圆锥曲线知识要点及结论个人总结

1、圆锥曲线知识要点及重要结论、椭圆2a(2a F1F2)的点P的轨迹叫做椭1定义 平面内到两定点 FF2的距离的和等于常数圆若2aF1F2，点P的轨迹是线段 Fi F2若02a F1 F2，点P不存在.2标准方程2 x2a2y21(a b 0)，两焦点为 Fi( c,0), F2(c,0).b2y_2ab21(a b 0)，两焦点为 Fi(0, c), F2(0,c).其中 a2 b2c2.3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴 .椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为 2a，短轴长为2b，椭圆的焦点在长轴上2标准方程b21(a0,b0)，两焦点为 F1( c,0)

2、,F2(c,0).2x2ab21(a 0,b0)，两焦点为 F1(0, c), F2(0,c).其中 c2 a2 b2.2 2若椭圆的标准方程为x2 ayb21(ab0)，则a xa, b yb ；22若椭圆的标准方程为y_2x1(ab0)，则b xb,a ya.ab2二、双曲线1定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(02aF1F2)的点的轨迹叫做双曲线.若2aF1 F2，点P的轨迹是两条射线.若2aF1F2，点P不存在.3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心双曲线的顶点有两个 A1, A2，实轴长为2a，虚轴长为2b，双

3、曲线的焦点在实轴上若双曲线的标准方程为2 x2 a2 y b21(a0,b0)，则 xa或xa, yR ；若双曲线的标准方程为2 y22x1(a0,b0)，则 ya或ya, xR.ab24渐近线bx和b口2 x2yyyx 即2.20aaab22ax和a eyx0yyx 即J2bbab222xy双曲线 r2 1(a 0,b 0)有两条渐近线ab2 2双曲线 当 务 1(a0,b0)有两条渐近线a b双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每但对于同组渐进线却对应无数条双曲线2 2与双曲线 笃 爲 1(a0,b0)共渐进线的双曲线可表示为a b2x2a(0).直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后

4、的方程的二次项系数和“ 0 ”同时成立.5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线2x 等轴双曲线的标准方程为a2y2 1(aa20)或-y2a2x2 1(aa0).等轴双曲线的渐近线方程为6共轭双曲线：实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 , x 如：二 a2y2 1(a0,bb220)的共轭双曲线为占2x1(aa0,b0)，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心,.a2 b2为半径的圆上且它们的渐近线都是三、抛物线1定义 平面内与一个定点 F和一条定直线l(F不在I上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线2标准方程2

5、PP(1) y2 px( p0)，焦点为(,0)，准线方程为x，抛物线张口向右. y22px(p 0)，焦点为(号,0)，准线方程为x 号，抛物线张口向左.x22py(p0)，焦点为(0,号)，准线方程为y2，抛物线张口向上.x22py(p 0)，焦点为(0,号)，准线方程为y 号，抛物线张口向下.其中p表示焦点到准线的距离.3几何性质抛物线是轴对称图形,有一条对称轴.若方程为y222px(p 0)或 y2px(p 0)，则对称轴是x轴，若方程为x2 2py(p 0)或x22py( p 0)，则对称轴是y轴.若抛物线方程为y2px( p0)，则 x0,yR.若抛物线方程为2y2px(p0)，则

6、 x0,yR若抛物线方程为2 x2py(p0)，则 y0,xR.若抛物线方程为2 x2py(p0)，则 y0,xR圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1已知椭圆2x2a2葺 1(a b 0)的两焦点为F, c,0),F2(c,0)， P(x°, y°)为椭圆上一 b因为 aX0 a，CX0 cac,0CXo所以PF1已知双曲线CXo同理，PF?1(a0,b双曲线上一点，则PFiCX02aPFiCXo0)的左、右焦点分别为Fi ( c,0), F?(c,0) , P(xo,yo)为cX0 aa1(a b 0)的两焦点为Fi,F2， P为椭圆上一点，若F1PF2，则F1PF2

7、的面积为.2 .b sin ,2,b tan1 cos2解：根据椭圆的定义可得2由余弦定理可得4c由得4a2PFiF1F2PF2 2a PFi2PF22PF1IPF24c2 2PFi|PF2(1 cos ) 从而 |PFi|PF2cos 2b21 cos2所以，PFiF2的面积为PFi PF2 sin b2tan 21 cos222Xy双曲线飞2 1(a 0,b 0)的两焦点为，P为其上一点，若abF1PF2，则F1PF2 的面积为 1|pfJ|pF2 sin山J b2cot.1 cos22X3已知椭圆C :二a上任意一点，当直线2七 1(a b 0)， M ,N是C上关于原点对称的两点，点P

8、是椭圆bPM , PN的斜率都存在，并记为 kpM , kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P位置无关的定值解：设P(xo, yo), M (xi, yi)，则 N(y)kPMyiyo,kPNXiXo，从而 kPM kPNXiXoyiyoyiyo又因为P(Xo, yo), M (Xi, yi)都在椭圆上，故2Xo2a2 yo b2两式相减得,2 2Xo Xi2a2 2 yoyi2o ,因而卑 2Xo Xi2 yiXiXoXiXo2 2 yoyi2 Xo2 - Xi2i乞2a2 yikPNb22 .a类似结论已知双曲线2X2a2 y b2i(a 0,b0).M, N是C上关于原点对称的两点，点

9、P是双曲线上任意一点，当直线 PM , PN的斜率都存在，并记为 kPM , kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值【常用方法】i在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法2本章经常会碰到直线l与圆锥曲线C相交于两点的问题， 若已知I过定点P(Xo, yo)，则可 设I的方程为x Xo或y yo k(X Xo).然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线 C的方程中，整理得到关于 X或y的一元二次方程(要注意二次项系数是否 为零)韦达定理 和判别式经常要用到！若I的条件不明显时，则可设 I

10、的方程为X m或 y kx m.3本章还经常用到“点差法”：设直线I与圆锥曲线C交于点A(xi,yi), B(x2, y2),则代B两 点坐标都满足曲线 C的方程，然后把这两个结构相同的式子相减， 整理可以得到直线 AB的y2 y1斜率 -的表达式，也经常会出现xi X2, yi y，这样又可以与线段AB的中点x2 x1P( xo , yo )联系起来！4若三点A(Xi,yJ, Bg, y2), P(Xo,y。)满足以线段AB为直径的圆经过点 P或AP BP时，常用处理方法有：2 2 2 根据勾股定理可得 AB PA PB ；y0 y1 y0 y2 根据AP的斜率与BP的斜率之积为 1，可得

11、-1 ；Xo X- X- X2 根据 PA PB -, PA (x- X-, y- y-), PB (x? gy y-)可得(X- x-)(x2 X-) (y- y-)(y2 y-)-.5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法(也叫相关点法).圆锥曲线中有用的结论2X-椭圆右ab2-(a b -)的参数方程是x acos y bsi n离心率e CT-F2 中，记FFF2sinPF-F2,F-F2P ，则有一sin since. a2线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)pcb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2 一.a222 椭圆 2 2 -(aa b

12、2PF-e(x )cb -)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积2_. _. aa ex,PF2 e(x) a excS F-PF22c | yP | b tanF-PF23椭圆的的内外部：(1) 点 P(xo, yo)在椭圆(2)点P(xo,y°)在椭圆2xa2xa2y_b22y1(a1(ab 0)的内部b 0)的外部X02a2Xo2也1b22也1b24椭圆的切线方程：22(1)椭圆一22a b2x(2 )过椭圆飞a1(a0)上一点P(xo, yo)处的切线方程是xoxyoy12. 21ab(3 )椭"22A a2yb221外一点P(xo,yo)所引两条切线的切点弦

13、方程是XoX-2ayoy1 x圆a2 2B b2 y 孑2c .1(ab o)与直线Ax By C条件是2x5双曲线a2 y b21(ao,b0)的离心率e cJ1 $，aYaT1F2中，记F1PF2PF1F2,F1F2P，则有sinsinsin焦点在x轴的刍am (m0)与焦点在y轴的2y_b22 x 2" an(n 0)共渐近线，它们离心率满足关系1ex12 1 ey2a准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离c(焦准距)过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为:b22焦半径公式|PF1 |e(x )| |aex|，PF2两焦半径与焦距构成三角形的面积F1PF2a2|e(旦 x)

14、| cF1PFo|aex|，b2 cot26双曲线的方程与渐近线方程的关系2 y_ b2(1 )若双曲线方程为2x2a2x渐近线方程：一2a2y_b2(2)若渐近线方程为 y2x(3) 若双曲线与a(0，焦点在xbxa2y_b2轴上,0双曲线可设为2yb22x-2a2y_b22x2a0，焦点在y轴上)b o1有公共渐近线，可设为(4) 焦点到渐近线的距离总是7双曲线的切线方程：8抛物线y2抛物线y2 X2y.2ab22Xy-27Tab22Xy_1 .2ab1外一点1与直线(1)双曲线(2)过双曲线(3)双曲线1(a 0,b0)上一点P(xo,y°)处的切线方程是P(Xo,yo)所引两

15、条切线的切点弦方程是2px的焦半径公式：Xoxy°yX°x 2" aAx By C0相切的条件是A2a222 2px(p 0)焦半径过焦点弦长CDXiX29直线与圆锥曲线相交的弦长公式ABCFAB.(1 疋)区 Xi)2 4X2 XiXoXi2 pX2 p= Fsin|Xi y kx(弦端点 A(Xi, yi),B(X2, y2)，由方程F(x,y)X2)2 (yi y2)2 或x21 . 1 tan2b2消去y得到ax2 0|yiy21 1 cot2bx c 00,为直线的倾斜角,k为直线斜率，|xiX2 | (Xi X2)24x1x2i0.经过抛物线y2=2

16、px(p>0)(*)的焦点作一条直线l交抛物线于 A(xi ,y 1)、B(X2, y2),I的方程为x=卫2(*)、(*)两式联立:方程k2x2(k2p 2p)x(通经所在直线)，或y=k(x - _E) (*) 2业 0，得yiy2= -p2 (定值)消y得 22L (定值)4得知2 y0，得 X1X2 =例题:2 ”p2是“直线PiP2过抛物线焦点F”的充要条件.若 Pi(xi ,yi), P2(x2, y2)是抛物线 y2=2 px (p>0)上不同的两点，则"yiy2=-11. 以焦点弦AB为直径的圆必与准线相切。以焦半径为直径的圆必与y轴相切(请证明！) 过A、B作准线的垂线，焦点弦 AB与准线形成的直角梯形 ABB /A/的对角线的 交点是原点. T (2p,0 )是抛物线y2=2 px对称轴y=0上的特殊点，过此点的弦与抛物线交于P、Q，则有/ POQ=90o或说uuuu uuurOP OQ 0。12.中点弦公式1. AB是椭圆1的不平行于对称轴的弦，M (Xo , y°)为AB的中点,则 koM kAB5，即aKabb2x°。a y°2x2.AB是双曲线a2y_b21 ( a > 0,b > 0 )的不平行于对称轴的弦，M (x°,y。)为AB的中