高数可分离变量的微分方程教案

1、学习必备欢迎下载§7 2可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x 的通解为此把方程两边积分得2y xC一般地方程 yf(x)的通解为yf (x)dxC (此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2 的通解因为 y 是未知的所以积分2xy2dx 无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为1dy2xdx 两边积分得y21 x2C或 yx21yC可以验证函数 yx21是原方程的通解C一般地 如果一阶微分方程y( x, y) 能写成g(y)dy f(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y) F(x) C由方程 G(y) F(x) C 所确定的

2、隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(x y)dx Q(x y)dy 0在这种方程中变量x 与y是对称的若把x 看作自变量、y 看作未知函数则当 Q(x,y) 0 时有dyP(x, y)dxQ( x, y)若把y 看作自变量、x 看作未知函数则当 P(x,y) 0 时有dxQ( x, y)dyP(x, y)学习必备欢迎下载可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx (或写成y(x)(y)的形式就是说能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy另一端只含x 的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可

3、分离变量的微分方程？(1) y2xy是y 1dy2xdx(2)3x2 5x y0是dy (3x2 5x) dx(3)(x2 y2)dxxydy=0不是(4) y1 xy2 xy2 是y(1x)(1y2)(5) yxy是10yx10dy 10 dx(6) yxy不是yx可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf( x)dx 的形式第二步两端积分g( y)dyf (x)dx设积分后得 G(y) F(x) C第三步求出由 G( y) F(x) C 所确定的隐函数 y ( x)或 x (y)G(y) F(x) Cy(x)或 x(y) 都是方程的通解其中 G(y) F( x) C

4、称为隐式(通 )解例1求微分方程dy2xy 的通解dx解此方程为可分离变量方程分离变量后得1 dy 2xdxy两边积分得1dy2xdxy即ln|y| x2 C1从而yex 2 C1eC1 ex 2因为eC1 仍是任意常数把它记作 C便得所给方程的通解yx2Ce例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比已知t 0 时铀的含量为M 0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t 变化的规律学习必备欢迎下载解 铀的衰变速度就是M(t) 对时间 t 的导数 dMdt由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程 dMMdt其中 (>0) 是常数前的曲面号表示当t 增加时 M 单调减少即 dM0dt由

5、题意初始条件为M |t 0M0将方程分离变量得dMdtM两边积分得dM()dtM即lnMt lnC 也即 M Cet由初始条件得 M0 Ce0 C所以铀含量M( t)随时间 t 变化的规律 M M0 e t例 3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为F mg kv( k 为比例系数 )根据牛顿第二运动定律 Fma得函数 v(t)应满足的方程为m dvmg kvdt初始条件为v|t 0 0方程分离变量得dvdtmgkvm两边积分得dvdtmg kvm1 ln(mg kv)tCkm1即mgk t( Ce kC1)vCe mkk将初始条件 v|t 0mg0 代入通解得 Ckv mgk t于是降落伞下落速度与时间的函数关系为(1 e m )k例 4求微分方程 dy1x y2xy2 的通解dx解 方程可化为学习必备欢迎下载dy2(1x)(1y )分离变量得11y2 dy (1 x)dx两边积分得1dy(1x)dx即 arctan y 1 x2 x C1 y22于是原方程的通解为