圆锥曲线解题技巧

1、圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F,，F2的距离 的和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于 F,F2，当常数等于 F,F2时，轨迹是线段F,F2，当常数小于F,F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F,，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a 一定要小于|卩汗2丨，定义中的“绝对值”与2a v|F1F2|不 可忽视。若2a = |F 1F2|，则轨迹是以 F1 , F2为端点的两条射线，若 2a > |F 1 F21，则 轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。女口

2、 （1）已知定点 戸（；,0）丁2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A pfH + PF2 =4 B .|PFj +|PF2| =6 C .PF|PF10D PF1 2 + PF?/ =12 （答：C）;（2方程J（x6）2 +y2 J（x+6）2 +y2 =8表示的曲线是 （答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。2如已知点Q（2j2,0）及抛物线y=上一动点P （x

3、,y）,则y+|PQ|的最小值是 4（答: 2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：x 二 a cos :y = bsin :（参数方程,2 2(1)椭圆：焦点在x轴上时x2 /=1 ( a b 0 )= a b2 2其中:为参数），焦点在y轴上时 爲笃=1 （ a b 0）。方程Ax2 By C表示椭 a b圆的充要条件是什么？（ ABC丰0,且A , B , C同号，A丰B）。2 2如（1）已知方程 + =1表示椭圆，则k的取值范围为 （答：3+k 2k1 1 11(-3,-)U(-;,2)；2 2(2)若x, yR，且3x2+2y

4、2=6，则x+y的最大值是 , x2+y2的最小值是2x双曲线：焦点在x轴上：一2a(答:苗,2)2 2 2(2)y、y x2 =1 ,焦点在y轴上：一 = 1 ba b（a0,b:>0 ）。方程Ax2+By2=C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC工0,且A ,B异号）。任22女口（ 1）双曲线的离心率等于，且与椭圆x y =1有公共焦点，则该双曲线的方2 9 4程 （答：二y2=1）；4（2）设中心在坐标原点 O,焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率 e2的双曲线C过点 P（4,t10），则 C 的方程为 （答: x2-y2=6）（3）抛物线：开口向右时y2 =2px（p 0），开口

5、向左时 y2 - -2px（p 0），开口2 2向上时x 2 py（ p 0），开口向下时x - 2py（ p 0）。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由X2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2 2如已知方程一+ y=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 _（答：m -12 m（1,|）2（2）双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒:（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件

6、，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； c最大，c2 二a2 - b2。4.圆锥曲线的几何性质：2 2（1）椭圆（以二y2 = 1 （ a b 0 ）为例）：范围：-a乞x乞a, -b乞y乞b ；a2 b2焦点：两个焦点（_c,0）:对称性：（2）在椭圆中，a最大，ab2 c2，在双曲线中,四个顶点（_a,0）,（0, _b），其中长轴长为两条对称轴x =0, y = 0，一个对称中心（0,0），2 ?c2a，短轴长为2b ；准线：两条准线xc离心率:e =,a椭圆二 0

7、: e ： 1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。2 2=1白勺离心率5m如（1）若椭圆1025e = ，则m的值是（答：3或）；53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_ （答：2、一 2 ）x2y2（2）双曲线（以2 =1 （ a 0,b 0 ）为例）：范围：x-a或x_a,yR ； a2 b2焦点：两个焦点（-c,0）:对称性：两条对称轴x =0, y =0，个对称中心（0,0 ）, 两个顶点（_a,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，a2称为等轴双曲线，其方程可设为x2 -y2 =k,k =0 ；准线：

8、两条准线x；离心率：e=c，双曲线=e 1，等轴双曲线 =e=眨,e越小，开口越小，e越大，a开口越大； 两条渐近线：y = bx。a女口 (1 )双曲线的渐近线方程是 3x=2y=0,则该双曲线的离心率等于 (答：空2(2) 双曲线ax2 -by2 =1的离心率为.5，则a:b= (答：4或-)；42 2(3) 设双曲线 务一爲=1 (a>0,b>0)中，离心率e , 2 ,2,则两条渐近线夹角a2 b20的取值范围是 (答：3 2(3)抛物线(以y2=2px(p 0)为例)：范围：x_0, * R ；焦点：一个焦点对称性：一条对称轴y = 0，没有(-P,0)，其中p的几何意义

9、是：焦点到准线的距离；c离心率：e ，抛物a2对称中心，只有一个顶点(0,0)；准线：一条准线x =-卫；2线:二 e = 1。如设a =0,aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为5、点P(x0,y°)和椭圆x2(a b 0)的关系1(答: (0,)；16a(1)点P(X0,y°)在椭圆鱼匹=1. a2 b2；(3)点P(x0,y0)在椭圆2 2外二 等气 1 ； (2)点P(x0, y0)在椭圆上=a b2 2内二第与1a b6 直线与圆锥曲线的位置关系：(1) 相交：0二 直线与椭圆相交； .：0=直线与双曲线相交，但直线与双 曲线相交不一定有 ：0，当直线与双曲线的渐

10、近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故： 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；.：0=直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有:0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故:0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。C C女口( 1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，贝Uk的取值范围15是 (答：(-,-1)；（2）直线y kx 仁0与椭圆x22-y =1恒有公共点，则m的取值范围是m2 x2y =1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若|AB|= 4,则12条（答:3 ）；=0 ：=直线与椭圆相切；. =

11、0 =直线与双曲线相切；= 0 二直:0 二直线与椭圆相离；.： 0 =直线与双曲线相离；:0二直（3）过双曲线这样的直线有（2）相切：.: 线与抛物线相切；（3）相离：厶 线与抛物线相离。特别提醒：（1）切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时（答：1 , 5）U（ 5, +R）;:相如果2y_2直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 ，直线与双曲线相交，但只有一个交点；2 直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线 笃 -=1a2 b2 外一点P（x0, y。）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时

12、，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称 轴的直线。如（1）过点（2,4）作直线与抛物线y2 =8x只有一个公共点，这样的直线有 （答：2 22） ；（2）过点（0,2）与双曲线 -二=1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为916（答:彩 ）；3 3（3）过双曲线

13、x22- 1的右焦点作直线I交双曲线于A、B两点，若 AB=4，则2条（答：3）;满足条件的直线I有2 2（4）对于抛物线 C: y2 =4x，我们称满足y。: 4xo的点M（x°,y°）在抛物线的内部，若点M（xo,y。）在抛物线的内部，则直线I : y°y =2（x - x。）与抛物线C的位置关系是 （答：相离）；y2 =4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，若线段 PF与FQ 1 1则 11 =p q2 2-11的右焦点为F，右准线为I，设某直线 m交其左支、右169（5）过抛物线的长分别是p、q ,（6）设双曲线（答:1）；（填大于、小于支和右准线分

14、别于 P,Q,R，则.PFR和.QFR的大小关系为或等于）（答：等于）；（7） 求椭圆7x24y2=28上的点到直线3x-2y-16=0的最短距离（答：空3）；13（8） 直线y=ax1与双曲线3x2 -y2 =1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分 别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：-、3, '、3 ； a - 1）;7、焦半径（圆锥曲线上的点 P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二 定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r =ed，其中d表示P到与F所对应的准线的 距离。距离为2 2女口（ 1）已知椭圆 ' =1上一点P到椭圆左

15、焦点的距离为3，则点P到右准线的25 16 （答：35）；3（2）已知抛物线方程为线的焦点的距离等于；（3）若该抛物线上的点7,（2, -4）；2y =8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于 5,则它到抛物M到焦点的距离是4，则点 M的坐标为（答:2（4）点P在椭圆x y 1上,595、（答：）；12它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，贝y点P的横坐标为（5）抛物线y2 =2x上的两点A、的距离为 （答：2）；2 2（6）椭圆x y =1内有一点43B到焦点的距离和是 5,则线段AB的中点到y轴P（1,-1），F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP +2MF 之值最小，则点 M的坐标为（答:,

16、-1）；11 122 日 S = b tan 一22 2 线x-丄 线 2a1 2 0 ； SAjsinb cot。2 28、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P（x0,y0）到两焦点F1, F2的距离2 2分别为,焦点 F1PF2的面积为S ,则在椭圆务，2=：1中，二二a b2匕2b? 。2arccos -1），且当* = r2即P为短轴端点时，二最大为 二max = arccos二 ；a二c| yo |，当I y° | = b即P为短轴端点时，Smax的最大值为be；对于双曲（2b2=1的焦

17、点三角形有： 日=arccos 1 如 （1）短轴长为5，离心率e = 2的椭圆的两焦点为 F1、F2，过R作直线交椭圆于3A、B两点，贝U MBF2的周长为 (答：6);(2)设P是等轴双曲线x2 - y2 =a2(a . 0)右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若PF2 F1 F2 =0, |PFi|=6,则该双曲线的方程为 (答: x2-y2=4)；22(3) 椭圆=1的焦点为Fi、F2,点P为椭圆上的动点，当 PF2 PFi <0时,94点P的横坐标的取值范围是(4) 双曲线的虚轴长为 4，离心率e= 6 , Fi、F2是它的左右焦点，若过 Fi的直线2与双曲线的左支交于 A、B两

18、点，且 AB是AF2与BF2等差中项，则 AB =(答: 8 2 );(5) 已知双曲线的离心率为2, Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且2 2 FiPF2 =60 , Spfr T2-.3 求该双曲线的标准方程(答：i )；4 i29、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(i)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；(2)设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则/ AMF=Z BMF ( 3)设AB 为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为 Ai , Bi，若P为Ai Bi的中点，贝U PAL PB; (4)若 AO的延长线交准线于 C,则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交

19、准线于 C 点，贝U A, O, C三点共线。10、弦长公式：若直线y二kx b与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标，则 AB = Ji +k? xi -x2 ,若, y2分别为A、B的纵坐标，贝U AB =Ji十丄 y2，若弦AB所在直线方程设为 x = ky + b，贝V AB = Ji + k2|yi - y?。V k特别地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。女口( i)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xi,yi),B (X2,y2)两点，若Xi+X2=6，那么 |A

20、B|等于 (答：8);(2) 过抛物线y2 =2x焦点的直线交抛物线于 A、B两点，已知|AB|=i0 , O为坐标 原点，贝U ABC重心的横坐标为 (答：3);ii、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。2 2x V在椭圆二 2 -i中，以P(x0,y。)为中点的弦所在直线的斜率a bk=a2y。；在双曲线b2=i中，以P(x0,y。)为中点的弦所在直线的斜率k=bXa2y。；在抛物线2PV0y =2px(p 0)中，以P(x0, y0)为中点的弦所在直线的斜率k=x2如(1)如果椭圆36(答: x 2y -8 =0)；(2)已知直线AB的中点在直线 L

21、:x 2y=0上，则此椭圆的离心率为(答：子);2y =1弦被点A ( 4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是92 2x yy= x+1与椭圆 2 =1(a - b 0)相交于A、B两点，且线段a b2 2(3)试确定m的取值范围，使得椭圆- y 1上有不同的两点关于直线y =4x m对称(答:4 31313特别提醒：因为 ： 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ： 0 !12. 你了解下列结论吗 ？2 2x-丄 -0 ；a2 _b2 一° ；2 22L _y 1共渐近线)的双曲线方程为a b2 2(1) 双曲线笃_存胡的渐近线方

22、程为a2 b2(2) 以y二bx为渐近线(即与双曲线a工 0)。2如与双曲线.2y1有共同的渐近线，且过点 (-32 3)的双曲线方程为9162 1)44x2(答:竺9(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为2 2mx ny 1 ；0L，焦准距(焦点到a | AB | % x2 p : x-|X2(7 )若OA OB是过抛物线恒经过定点(2p,0)13.动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2) 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 x, y之间的关系F(x,y)=0 ；b

23、2相应准线的距离)为 ，抛物线的通径为 2p，焦准距为p ; c(5) 通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；(6) 若抛物线 y2 =2px(p 0)的焦点弦为 AB A(%, yj, B(X2, y2)，贝U2p2,y2-p42y =2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB如已知动点P到定点F(1,0)和直线x = 3的距离之和等于 4,求P的轨迹方程.(答:2 2y 12(x4)(3 乞 x 乞 4)或 y 4x(0 乞 x ： 3); 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方 程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点 M

24、(m, 0) (m . 0)，端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 2(答：y =2x)； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程；22o如由动点P向圆x y =1作两条切线PA PB,切点分别为 A B,Z APB=60,则 动点P的轨迹方程为 (答：x y =4)；(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程 是 (答：y2 =16x)；(3) 一动圆与两圆OM：x2y2=1和ON：x2y2-8x10都外切，则动圆圆心的轨迹为 (答：双曲线的一支)

25、； 代入转移法：动点P(x, y)依赖于另一动点Q(x0,y°)的变化而变化，并且Q(x0,y°)又在某已知曲线上，则可先用x, y的代数式表示x0,y0，再将x0, y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y =2x2 7上任一点，定点为 A(0,-1),点M分 PA' 所成的比为2,则M的轨迹方程为 (答：y=6x2 1 )；3参数法：当动点P(x, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。女口( 1) AB是圆O的直径，且|AB|=2 a, M为圆上一动点，作

26、 MNLAB,垂足为 N,在OM 上取点P，使IOP | =| MN |，求点P的轨迹。(答：x2 y a | y |)；2 2(2)若点P(X1,yJ在圆x +y =1上运动，则点Q(x1,X1 +yj的轨迹方程是 2 1(答: y = 2x 1(| x )；2(3) 过抛物线X2 =4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 (答：x2 =2y 2 )；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。2 2如已知椭圆 J -笃-1(a b 0)

27、的左、右焦点分别是F1a2b2_(-c, 0)、F2 (c, 0), Q是椭圆外的动点，满足|已0戶2&点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点 T在线段F2Q上，并且满足PT TF2 = 0,|TF2 F 0. ( 1 )设x为点P的横坐标，证明 c,| F,P | = ax ；( 2)求点a在点M，使 RMF2的面积（答: （ 1）略;（2）x2T的轨迹C的方程；（3）试问：在点 T的轨迹C上，是否存 S=b2.若存在，求/ F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.2 .222bby a ； （3）当a时不存在；当a时存在，此时/ccF1MF2= 2） 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合 （如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范