中南大学电路理论第10章一阶电路

1、2021年11月17日12021年11月17日210.2 零输入响应零输入响应10.5 阶跃阶跃响应和冲激响应响应和冲激响应10.3 零状态响应零状态响应10.1 电路中的过渡过程及换路定律电路中的过渡过程及换路定律10.4 一阶电路的全响应及三要素法一阶电路的全响应及三要素法2021年11月17日310-1电路中的过渡过程及换路定律电路中的过渡过程及换路定律一一. 动态电路及方程动态电路及方程 描述含有储能元件描述含有储能元件(电容或电感电容或电感)时电路的方程时电路的方程为微分方程为微分方程.-动态方程动态方程含有电容或电感元件的电路含有电容或电感元件的电路, 称为动态电路称为动态电路.二

2、二. 一阶电路一阶电路能用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路能用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路.按储能元件的性质按储能元件的性质,一阶电路可分为一阶电路可分为:RC电路电路R L电路电路第第10章章 10.12021年11月17日4三三. 过渡过程和换路过渡过程和换路当电路的结构或元件的参数发生变化时当电路的结构或元件的参数发生变化时, , 称为称为换路换路. .发生换路时发生换路时, , 电路将从一个状态过渡到换路后的另电路将从一个状态过渡到换路后的另一个稳态一个稳态, ,其间的变化过程称为其间的变化过程称为过渡过程过渡过程. .abRC+-ucusS约约 定定:t=0:表示换路的瞬间表

3、示换路的瞬间t=0+:表示换路后的表示换路后的 最初瞬间最初瞬间t=0-:表示换路前的表示换路前的 最终瞬间最终瞬间第第10章章 10.1新新稳稳态态t=0时，开关时，开关K闭合闭合举例说明：举例说明：新稳态新稳态 i i = 0 = 0, , u uC C= = U URU+_Cui旧稳态旧稳态i = 0 , uC = 0KRU+_Cui旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 过渡过程过渡过程 :电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程UtCu过渡过程过渡过程旧旧稳稳态态t=0第第10章章10.1无过渡过程无过渡过程I电阻电路电阻电路t = 0UR+_IK

4、电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。不存在过渡过程。产生过渡过程的电路及原因产生过渡过程的电路及原因?第第10章章 10.12021年11月17日7UtCu 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其，其大小为：大小为： 电容电路电容电路2021cuidtuWtC 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。电容的电路存在过渡过程。UKR+_CuC第第10章章 10.12021年11月17日8电感电路电感电路 电感为储能元件，它储存的能

5、量为磁场能量，电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：其大小为：2021LidtuiWtL 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。电感的电路存在过渡过程。KRU+_t=0iLtLiRU第第10章章 10.12021年11月17日9四四. . 电路的初始条件电路的初始条件初始条件初始条件: : 电路中求解的变量及各阶导数电路中求解的变量及各阶导数 在换路在换路t=0t=0+ +时的值时的值. .独立的初始条件独立的初始条件: :除独立电源外除独立电源外, ,电容的电压和电感的电流电容的电压和电感的电流. .)0(),0(

6、LCiu非独立的初始条件非独立的初始条件其他初始电压和电流其他初始电压和电流. .第第10章章 10.12021年11月17日101. 线性电容线性电容dtdqi dtduCc ttccdiCtutu0)(1)()(0 0,00tt令令 00)(1)0()0( diCuucc由于由于i(t)为有限值为有限值, 则则)0()0( ccuu-电容上的电压不会发生突变电容上的电压不会发生突变,0)0()0(时时当当 ccuu电容在换路的瞬间电容相当于电容在换路的瞬间电容相当于短路短路第第10章章 10.12021年11月17日112. 线性电感线性电感dtdu dtdiLL ttLLduLtiti0

7、)(1)()(0 0,00tt令令 00)(1)0()0( duLiiLL由于由于u(t)为有限值为有限值, 则则)0()0( LLii-电感里的电流不会发生突变电感里的电流不会发生突变,0)0()0(时时当当 LLii电感在换路的瞬间电感相当于电感在换路的瞬间电感相当于开路开路第第10章章 10.12021年11月17日12三三. 其他非独立初始条件的计算其他非独立初始条件的计算1. 1. 对于独立电源对于独立电源, , 取其取其t=0t=0时的值时的值. .2. 2. 将将电容电容C C用电压源值为用电压源值为u uc c(0(0+ +) )的的电压源电压源代替代替3. 3. 应用应用KV

8、L,KCLKVL,KCL和和VCRVCR, , 求其他元件求其他元件 在在t=0t=0+ +时的值时的值. .将将电感电感L L用电流源值为用电流源值为i iL L(0(0+ +) )的的电流源电流源代替代替. .第第10章章 10.12021年11月17日13例：开关例：开关K 打开前电路处稳态，给定打开前电路处稳态，给定R1=1，R2=2，R3=3，L=4H，C=5F，US=6V，t=0 开关开关K 打开，求打开，求iC ，iL，i，uC ，uL，在在0+时的值。时的值。 Us + uL i R1 R2 R3 C L iC iL + uC 图(a) ARRRUisL4/)()0(321VU

9、RRRusC4)0(212 Us + uC(0) R1 R2 R3 iL(0) i2(0) 图(b) 第第10章章 10.12021年11月17日14例：开关例：开关K 打开前电路处稳态，给定打开前电路处稳态，给定R1=1，R2=2，R3=3，L=4H，C=5F，US=6V，t=0 开关开关K 打开，求打开，求iC ，iL，i，uC ，uL，在在0+时的值。时的值。AiL4)0(VuC4)0(第第10章章 10.1 Us + uL(0+) R1 uC(0+) R3 iL(0+) i(0+) iC(0+) 图(c) i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6AuL (0+)=US R3iL(

10、0+)= 6V Us + uL i R1 iL R3 C L iC + uC 图(d) ARuUiCsC2)0()0(1t0：稳定：稳定2021年11月17日15RCuRt=0ba+-UiSuC是指无电源激励，是指无电源激励，输入信号为零，由电容元件输入信号为零，由电容元件的初始状态的初始状态uC(0+) 所产生的所产生的响应。分析响应。分析RC电路的零输入电路的零输入响应，实际上就是分析它的响应，实际上就是分析它的放电过程。放电过程。 上图中，若开关上图中，若开关S合于合于a，电容上电压充电到，电容上电压充电到U0时，时，将将S由由a合向合向b， 即即 uC(0)= U0 ，根据根据KVL

11、uR + uC=0第第10章章 10.2RCd uC dt+ uC =02021年11月17日16RCt=0ba+-UiSucuRuC = Ae pt上式的通解为指数函数，即上式的通解为指数函数，即由特征方程由特征方程 RCp +1=0得得 p = 1/RC 通解通解 uC = Ae t /RC 确定积分常数，由换路定则确定积分常数，由换路定则uC(0+)=uC(0)= U0 ，得，得 A= U0所以所以 otU0U0U0RuCuRi变化曲线变化曲线第第10章章 10.2RCd uC dt+ uC =02021年11月17日17 在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由在零输入响应电路中，各

12、部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。初始值按同一指数规律衰减到零。 = RC 称为称为RC电路的电路的时间常数时间常数 FS单位单位 时间常数时间常数 等于电压等于电压uC衰减到初始值衰减到初始值U0的的36.8%所所需的时间。需的时间。t U0 e -t/ 2 3 4 5 6 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 60.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0.002( ) = 0.368 U0第第10章章 10.2= U0 et / uC2021年11月17日18ucotU00.368 U0 1 2 3 3 2 1 从理论上讲从理论上讲,电路只有经过电路

13、只有经过 t = 的时间才能达到稳定。的时间才能达到稳定。由上表可以看出由上表可以看出 t = 5 时，时，uC已衰减到已衰减到 0.7% U0 ，所以，所以，工程上通常工程上通常认为认为在在t (45) 以后，暂态过程已经结束。以后，暂态过程已经结束。 电压电压uC衰减的快衰减的快慢决定于电路的时慢决定于电路的时间常数间常数 ,时间常数时间常数越大，越大，uC衰减衰减(电容电容器放电器放电)越慢。越慢。第第10章章 10.22021年11月17日19=ReqCeqReq=R1+R2/R3 Ceq=C1/(C2+C3)C1C2C3R1R2R3CRtuC0t2t1U0Pu11100ttCpt t

14、duUdkU eedtdt 1012()()tUuett u1(t1)=uC (t1)110120()()ttUettU e21tt第第10章章 10.22021年11月17日20S合在位置合在位置a时时,电感中通有电感中通有电流电流, t=0时时, 开关开关S由位置由位置a合向合向位置位置b,RL电路被短路。电路被短路。若若iL(0-)= I0，则，则iL(0+)= I0(若换路前电路已处于稳态若换路前电路已处于稳态, 则则I0=U0/R0 )根据根据KVL uL + uR=0+ RiL= 0 diL dtL 第第10章章 10.2U0Rt=0iLSuL+R0uR2021年11月17日21特

15、征方程是特征方程是 Lp + R=0根为根为 p = R/L 通解为通解为 iL(0+)=I0 , 则则 A= I0在在t = 0+时时,所以所以 iL = I0 e t RL = I0 e t =L / R单位单位 秒秒 亨亨 欧姆欧姆uR=R iL = R I0 e t diL dtuL =L = R I0 e t = Ae t RLiL= Ae pt RI0uRRI0uL变化曲线变化曲线iLI0toiLotu0.368I0 第第10章章 10.22021年11月17日22t=0SRLuViLV+2 4V例例3:已知电压表的内阻已知电压表的内阻RV=1000 ,求求uV(0+)。解解:iL

16、(0+)= iL(0-) =4/2=2AuV(0+)= iL(0+) RV =2 1000=2000V因电压表的内阻很大，在因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将断开之前，应先将电压表取下电压表取下! 以免引起过电压而损坏电压表。以免引起过电压而损坏电压表。第第10章章 10.22021年11月17日23uoc =R1i1+R2i2 ，i2=i1+ i1=2i1 uoc = R1i1+2R2i1 C + uC i1 R1 R2 i2 i1 Req 例：换路后电路：例：换路后电路： R1=1，R2=2，C=1F， =1，uC (0+)=1V。求零输入响应求零输入响应uC 、i1、i2。解：解：

17、52211RRiuRoceqsCReq5)0()0()(5/5/tVeeututtCC)0(51)()(5/1tVeRtutiteqC)0(52)(2)(5/12tVetitit第第10章章 10.22021年11月17日2410-3 零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应:换路后的初始状态为零换路后的初始状态为零, 响应由输入响应由输入激励所引起激励所引起.一、一、RC充电电路充电电路RC+-ucusS(t=0)i0)0()0( CCuu设设scuuiR +-sCCuudtduRC dtduCiC 第第10章章 10.32021年11月17日25一、一、RC充电电路充电电路RC+-usS(

18、t=0)i+-sCCuudtduRC 方程的解方程的解:CCCuuu )(特解特解非齐次方程的特别积分非齐次方程的特别积分 Cu)(瞬态解瞬态解齐次方程的通解齐次方程的通解 Cu tCsCAeuUu uc)1( tsCeUu 强制分量强制分量,稳态解稳态解自由分量自由分量,暂态解暂态解第第10章章 10.3 tsAeUtu )(0 )0( AUus2021年11月17日26e -t/RCUsR=uR = UsuC = Us e -t/RCotUsuCuRui iUsRi = CduC dtuC =Us (1e t / )uC 、 uR及及i 的变化曲线的变化曲线第第10章章 10.32021年

19、11月17日27二、二、RL充电电路充电电路0)0()0( LLiisLRIii LLLiii 令令 tLsLAeiIi tLRsLAeIi AIisL )0(sLLIidtdiRL 定定AsIA )1(tLRsLeIi tLRsLIu ReIsRt=0iLSuLiLiL IsotiLiL -Is第第10章章 10.32021年11月17日28例：L1=1mH，L2=2mH，R=3k，US=3V，t=0 时 K 闭合，求零状态响应 uL1与 uL2。 + uL2 US i R L2 L1 K + uL1 L=L1+L2=3mH61 10LsR 61010tiemAt 6610101122,20

20、ttLLdidiuLeVuLeVtdtdtmARUiS1)(第第10章章 10.32021年11月17日29三、正弦输入时，三、正弦输入时，RL电路的零状态响应电路的零状态响应RL+-usS(t=0)i+-.),cos(称为接入相位角称为接入相位角设设uumstUu方程的解方程的解:iii)cos(umtURidtdiL)cos(22)( 1RXtgtLXRmUtiLuuL第第10章章 10.3, 0)0( )0( )0( )0(/tAeiiii)cos(umtURidtdiL)cos(22)0( 1RXtgLXRmUiLu)cos(221RXtgLXRmUALu2021年11月17日30RL

21、+-usS(t=0)i+-uL第第10章章 10.3/11)cos(22)cos(22)(tLuLueRXtgLXRmURXtgtLXRmUti可见：自由分量可见：自由分量i”(t)起调节作用。起调节作用。iImi -Imi T/2ti0讨论：讨论：tIimsin合闸合闸 时时 u = /2. 0)( ,tiii自由分量自由分量无过渡过程无过渡过程立即进入稳态立即进入稳态2021年11月17日3110-4 一阶电路的全响应及三要素法一阶电路的全响应及三要素法全响应全响应:非零初始状态的电路受到外界激励时非零初始状态的电路受到外界激励时所得的响应所得的响应.Req+-UocC1. 叠加原理叠加原

22、理 全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应2. 三要素法三要素法全响应全响应=稳态分量稳态分量+自由分量自由分量第第10章章 10.4C含源含源一端一端口网口网络络S2021年11月17日32Req+-UocCReq+-UocC+Req+-uCCii(1)i(2)uC(1)+-uC(2)+-CRUueqC 0)0(0)0( Cu0)0(UuC tCeUtu0)2()()1 ()()1(tocCeUtuttocCeUeUtu0)1 ()(三要素三要素:稳态值稳态值初始状态初始状态时间常数时间常数 teffftf )()0()()(第第10章章 10.4uCtU0US0零输入响应

23、零状态响应全响应tococeUUU)(02021年11月17日33求求: 电压电压)(tuL例例2已知：已知：S 在在t=0时动作，换路前电路处于稳态。时动作，换路前电路处于稳态。dttdiLtuLL)()(uL第一步第一步:求起始值求起始值A428)0 ()0 (LLiit=02ALLiS2i8V2 0.1H+i4 +2 第第10章章 10.42021年11月17日34LLiReqUoc0.1H+典型图典型图2ALLiS2i2 0.1Hi4 +对对0+后的电路：后的电路：戴维宁等效戴维宁等效10)(12eqOCRVU ？第第10章章 10.42021年11月17日35第二步第二步:求稳态值求

24、稳态值)(LiA2 . 11012)(LiLLi1012V0.1H+第三步第三步:求时间常数求时间常数s)(01. 0101 . 0eqRL第第10章章 10.42021年11月17日36第四步第四步: 将三要素代入通用表达式得过渡过程方程将三要素代入通用表达式得过渡过程方程A4)0(LiAiL2 .1)(s01. 0A2 .52 .1)()0()()(100 ttLLLLeeiiitiVedtdiLtutLL10052)(第第10章章 10.42021年11月17日37第五步第五步: 画过渡过程曲线（由初始值画过渡过程曲线（由初始值稳态值）稳态值）Lu起始值起始值t稳态值稳态值052vVed

25、tdiLtutLL10052)(注意：用戴维宁等效后，可便于得到另二个要素。注意：用戴维宁等效后，可便于得到另二个要素。第第10章章 10.42021年11月17日38+_2i11F22+_6Viuc(t=0)S2_(图 4)uCReq+-Uoc1F+-2 S16eqocRVUVeeUUUtuttococC)64(6)()(0VVuuUCC42216)0()0(0sCReq1第第10章章 10.42021年11月17日39终点终点)(f起点起点)0 (ft teffftf )()0()()(第第10章章 10.42021年11月17日400t1212usus).(),(:5,5,1:0tuti

26、HLRRLL求求已知已知 解解: 65 65eqsocRuU(2) 1 t 2s,全响应全响应第第10章章 10.4AetitL)1 ()(sRLeq6AeiL)1 () 1 (61AeititLL12) 1 (2)(AeititLL2)2()(2021年11月17日4110-5 10-5 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应1. 1. 单位阶跃函数是一种奇异函数单位阶跃函数是一种奇异函数, , 定义为定义为 0 10 0)(ttt 0 01 1t t (t)(t)2. 2. 它可以描绘开关接通前后电源电压加入的情况它可以描绘开关接通前后电源电压加入的情况+ +- -R RC Cu us s

27、(t)(t)第第10章章 10.5a ab bR RC C+ +- -u uc cu us sS(t=0)S(t=0)一、阶跃响应一、阶跃响应2021年11月17日423. 3. 延迟的单位阶跃函数延迟的单位阶跃函数 000 1 0)(tttttt 0 01 1t t (t-t(t-t0 0) )t t0 04. 4. (t)(t)可用来可用来“起始起始”任一个任一个f(t)f(t)5. 5. (t)(t)可用来可用来“延迟延迟”任一个任一个f(t)f(t) 000 )( 0)()(tttftttttf 00000 )( 0)()(ttttfttttttf 第第10章章 10.52021年11

28、月17日436. (t)(t)可用来描述脉冲可用来描述脉冲f(t)0t1t00t (t)(t)- - (t-t(t-t0 0) )0t)()()(0ttttf 0 0t t1 12 21 12 2u us s第第10章章 10.5)2(2) 1()()(ttttus2021年11月17日448. 阶跃响应阶跃响应(Step)S(t)+-RCu us s (t)(t)+-uc0)0( cu)()1()(teututsc 则则时刻时刻设单位阶跃函数发生在设单位阶跃函数发生在,0t)()1 ()(00ttetuttc第第10章章 10.52021年11月17日451. 单位冲激函数是一种奇异函数,

29、定义为1)(0 0 0)( dttttt 01t (t)(t) (t)(t)是单位脉冲函数的一种极限是单位脉冲函数的一种极限. .第第10章章 10.5二、冲激响应二、冲激响应2021年11月17日46单位冲激函数单位冲激函数单位脉冲函数的单位脉冲函数的宽度趋于零宽度趋于零单位冲激函数定义单位冲激函数定义1d)(000)(ttttt奇异)(0tt 延迟单位冲激函数延迟单位冲激函数 冲激强度冲激强度tDD1D1DO)(tp单位脉冲函数宽度的变化单位脉冲函数宽度的变化第第10章章 10.5t(1)(tO单位冲激函数单位冲激函数2021年11月17日472. 延迟的单位函数01t (t-t(t-t0

30、 0) )t t0 03.3. (t)(t)的筛分特性的筛分特性4. (t)(t)与与 (t)(t)的关系的关系)()0()()(tfttf 0 10 0)(ttdt 1)( 0)(0000 dttttttttt )0()()0()()(fdttfdtttf = (t)(t)dttdt)()( 第第10章章 10.52021年11月17日485. 冲激响应冲激响应h(t)0)0( cu;)(00)1(响应响应作用下所引起的零状态作用下所引起的零状态函数函数区间内冲激区间内冲激到到求出在求出在tt )0()0(),0()0(, LLCCiiuu此时此时. 0)(,0)2(的零输入响应的零输入响应相当于由初始状态引起相当于由初始状态引起电路中的响应电路中的响应时时 tt 第第10章章 10.5RC+-uC i i(t)(t)iC2021年11月17日49(1) RC并联电路在并联电路在 (t)(t)作用下的冲激响应作用下的冲激响应RC+-uC i i(t)(t)iC)(tRudtduCiCC 0)0( Cu 0000001)( dttdtRudtdtduCiCC uC不可能为冲激函数不可能为冲激函数1)0()0( CCuuCCuC1)0( 第第10章章 10.52021年11月17日50RC+-uCiC., 0)(,0相当于开路相当于开路时时当当 tt )