圆锥曲线大题题型归纳

1、圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1.待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2 .齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3. 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4. 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5. 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1“常规求值”问题需要找等式，“求

2、范围”问题需要找不等式；2 “是否存在”问题 当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3 证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4 证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验;6 大多数问题只要 忠实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题x2 y例1、 已知Fi , F2为椭圆+ =1的两个焦点，P在椭圆上，且/F 1

3、 PF2=60U3PF2的面积为多少？10064点评： 常规求值问题的方法 ：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式1-1 已知Fi,F2分别是双曲线3x2 5y2 75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且FfF2=120 ，求 F1PF2 的面积。变式1-2(2011?孝感模拟)已知Fi, F2为椭圆2 2盘古1(° V b v 10)的左、右焦点,P是椭圆上一点.(1) 求 |PF1|?|PF2| 的最大值；643(2) 若ZF1PF2=60。且EPF2的面积为 ，求b的值3题型二 过定点、定值问题例2、 (2007秋？青羊区校级期中)如图，抛物线 S的顶点在原点 O,焦点

4、在x轴上,上，且 ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线方程为4x+y-20=0 ,(I)求抛物线的方程；uuu uuu ABC三个顶点都在抛物线0 ,证明你的结论(H)是否存在定点 M，使过M的动直线与抛物线 S交于P、Q两点，且 OP OQ处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。变式2-1( 2012秋？香坊区校级期中)已知抛物线 y2=2px ( p > 0)的焦点为F,过F且斜率为.3直线与抛物线在 x轴上方的交点为 M，过M作y轴的垂线，垂足为 N , O为坐标原点，若四边形 OFMN的面

5、积为4 3(1) 求抛物线的方程；(2) 若P, Q是抛物线上异于原点 O的两动点，且以线段 PQ为直径的圆恒过原点 O,求证：直线 PQ过定点， 并指出定点坐标.2 2X y1，且例3、(2014秋？市中区校级月考)已知椭圆 C:221 (a > b > 0),过焦点垂直于长轴的弦长为a b焦点与短轴两端点构成等边三角形.(I)求椭圆的方程；(n )过点 Q ( -1 ,0 )的直线I交椭圆于 A , B两点，交直线 x=-4 于点 判断入+卩是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由点评：证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在

6、特殊条件下求出定值，再给出一般的证明2 2变式 3-1( 2012 秋？沙坪坝区校级月考)已知椭圆 笃 每 1 (a > b > 0)的离心率为a b焦距为 2（1）求椭圆的方程；（ 2）过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P，Q 两点， C，D 为椭圆上位于直线 PQ 异侧的两个动点，满足/CPQ= /DPQ，求证：直线 CD的斜率为定值，并求出此定值.例4、过抛物线寸4ax ( a>0 )的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果 AOB (O为原点)的面积是S，求证：S2S为定值。AB变式4-1的焦点重合,（2014 ?天津校级二模）设椭圆 C :2

7、2 _a2古1（a>b>0）的一个顶点与抛物线C: x2=4yFl，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e= 1 且过椭圆右焦点 F2的直线I与椭圆C交于M、N2两点1）求椭圆 C 的方程；若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在，（ 2 ）是否存在直线 l ，使得说明理由为定（3 ）若AB是椭圆C经过原点 0的弦，MN /AB，求证:值题型三“是否存在”问题的直线I,交抛物线y2=2px (p例5、( 2012秋？昔阳县校级月考)已知定点 A (-2 , -4 )，过点A作倾斜角为45 °> 0 )于 B、C 两点，且 |BC|=2 、10.(I)求抛物线的方程

8、；D的坐标；如果不存在，请(H)在(I)中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点说明理由变式5-1(2013?柯城区校级三模)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y轴上，且过点(2, 1).(I)求抛物线的标准方程；(H)是否存在直线I: y=kx+t，与圆x2+ (y+1 ) 2=1相切且与抛物线交于不同的两点M , N，当ZMON为钝角时，有S/MON =48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由变式5-2(2010 ?北京)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1 , 1 )关于原点O对称，P是动点，且直 线AP与Bp的斜率之积等于3(I)求

9、动点P的轨迹方程；(H)设直线 AP和BP分别与直线x=3交于点M , N，问：是否存在点 P使得 PAB与PMN的面积相等？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.题型四 最值问题例6、 (2012 ?洛阳模拟)在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A (-2 , 0), B (2 , 0)，点P为动点,且直线AP与直线BP的斜率之积为-4(1)求动点P的轨迹C的方程;求出AMON(2)过点D (1 , 0)的直线I交轨迹C于不同的两点 M , N , MON的面积是否存在最大值？若存在, 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由.点评：最值问题的方法：几何法、配方法（

10、转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、禾U用切线的方法、利用均值不等式的方法等。变式6-1（2015 ?高安市校级一模）已知方向向量为 （1 ,. 3 ）的直线I过点（0, -2、3 ）2 2x y和椭圆C:221（ a> b > 0）的右焦点，且椭圆的离心率为a b（1）求椭圆C的方程;（2）若过点P （-8 , 0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B, F为椭圆C的左焦点，求三角形 ABF面积的最大值.X2变式6-2(2014 ?蚌埠三模)在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆 C: y2 1的上、下顶点分别为4A、B,点P在椭圆C上且异于点 A、B,直

11、线AP、BP与直线I: y=-2分别交于点M、N ;(I)设直线 AP、BP的斜率分别为ki, k2求证：ki?k2为定值；(H)求线段MN长的最小值；(川)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论题型五求参数的取值范围，且经过点M例7、 (2012春？荔湾区校级期中)如图，已知椭圆笃占 1=1 (a > b >0 )的离心率为 a b2(2 , 1 )平行于OM的直线I在y轴上的截距为 m (m丸)，1与椭圆有A、B两个不同的交点(I)求椭圆的方程；(H)求m的取值范围；(川)求证：直线 MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形变式7-1(2006秋？宁波期末)

12、已知动圆过定点 P (0 , 1)，且与定直线 y=-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹 M的方程；为方向向量的直线I与轨迹M相交(2)设过点Q (0 , -1 )且以于A、B两点.若/ APB为钝角，求直线I斜率的取值范围.变式7-2 (2014 ?苍南县校级模拟)已知抛物线C: y2=4x焦点为F,过F的直线交抛物线 C于A , B两点，li、I2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为li、12的交点.(1 )求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；(2 )设C、D为直线li、12与直线x=4的交点， PCD面积为Si, APAB面积为S2,求 S的取值范围S2小结解析几何在高考中经常是两小

13、题一大题：两小题经常是常规求值类型，一大题中的第一小题也经常是常规求值问题，故常用方程思想先设后求即可。解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b与x=mmy+n 的区别）二设交点 坐标；（ 提醒 :之所以要设是因为不去求出它 ,即“设而不求”）OA OB K1 ?K21 （提醒：需讨论K是否存在）三则联立方程组；四则消元韦达定理； （ 提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五根据 条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB 为直径的圆过点 0uuur uuurOA ?OB 0 x1x2 y1 y2 0“点在圆内、圆上、圆外问题”直角、锐角、钝角问题”向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”x1 x2 y1 y2>0 ；“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（ K1 K2 0或 K