高考数学--导数中二次求导的运用

1、名师精编欢迎下载高考数学 -导数中二次求导的运用【理· 2010 全国卷一第 20题】已知函数 f (x) ( x 1)ln x x 1 .（）若 xf '(x)x2ax1，求 a 的取值范围；（）证明： ( x1) f ( x)0解析： 先看第一问，首先由f ( x)( x 1)ln x x1 可知函数 fx的定义域为 0,，易得 f xln xx 1 1 1 ln x 1xx则由 xf '(x)x2ax1可知 x ln x1x2ax1，化简得xx ln xx2ax ，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子 x ，而 x 又大于零，所以两边同乘1 可得 ln

2、xx a ，所以有 aln xx ，在对 gxln x x 求导有xgx11，即当 0 x 1时，gx 0，g x在区间0,1上为增函数； 当 x1x时， gx0；当1 x 时， g x 0， gx 在区间1,上为减函数。所以 gx在 x1 时有最大值，即 gxln xxg 11。又因为 a ln xx ，所以 a1 。应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。要证 ( x1) f ( x)0 ，只须证当0 x 1 时， fx 0 ；当 1 x 时， f x 0 即可。由上知 fx1，但用 fx去分析 fx 的单调性受阻。我们可以尝试再对ln x1x11 ，显然当f xln

3、 x求导，可得f x0 x1时，f x01；当 xx1xx2时， fx 0 ，即 fxln x在区间 1,上为减函数，所以有当0 x1时，xf xf 1 1 ， 我 们 通 过 二 次 求 导 分 析 f x的 单 调 性 ， 得 出 当 0 x1 时f x1 ， 则 f x在 区 间 0, 1 上 为 增 函 数 ， 即 f xf 10，此时，则有( x1) f (x)0 成立。名师精编欢迎下载下面我们在接着分析当1 x 时的情况，同理，当1 x 时，fx0，即f x在区间 1,上 为 增 函 数 ， 则 fxf 1 1 ， 此 时 ， fx为增函数，所以f xf 10 ，易得 ( x1)

4、f ( x)0也成立。综上， ( x1) f ( x) 0得证。下面提供一个其他解法供参考比较。解：（） fxln x1xx ln x1，则 xfx题设 xf '(x)x2ax1等价于 ln xxa 。令 g xln x x ，则 g x11 。x当 0 x 1时， g x 0；当 x1时， g x0， x1 是 gx的最大值点，所以 g xg 11。综上， a 的取值范围是1,。（）由（）知，gxg 11，即 ln xx1 0 。当 0 x 1时， f xln xx ln x x 1ln x x ln x1 1xln xx ln110x1x因为 x1 0，所以此时 ( x1) f (

5、 x)0 。当 x 1时， f xln x x ln x x 11110。ln x x lnxx所以 ( x 1) f ( x)0比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低， 否则， 另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同学们一个秘密： 熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！名师精编欢迎下载【理· 2010 安徽卷第17 题】设 a 为实数，函数x22 ,。f x exa xR（）求fx 的单调区间与极值；（）求证：当a ln21且 x 0 时， ex x22ax1 。解析：第一问很常规， 我们直接看第二问。 首先要构造一个新函数g xexx22ax1，如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。g x ex2x ag x求导得g x e 22 ，继续对x0,ln 2ln 2ln 2,gx0g减极小值增x由上表可知 gxgln 2，而gln 2eln22ln 22a22ln 22a2 a ln 21 ，由 a ln21知g ln 2 0 ，所以