圆锥曲线的复习提纲与重要题型

1、圆锥曲线复习提纲、知识归纳:双曲线平面内到两定点 Fi,F2的距离的和为 常数(大于 f1f2 )的动点的轨迹叫椭 圆 +即 MFi |MF2 2a当2 a > 2 c时，轨迹是椭圆，当2 a = 2 c时，轨迹是一 条线段FiF2轨迹不存在22xy2.2ab22yx2 ab2当2 a < 2 c时,焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：注：根据分母的大小来判断焦点在哪一平面内到两定点F2的距离的差的绝对值为常数(小于fiF2)的动点的轨迹叫双曲线 即网-|咧|亠当2 a < 2c时，轨迹是双曲线当2 a = 2c时，轨迹是两条射线当2 a > 2c时，轨迹不存在22xy1-

2、22ab22y2 axb21焦点在x轴上时:焦点在y轴上时:c2 a2 b2, c a 0 c 最大，a b,a b, a b坐标轴上a,b,c的关 系2 2 .2a c b , a b 0,a 最大，c b,c b,c b焦点在x轴上时：0 a b焦点在y轴上时：'仝 0a b1.椭圆的性质：椭圆方程a2b21（a b 0）(1)范围:a x a, b y b，椭圆洛在x a, y b组成的矩形中。(2) 对称性：图象关于 y轴对称，图象关于 x轴对称，图象关于原点对称。(3 )顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点*椭圆共有四个顶点：A1（ a,0）,A2（a,0） , Bg b）

3、,B2（0,b）。A1A2叫椭圆的长轴，长为 2a , B1B2叫椭圆的短轴，长为 2b。(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e - e 、:1 (-)2 o ( 0 e 1 ) e可以刻画aYa椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，贝UPF max a c, PF min a c.ITlaXITlin(6)点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，Fi PF2取最大值(7)椭圆的第二定义：当平面内点 M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l :2acX的距离的比是常数e (0ca定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率

4、2、点与椭圆位置关系2x点P(x0, y0)与椭圆一a2爲 1(a b 0)位置关系：(1 )点P(Xo,yo)在椭圆内 b2 X。a2y。b2(2)点P(X0,y°)在椭圆上2 2互也1(3)点P(X0,y°)在椭圆2 . 2a ba2b2e 1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点,3、直线与椭圆位置关系(1)直线与椭圆的位置关系及判定方法宀护¥方 位置大糸公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首 先应消去一个未知 数得一元二次方程 的根的判别式相切有且只有一个公共点0相离无公共点0(2)弦长公式：设直线 y kX b交椭圆于P(X1,yJ F2(

5、X2, y2) 则 I P1P2 I a |X1 X2 ,或 I PP2 I 1 右1% y2 (k 0)4、双曲线的几何性质：(1) 顶点顶点：A(a,O),A a,0，特殊点：B(0,b),B2。，b实轴：AA长为2a , a叫做实半轴长。虚轴：BiB2长为2b , b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。(2) 渐近线2 2 双曲线笃爲 1的渐近线ya b(3) 离心率双曲线的焦距与实轴长的比e2c2a，叫做双曲线的离心率a范围：e>1Ky -x，那么此双a曲线方程写成b2(4)等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性

6、质：a、渐近线方程为：y x ；b、渐近线互相垂直；c、离心率e 2。(5 )共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为(6)共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双 曲线。(7 ) 直线与双曲线位置关系同椭圆特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点准线X 2X 2y 2y 1抛物线的几何性质(1)顶点：抛物线y2 2px p 0的顶点就是坐标原点。(2 )离心率： 抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e=1。(3) p的几何意义：p表示

7、焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)2(4)若点M(X0,y。)是抛物线y 2px(p 0)上任意一点，则2若过焦点的直线交抛物线y 2px(p 0)于A(x1, y1) >AB二.重点题型1.圆锥曲线的定义：(1)已知定点F1 ( 3,0), F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点PA.PF1IPF24B. |PF1PF2C.PFjPF210D . |PFPF26212(2)方程(x 6)2 y2.(x 6)2(3 )已知点Q(2-、2,0)及抛物线y2.圆锥曲线的标准方程的方程)：(1)(4)MFXoB(X2, y2)两点，则弦长的轨迹中是椭圆的是()y

8、28表示的曲线是2X上一动点P (x,y)，则y+|PQ|的最小值是 4(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置2y222X3 k-1表示椭圆，则k的取值范围为k2y26，则x y的最大值是_,5x2 y25，且与椭圆1有公共焦点,29 4设中心在坐标原点 O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率局，则C的方程为已知方程右X, yR，且 3x2 2x y的最小值是双曲线的离心率等于则该双曲线的方程e 、2的双曲线C过点P(4,3.圆锥曲线的几何性质：2 2xy亦10(1)若椭圆亠 1的离心率e 竺，则m的值是_5m5(2 )以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为

9、值为1时，则椭圆长轴的最小2x(3)过双曲线1直线有条(4)过点(2,4)作直线与抛物线2 2£ y_916(5 )过点(0,2)与双曲线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为2y_2.-条2(6)过双曲线x2件的直线I有1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若 AB 4，则满足条(7)对于抛物线C: y点M(x°, y°)在抛物线的内部，则直线2y1(8)过抛物线别是p、q，则(9)设双曲线P2x1624x，我们称满足y。4x。的点M (x。，y。)在抛物线的内部，若I : y°y 2(x4x的焦点F作一直

10、线交抛物线于1X。)与抛物线C的位置关系是P、Q两点，若线段PF与FQ的长分q2y91的右焦点为F，右准线为I，设某直线 m交其左支、右支和右PFR和 QFR的大小关系为准线分别于P,Q, R，则. . 2 2(10 )求椭圆7x 4y(11 )直线y ax 1与双曲线3x别在双曲线的两支上？当5、焦半径(1) 已知抛物线方程为 y2点的距离等于;(2) 若该抛物线上的点 M2(3) 抛物线y为6、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)和正弦、余弦定理求解。28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离2 2 y 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分a为何值时，以AB为直

11、径的圆过坐标原点？8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦到焦点的距离是 4，则点M的坐标为2x上的两点A、B到焦点的距离和是 5，则线段AB的中点到y轴的距离问题：常利用第一定义(3) 双曲线的渐近线方程是3x 2y 0,则该双曲线的离心率等于 (4) 双曲线ax2 by21的离心率为、.,5，则a:b =2 2 xy.(5) 设双曲线 牙1 (a>0,b>0 )中，离心率e .一 2 ,2,则两条渐近线夹角B的取ab值范围是(6) 设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 4 直线与圆锥曲线的位置关系：(1 )若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6

12、的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是2 2(2 )直线y-kx=0与椭圆 1恒有公共点，则 m的取值范围是 5 m2丫1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若|AB | = 4，则这样的2(1)短轴长为、5，离心率e -的椭圆的两焦点为 F1、F2，过F1作直线交椭圆于 A、B3两点，贝U ABF2的周长为(2 )设P是等轴双曲线x2 y2 a2(a 0)右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若PF2 F1F20 , |PFi|=6，则该双曲线的方程为 2 2(3)椭圆 1的焦点为Fi、F2,点P为椭圆上的动点，当 PF2 PFi <0时，点P94的横坐标的取值范围是Fi的直线与双(4)

13、 双曲线的虚轴长为 4，离心率e =6 , Fi、F2是它的左右焦点，若过2曲线的左支交于 A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，贝y AB =(5) 已知双曲线的离心率为 2, Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 FiPF2 60 ,S pfif2 i2j3 求该双曲线的标准方程 7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质(1 )过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于那么|AB|等于(2)过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于贝AABC重心的横坐标为、弦长公式：A (xi,yi),B(X2, y2)两点，若 xi +x 2=6 ,A、B两点，已知|AB|=10 , O为坐标

14、原点，8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。2 2x y(1 )如果椭圆1弦被点A (4 , 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是3692 2x y(2 )试确定m的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线 y 4x m对43，称9 .动点轨迹方程：(1 )(待定系数法)线段AB过x轴正半轴上一点 M (m , 0) (m 0)，端点A、B到x轴 距离之积为2m，以x轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为(2 )(直接法)已知动点P到定点F(1,0)和直线x 3的距离之和等于4，求P的轨迹方 程.2 2(3 )(定义法)由动点P向圆x

15、y1作两条切线PA、PB，切点分别为 A、B，/APB=60则动点 P的轨迹方程为 (4 )点M与点F(4,0)的距离比它到直线I： X 5 0的距离小于1，则点M的轨迹方程是2 2 2 2(5) 一动圆与两圆O M : x y 1和O N : x y 8x 120都外切，则动圆圆心的轨迹为(6) (参数法)动点P是抛物线y 2x2 1上任一点，定点为 A(0, 1),点M分pa所成的比为2，则M的轨迹方程为2 2(7) 若点P(xi,yi)在圆x y 1上运动，则点Q(x1 y1 ,x1 y1)的轨迹方程是 (8)过抛物线x2 4y的焦点F作直线I交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹

16、方程是参考答案:1. 圆锥曲线的定义：(1)C(2)双曲线的左支2. 圆锥曲线的标准方程1 1(1) ( 3, 2)u( 2,2)5,22 21 (4) x y 63. 圆锥曲线的几何性质25厂(1) 3 或 (2) 2 .2 (3)34 .直线与圆锥曲线的位置关系卫或空23)；15 f)1,5 )u( 5,+ 呵相离(8)1 (9)等于(10)8.1313:5.焦半径(1 ) 7 (2 ) (2, 4)6.焦点三角形(3) 2(1) 6(2) x2y2 4(3)(57、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质3.5 3、5)(4)5、弦长公式：8二2(5)x22匸112(1 ) 8( 2)

17、38 .圆锥曲线的中点弦问题(1) x 2y 82 J3 2、1313139 .动点轨迹方程：(1)2y 2x (2)y212(x4)(3 x24)或 y 4x(03) (3) x2 ,y 4 (4)16x (5)双曲线的一支 y 6x22x 1(|x| f) (8)x2 2y 2离心率的求法椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e 1.、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或 a、c易求时，可利用率心率公式 e C来解决。ax2 y24例1已知双曲线221的一条渐近线万程为 yx，则双曲线的离心率为（)ab35453A -BCD -3342b4 c'

18、32425.双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得 -,可得e，故选Aa3a33二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系（特别是齐二次式），进而 得到关于e的一元方程，从而解得离心率 e。2 2例2 :已知F!、F2是双曲线 务爲 1（ a 0,b 0 ）的两焦点，以线段 FT?为边作a2 b2正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 2 3 B. 31D. 31PF1expa,cc小 c2c“小即ca，得一2-20,解得a2aac e -a13 (1. 3舍去），故选Dc解：如图，设MF1的中点为P，则P的横

19、坐标为2，由焦半径公式2变式练习1:设双曲线2x2ab21 （ 0 a b）的半焦距为c，直线L过a,0 ， 0,b两点.已知原点到直线的距离为亠则双曲线的离心率为（4A. 2B. 、3C. . 2D.2、33解：由已知，直线L的方程为bx ay ab 0 ,由点到直线的距离公式，得ab_a2 b2a2 b2, .4ab . 3c2,两边平方，得 16a2 c2 a23c44 2 2 2整理得3e 16e160，得e 4或e-，又 0 a b ,32c2aa2 b2b2变式练习2 :双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F,、F2，F1MF21200，则双曲线的离心率为（）A.3B623解:在F1MF2 中,由余弦定理，得cos F1MF2即12 2c b2 2 2c b 4c