高教版数学教案组合

1、组 合一、教学目的 :理解组合的意义 , 掌握组合数的计算公式和性质, 并能用它解决一些简单的问题 .二、知识要点 :1.一般地 , 从 n 个不同元素中 , 任取 m(mn) 个元素并成一组 , 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合 .2.一般地 , 从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数 , 用符号 C nm 表示 .3.组合数公式 : Cnm Pnmn(n1)(n2) (nm1), 其中 m, n N, 且 m n.Pmmm!组合数公式还可以写成 : Cnmn!.m!( nm)!4.组合数的两个性质 :

2、CnmCnnm ; Cnm1CnmCnm 1.三、典型例题 :例 1:100 件产品中有合格品90 件, 次品 10 件, 现从中抽取4件检查 . 都不是次品的取法有多少种？ 至少有 1 件次品的取法有多少种？ 不都是次品的取法有多少种？解: C904 2555190; C1004C904C101 C903C102C902C103 C901C1041366035; C1004C104C901 C103C902C102C903 C101C9043921015.例 2: 从编号为 1,2,3,10,11的共 11个球中 ,取出 5 个球,使得这 5个球的编号之和为奇数, 则一共有多少种不同的取法？

3、解: 分为三类 :1 奇 4 偶有 C61C54;3 奇2偶有 C63C52 ;5奇 1偶有 C65所以一共有 C61C54+C63C52+ C65236.例 3:现有 8名青年 ,其中有5 名能胜任英语翻译工作; 有 4 名青年能胜任德语翻译工作( 其中有 1 名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5 名青年承担一项任务, 其中 3 名从事英语翻译工作 ,2名从事德语翻译工作, 则有多少种不同的选法？解: 我们可以分为三类 : 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作, 有 C42C32; 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作, 有 C43C31 ;1 让两项工作都能担任的青年不从事任

4、何工作, 有 C43C32 .所以一共有C42 C32 + C43 C13 + C43C32 42 种方法 .例 4: 甲、乙、丙三人值周 , 从周一至周六 , 每人值两天 , 但甲不值周一 , 乙不值周六 , 问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一 :( 排除法 ) C62 C422C51C42C41C3142解法二 : 分为两类 : 一类为甲不值周一, 也不值周六 , 有 C41C42; 另一类为甲不值周一, 但值周六 , 有 C42C32 . 所以一共有 C14C42 +C42C32 42 种方法 .例 5:6本不同的书全部送给 5 人, 每人至少 1 本 , 有多少种不同的送书方法？解

5、: 第一步从 6 本不同的书中任取 2本“捆绑”在一起看成一个元素有C62 种方法 ; 第二步将5 个“不同元素 ( 书) ”分给 5 个人有 A55 种方法 . 根据分步计数原理 , 一共有 C62 A55 1800 种方法 .变题 1:6本不同的书全部送给5 人, 有多少种不同的送书方法？变题 2:5本不同的书全部送给6人, 每人至多 1本 , 有多少种不同的送书方法？变题 3:5本相同的书全部送给6 人,每人至多 1本, 有多少种不同的送书方法？答案 :1. 5615625 ; 2.A5720; 3. C56.66例 6: 身高互不相同的 7 名运动员站成一排 , 甲、乙、丙三人自左向右

6、从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解:(插空法 ) 现将其余 4 个同学进行全排列一共有A44 种方法 , 再将甲、乙、丙三名同学插入5 个空位置中 ( 但无需要进行排列 ) 有 C53 种方法 . 根据分步计数原理 , 一共有 A44C53 240 种方法 .例 7: 四个不同的小球放入四个不同的盒中, 一共有多少种不同的放法？ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解:根据分步计数原理 : 一共有 44256 种方法 .( 捆绑法 ) 第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有C42 种方法 , 第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有A43

7、 种方法 . 所以一共有C42 A43 144种方法 .四、归纳小结:如果两个组合中的元素完全相同 , 那么不管元素的顺序如何 , 它们是相同的组合 ; 只有当两个组合中的元素不完全相同时 , 才是不同的组合 .2五、基础知识训练:(一)选择题 :1.(99高职 -7) 在下列问题中:(1) 从 1,2,3 三个数字中任取两个 , 可以组成多少个和 ?(2)从 1,2,3 三个数字中任取两个, 可以组成多少个没有重复数字的两位数?(3)将 3个乒乓球投入5 个容器 , 每个容器只能容纳一个乒乓球, 问有多少种投法 ?(4)将 3张编号的电影票给三个同学, 每人一张 , 有多少种分法 ?属于组合

8、问题的是 ()A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2. 从 10 名同学中选出 3名代表 , 所有可能的不同选法种数是 ()A.120B.240C.720D.303.(2000-13)凸 10 边形共有对角线 ()A.90 条B.70条C.45条D.35条4. 某班有 50 名学生 , 其中有一名正班长 , 一名副班长 , 现选派 5 人参加一个游览活动 , 其中至少有一名班长 ( 正、副均可 ) 参加 , 共有几种不同的选法 , 其中错误的一个是 ( )A.n= C21 · C484+ C22 · C483B. n=C505- C485C. n= C21 ·

9、 C494D.n=C21 · C494 - C4835. 从 7 名男队员和5名女队员中选出4 人进行乒乓球男女混合双打, 不同的组队种数有( )A. C72 · C52B. 4C72 · C52C. 2C72 · C52D. AC72 · C52(二)填空题 :6. C96C 97=.98987. 平面内有 12 个点 , 其中任意 3 点不在同一直线上 , 以每 3 点为顶点画三角形 , 一共可画三角形的个数是.8. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9这 9 个数中取出2 个数 , 使它们的和是偶数, 共有种选法 .9. 有 13 个队

10、参加篮球赛 , 比赛时先分成二组 , 第一组 7 个队 , 第二组 6 个队 , 各组都进行单循环赛 ( 即每队都要与本组其它各队比赛一场), 然后由各组的前两名共4 个队进行单循环赛决定冠、亚军, 共需要比赛的场数是.10.4 个男同学进行乒乓球双打比赛, 有种配组方法 .(三)解答题 :11. 某赈灾区医疗队由 4 名外科医生和 8 名内科医生组成 , 现需从中选派 5 名医生去执行一项任务 .3(1) 若某内科医生必须参加 , 而某外科医生因故不能参加 , 有多少种选派方法？(2) 若选派的 5 名医生中至少有 1 名内科和外科医生参加 , 有多少中选派方法？解: (1) 依题意 , 只

11、须从剩余的10 名医生中选出4 名医生与内定的一名内科医生组成医疗队.故共有 C104 =210 种选派方法 .(2)方法一 : 5 名医生全由内科医生组成, 有 C85 种方法 , 故符合题意的方法为C125C85 =936 种;方法二 : 我们将内科、 外科医生分别当作一组有序实数对的前后两实数, 则按题意组队方式可有 :(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种 , 故共有C81 · C44 +C82 · C43 +C83 · C42 +C 84 · C41 =736 种.12.马路上有编号为 1,2,3,1 0 的十盏路灯 , 为节约用电

12、又不影响照明, 可以把其中 3 盏灯关掉 , 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法？解:( 插空法 ) 本题等价于在7 只亮着的路灯之间的6 个空档中插入 3 只熄掉的灯 , 故所求方法总数为 C6320 种方法 .13.九张卡片分别写着数字0,1,2, ,8, 从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果 6可以当作 9 使用 , 问可以组成多少个三位数？解: 可以分为两类情况 : 若取出 6, 则有 2( A82C21C71C71 ) 种方法 ; 若不取 6, 则有 C71 A72种方法 . 根据分类计数原理, 一共有 2( A82C21

13、C71C71 ) +C71 A72 602 种方法 .14. 在产品检验时, 常从产品中抽出一部分进行检查, 现从 10 件产品中任意抽3 件 .(1) 一共有多少种不同的抽法 ?(2)如果 10 件产品中有3件次品,抽出的 3件中恰好有1 件是次品的抽法有多少种?(3)如果 10 件产品中有3件次品,抽出的 3件中至少有1 件是次品的抽法有多少种?4六、综合能力提高:15.6 本不同的书 , 按下列要求各有多少种不同的选法: 分给甲、乙、丙三人, 每人两本 ; 分为三份 , 每份两本 ; 分为三份 , 一份一本 , 一份两本 , 一份三本 ; 分给甲、乙、丙三人, 一人一本 , 一人两本 , 一人三本 ; 分给甲、乙、丙三人, 每人至少一本.解: 根据分步计数原理得到: C62C42C2290种 . 分给甲、乙、丙三人 , 每人两本有 C62 C42C22 种方法 , 这个过程可以分两步完成: 第一步分为三份 , 每份两本 , 设有 x 种方法 ; 第二步再将这三份分给甲、 乙、丙三名同学有A3 种方法 .3根据分步计数原理可得 : C62C42 C22xC33 , 所以 xC62C42C2215 . 因此分为三份 , 每份两A33本一共有15 种方法 .注 : 本题是分组中的“均匀分组 ”问题 . 这是“不均匀分组”问题 ,