圆锥曲线几何问题的转换

1、几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进 行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂 程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变 为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几 何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（ 1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数 量积的符号进行判定（ 2）点

2、与圆的位置关系 可以利用圆的定义， 转化为点到圆心距离与半径的联系， 但需要解出圆的方程， 在有些题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在 圆内， ACB为钝角（再转为向量：CA CB 0 ;若点在圆上，则 ACB为直角（CA CB 0）；若点在圆外，贝y acb为锐角（CA CB o）（ 3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线(4) 直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标r by1X1>y2y2y1X1yyxX1(5) 平行(共线)

3、线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系(6) 平行(共线)线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积 问题(注意向量的方向是同向还是反向)3、常见几何图形问题的转化(1)三角形的“重心”：设不共线的三点A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3, y3，则 VABC 的重心GXiX2X3 yiy2y3(2)三角形的“垂心”：伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3)三角形的“内心”：伴随着角平分线,由角平分线质可知(如图)：IP AC,IQ AQ性APAQ(4)P是以DA,DB为邻边的平行四边形的顶点uuu ACtutu ABI在BAC的角平分

4、线上tir ttf ttr tut AI AC AI AB乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，（要注意向量的夹角）例如：uur uuuujur uunAC AB AC AB， AC BC AC BC二、典型例题：2 2例1:如图：A,B分别是椭圆C:笃 爲1a b 0的左右顶点，F为其右焦点，a b2是AF|, FB的等差中项， 73是| AF , FB的等比中项（1）求椭圆C的方程（2）已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线I过点A且垂直于x轴，若过F作直 线FQ AP，并交直线I于点Q。证明：Q,P,B三点共线解：（1）依题意可得： A a,0 ,B a,0 ,F c,0Q 2是AF

5、, FB的等差中项4 AF FB a c a c 2a _ 2Q 73是 AF , FB 的等比中项V3AF| |FB a c a c a2 c2 b22 2Q椭圆方程为：143（2）由（1）可得：A 2,0 ,B 2,0 ,F 1,0设AP: y k x 2，设P X1,y1 ，联立直线与椭圆方程可得: 另一方面，因为FQ APkFQ丄kFQ : y- x 1，联立方程：ky1 x 1kQ菇x 2B,Q,P三点共线2 2例2:已知椭圆笃每1（a bab0）的右焦点为F， M为上顶点，O为坐标原点,若厶OMF的面积为1，且椭圆的离心率为2 .2 2(1)求椭圆的方程;(2)是否存在直线I交椭圆

6、于P , Q两点，且使点F PQM的垂心？若存在,1bc 12 2求出直线I的方程；若不存在，请说明理由.OM OF解: ( 1) SvomF -22椭圆方程为：y2 12(2)设 PgyJ , Q(x2,y2),由(1)可得:M 0,1,F1,0kMF1 Q F PQM 的垂心设 PQ : y x m由F PQM的垂心可得:MPFQUJir UULTMP FQ X1 X2 1y1 1y2因为P,Q在直线y x m上y1 X1 y2 X2m，代入可得:m即 2x1X2(冷 X2)(m1) m考虑联立方程:y x mx2 2y22 得 3x24mx2m2X1X24m亍，X1X22m23代入可得:

7、解得:-或m31时， PQM不存在，故舍去扌时，所求直线1存在，直线1的方程为小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质,为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）2 2例3 :如图，椭圆冷爲1（a b 0）的一个焦点 a bF 1,0，O为坐标原点（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成形，求椭圆的方程；正三角（2）设过点F且不垂直X轴的直线I交椭圆于A,B两点,若直线I绕点F任意转动,恒有OAOB2 AB2,求a的取值范围.解：（1）由图可得：M0b由正三角形性质可得:3MFO -,kMF椭圆方程为:(2

8、)设 I : y kA Xi,yi ,B X2,y2AOB为钝角联立直线与椭圆方程:a2b2b2x2 a2k2a2b2，整理可得:a2k2 a2b2 k2b2 a2b2k20 恒成立即 k2 a2 b2 a2b2a2b2恒成立2a2 1 a2 a210解得:,5a的取值范围是2例4:设A,B分别为椭圆勺a2b2的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为PMB (4,0)(1)求椭圆的方程;(2)设P为直线x 4上不同于点4,0的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：(1)依题意可得a 2c，且到右焦点距离

9、的最小值为 a c 1可解得：a 2,c 1b .32 2椭圆方程为7弋1AM直线（斜uuur uuu 一BM BP可用k1(2)思路：若要证B在以MN为直径的圆内，只需证明 MBN为钝角，即 MBP为 锐角，从而只需证明BM BP 0，因为A,B坐标可求，所以只要设出率为k )，联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而表示。即可判断眾BP的符号，进而完成证明M为，力，贝y解：由(1)可得A 2,0 ,B 2,0，设直线AM,BN的斜率分别为k，AM : y k x 2联立 AM与椭圆方程可得:y k x 22 23x2 4y212消去y可得:4k2 3 x2 16k2x 16k2 1

10、2 0y1kx12k12k2 ，即M4k236 8k212k4k23,4k23x2 4y的焦点F的直线3 2 _y43x21的交点为2DF ?若存在，求l与抛C,D，出直设P 4,y0，因为P在直线 AM上，所以y0 k 4 2 6k，即P 4,6kMBP为锐角，MBN为钝角M在以MN为直径的圆内例5:如图所示，已知过抛物线 物线相交于 A,B两点，与椭圆 是否存在直线I使得AF| |CF线I的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点F 0,1 ,设 I : ykx也出不妨设BF CF，妨 BFuuuruuu uuruuu贝卩 AFFB,DFFCDFCF设 A Xi,yi ,B X2

11、,y2 ,C 沁乂,D X4,y4x1x2X3X4考虑联立直线与抛物线方程:kxx2 4kx 4 04yX1 x21x2x1x2xf44k，消去x2可得:4 k2联立直线与椭圆方程:y kx 16x2 3y26x23 kx4，整理可得:由可得:36k23k264k2食，解得：k2 1 k所以存在满足条件的直线，其方程为:例6:在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x22py p 0的准线方程为y过点M 4,0作抛物线的切线 MA，切点为A (异于点 线I过点M与抛物线交于两点P,Q，与直线OA交于点(1)求抛物线的方程(2)试问MNMPMNMQ的值是否为定值？若是，求出O)，直N定值;若不是，请

12、说明理由解:( “由准线方程可得：号1 P 1y 4x16Ynx my 41 4m再联立OA, PQ直线方程:抛物线方程：x2 2y(2)设切点A x),y0，抛物线为y 1x2y' x切线斜率为k xo切线方程为：y y0冷x x0，代入M 4,0及y0可得：xox04x0，解得：x00 (舍)或x082设 PQ:x my 41 22x0Q M,P,N,Q共线且M在x轴上联立PQ和抛物线方程:x2 2yx my 4my 4 2 2y，整理可得:例7:在VABC中，A,B的坐标分别是.2,0 , .2,0，点G是VABC的重心，y轴上一点 M满足GM / AB，且 MC MB(1) 求

13、VABC的顶点C的轨迹E的方程(2) 直线l : y kx m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围解：(1)设C x,y 由G是VABC的重心可得：由y轴上一点M满足平行关系，可得 M 0,3由MCMB可得:x2化简可得:C的轨迹E的方程为:x2(2)Q四边形OPRQ为平行四边形设 P xyi ,Q x2,y2R 石 x2,yi y2Q R在椭圆上2 2 2 23%y1 3x2y26%x2 2%2因为P,Q在椭圆上，所以c 223x1y223x2y26，代入可得:66x1x22 y1y2123x1X2y“2联立方程可

14、得:k的离心率为丄，直线I过点A 4,0 ,B 0,2， 且与椭圆C相切于点P(1)求椭圆C的方程 3 x22kmx4k2m24 k2另一方面：2m2代入可得:332 m6 0有两不等实根可得:0，即3m2 6k2180，代入k2 2m23k2m2例8:已知椭圆2 y b2(2)是否存在过点A 4,0的直线m与椭圆交于不同的两点M,N，使得36 AP235 AM AN ？若存在,求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由解(1)e a中2:、3:1椭圆方程化为:2x4c23x2 4y212c2Q l 过 A 4,0 ,B 0,2联立直线与椭圆方程:整理可得：x2 2xQI与椭圆相切于P2椭圆方程

15、为：-4（2）思路：设直线再由A 4,0可知AP等式36 AP235 AM1y -x 223x24y21x212c2消去y可得:3x2412c23c2且可解得i,2NA ,N X2，y2，由可得：P V?，2 7，若要求得k （或证明不存在满足条件的k），则可通过AN列出关于k的方程。对于 AM |AN，尽管可以用两点间圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于k的方程，求解即可解：由题意可知直线 m斜率存在,所以设直线m: yk x 4 ,M Xi,% ,N X2,y2距离公式表示出 AM , AN，但运算较为复杂。观察图形特点可知A,M,N共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为a

16、mt,An同向，所以UUUU UULT” UUUU UULT , “ 一一,，AMANAM AN。写出AM, AN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m与椭由（“可得：P1'luuuu UULT亠Q A, M , N共线且AM ,AN同向AMANuuuu AMujurAN联立直线m与椭圆方程:2 23x 4y 12消去y并整理可得: y k x 44k2 3 x232k2 x64k2 12 0Q 36 AP35 AMAN，代入AP45 uuuu ，AM 4LUUT 36 k2 1 _AN 2 可得:4k23可解得：k21 k 2，另一方面，84若方程4k2 3 x2 32k2x 64k2

17、 12 0有两不等实根2则32k24 4k2 3 64k2 12 0解得：1 k -k符合题意2 24直线m的方程为：yx 4，即：4y -x 2 或 y运x2442例9:设椭圆C :x2a2 y b21 a b 0的左，右焦点分别为 F1E，上顶点为A，过点uur uuuA与AF2垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2F1F2 F2Q1）求椭圆C的离心率（2）若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l ：x 、3y 3 0相切，求椭圆C的方程（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率 直线I与椭圆C交于M,N两点，在x轴上是 在点P m,0使得以PM,PN为邻边的平行四 是菱形？如果存在，求出 m的取

18、值范围；如存在，请说明理由解：（1）依题意设 A 0,b F c,0 ,F2 c,0 ,Q x0,0kAQ , kAF2- 由 AQ AF2 可得：3c 2 c（2）由（1）可得：a : b : c 2 : . 3:1A,Q,F2的外接圆的直径为QF2，半径设为r1r -|QF22c，圆心 c,0由圆与直线相切可得：d解得：c 1 a2,b2y- 132椭圆方程为-4(3)由(2)得 Fi1,0 ,F2 1,0 :设直线 l: y k x 1设M Xi,% ,N X2,y2 ,若PM,PN为邻边的平行四边形是菱形 则P为MN垂直平分线上的点MN的中垂线方程为:yy。1x kx0，即 x kyky°x°代入P m,0可得：mky°x°0m1x1x2x483x2联立方程：4y2124k23 x28k