDOA，PEOB，PDOPEO90°.在PDO和PEO中，PDOPEO(AAS) PDPE.教师总结：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1明确命题中的已知和求证；2根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程【思考3】 如教材图12.35，要

4、在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为120000)?教师引导：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了【例】 如教材图12.36，ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等【证明】 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM，P

5、DPE.同理PEPF.PDPEPF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等三、课堂小结四、板书设计123角的平分线的性质1角的平分线的画法2角的平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等3角平分线的性质定理的逆定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上4三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等五、教学反思本节课通过折纸操作，激发了学生对问题的探索热情，让学生感受到角的平分线的图形中的特殊性质，并加以证明，得出关于角的平分线的性质的定理它是全等三角形的一个升华，属于全等三角形范围，但又独立于全等三角形，同时成为证明线段相等的新的依据在解题中，教师要引导学生直接应用

6、角的平分线的定理，而不必要再通过三角形全等来证明角的平分线的性质定理的结论，同时注意证明格式上区别于全等三角形判定的写法本节课所学角的平分线的性质定理的逆定理是证明角相等的又一个定理，它与角的平分线的性质定理构成一组证明边、角相等关系的新的依据，是全等三角形判定与性质的一个升华，在解题实践中要学会灵活运用，相辅相成，与全等三角形类似，要善于发现基本图形中隐含的等量关系教学中要鼓励学生关于直接应用这两个定理证明线段和角的相等关系，在解题叙述方面，要避免学生只体现角的平分，而漏写了到角两边的距离而直接推出结论的错误，要让学生暴露学习中的错误，并及时纠正这此错误，加深对知识的理解和深化导学方案一、学

7、法点津学生学习角的平分线的性质定理时，可以通过模型演示，画图、测量、计算等途径直观感知定理的条件和结论，再进一步通过全等三角形判定来推证定理的正确性做到能说出定理的具体内容，会画图，会根据图形用数学语言表达定理的内容学生可以利用模型演示，或通过画图、测量、计算等方法了解角的平分线图形中的等量关系，用运动变化的观点来探索图形中边角的变化规律，明了定理的条件和结论以及利用定理证明时正确的书写格式二、学点归纳总结（一）知识要点总结1角的平分线的画法是依据三角形全等的判定方法“边边边”2角的平分线的性质定理及其证明3角的平分线的性质定理的逆定理（二）规律方法总结1过角的平分线的上一点作角两边的垂线或作

8、与角两边夹角相等的线，以及过角的平分线上一点作垂直于角的平分线的直线，都能构造出全等的三角形2角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，但到角两边所在直线的距离相等的点则不一定在这个角的平分线上，它可以在这个角的邻补角的平分线上，也可以在与之对应的对顶角的平分线上课时作业设计一、填空题1如图，OC平分AOB，则1_，AOB2_2_第1题图 第2题图2如图，OP平分MON，PAOM于点A，PBON于点B，则PA_，由全等三角形的判定方法_可得AOPBOP，因此，OA_，APO_3角平分线上的点到_ 的距离相等4角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的_ 上三、解答题7如右图，已知AF平分

9、BAC，DFAB，EFAC，垂足分别为D，E，求证AFDE.8如右图，已知ABAC，AD平分BAC，过点D作DEAB，DFAC, 垂足分别为E，F，求证BECF.9如右图，P是BAC内一点，PBPC，PDAC于D，PEAB于E，且CDBE，求证AP平分BAC.【参考答案】1.2AOB12 2.PBAASOBBPO3角两边 4.平分线5.B 6.D7.证明：AF平分BAC，DFAB，EFAC，DFEF.又DFAB，EFAC，ADFAEF90°.在RtADF和RtAEF中，AFAF，DFEF，RtADFRtAEF(HL)，ADAE，又AF平分BAC，AFDE.8证明：AD平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF.DEAB，DFAC，AEDAFD90°.在RtADE和RtADF中，ADAD，DEDF，