高二数学解析几何中的范围问题人教版文知识精讲

1、高二数学解析几何中的范围问题人教版文【本讲教育信息 】一 . 教学内容：解析几何中的范围问题二 . 教学重、难点：1. 重点：确定某个变量的范围， 使得问题中给出的几何图形具有某种几何性质， 或满足某种数量，位置关系。2. 难点：建立含有参变量的函数关系式或不等式。【典型例题】例 1x 2y 21(a1, b0) 焦点距为 2c ，直线 l 过点（ a ，0）和（ 0， b ），且双曲线2b2a4点（ ，）到直线 l的距离与点（1， ）到直线 l 的距离之和s100c，求双曲线的离心率5e的取值范围。解： 直线的 l 的方程为 xy1即 bxayab 0ab点（ 1， 0）到直线 l 的距离

2、d1b(a1)，点 (b(a1)a2b 21,0) 到直线 l 的距离 d2b 2a 2sd1d22ab2ab由 s4 c ，得 2ab4 ca 2b 2c5c5即 5ac2a 22c2于是得5e212e2即 e425e225 0得 5e254由于 e10 ，所以 e的取值范围是5e52例 2已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1， 0），点 P、 Q 在双曲线的右支上，点M（ m,0）到直线AP 的距离为1。若直线 AP 的斜率为 k ，且 k3 , 3 ，求实数 m的3取值范围。解： 由条件得直线AP 的方程 yk( x1) ，即 kxyk0因为点 M 到直线 AP 的距离为1，所以mk

3、k1k 21即 m1k 2111kk 2 k 3 ,3 2 3m 1 233解得2 31m3 或 1 m 12 333所以 m 的取值范围是 1,123 123 ,333例 3设双曲线 C： x2y21(a0) 与直线 l ： xy1 相交于两个不同的点A ，B。a 2求双曲线 C 的离心率 e的取值范围。解： 由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组x2y21 有两个不同的实数解，a 2xy1消去 y 并整理得(12)222220axa xa1a 20解得 0a2 且 a1由8a2 (1 a 2 )04a 4双曲线的离心率 e1a 211aa 2因为 0a2 且 a 1所以 e6且 e

4、2 ，即离心率 e的取值范围为2(6 ,2)(2,)2例 4设 A 、 B 是椭圆 3x2y 2上的两点，点N （ 1， 3）是线段 AB 的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆交于C、 D 两点。确定的取值范围，并求直线AB 的方程。解：解法1：依题意，可设直线AB 的方程为 yk( x1)3，代入 3x2y 2，整理得(k 23) x 22k (k3)x( k3) 20设 A （ x1 , y1 ）， B （ x2 , y2 ），则 x1 , x2 是方程的两个不同的根4 (k 23) 3(k3)2 0且 x1x22k(k3)x1 x21k 2，由 N （1， 3）是线段 AB 的中点，得2

5、3 k(k3)k 23解得 k1代入得12 ，即的取值范围是（ 12,）于是，直线 AB 的方程 y3(x1) 即 xy40解法 2：设 A （ x1 , y1 ）， B （ x2 , y2 ），3x12y12则有3x22y223( x1x2 )( x1 x2 ) + ( y1y2 )( y1y2 ) =0依题意， x1x2 ， kAB3( x1x2 )y1y2N（ 1， 3）是 AB 的中点 x1x22， y1 y26，从而 k AB1又由 N （ 1， 3）在椭圆内3 123212的取值范围是（12,）直线 AB 的方程为y3(x1) ，即 xy40例5设点P到M（ 1,0），N（， ）的

6、距离之差为2m ，到x轴、 y 轴距离之比为，102求 m的取值范围。解法一： 设点 P 的坐标为（ x, y ），依题设得y2即 y2x, x0x因此，点Px, y ）、M（1,0）、N10）三点不共线，得PMPNMN2（ ，PMPN2 m0 0m1因此，点 P 在以 M 、 N 为焦点，实轴长为2m 的双曲线上，故x 2y2m 211m 2 (1m 2 )m2将式代入，并解得x 21m 2015m 2 15m20解得 0m55即 m 的取值范围为5 ,00,555解法二： 设点 P 的坐标为 (x, y) ，依题设得y2x即 y2x, y, x 0由 PM PN 2m，得( x1) 2y

7、2( x1) 2y 22m由式可得4xm2(x 1) 2y 2( x 1) 2y22 x10所以， m，且 m2 y2由式移项，两边平方整理得m (x1) 2y 2x m2将式代入，整理得(152)22(12)mxmm x20 ，且式右端大于0 15m20综上，得 m 满得 0m55 例 6 直线： ykx1与双曲线 C： 2x 2y21的右支交于不同的两点A 、B。求实数 k的取值范围。分析：直线与双曲线右支有两个不同的交点，则不仅仅是0 的问题，还需要追加制约条件。解：（ 1）将直线 l 的方程 ykx1代入双曲线 C 的方程 2x 2y21后，整理得(k 22)x 22kx20依题意，直

8、线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故k 220(2k) 28(k 22)02k0k 2220k 22解得2k2 例 7 已知椭圆x2y 21（ ab0 ）， A 、 B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分a2b2a22a 2b2线与 x 轴交于 P（ x0,0 ）。证明：bax0a。解： 设 A （ x1 , y1 ）， B（ x2 , y2 ） P（ x0 ,0 ）是中垂线上的点 PA=PB则( x0x1 ) 2y12(x0x2 ) 2y22 (x0x1 )2y12( x0x2 )2y22解出 x0，得 x0(x12x22 ) ( y12y22 )2( x1x2 )又 A、B 在椭

9、圆上b2 x12a 2 y12a2 b2b2 x22a 2 y22a2 b2 b2 (x12x22 )a 2 ( y12y22 ) 022b 22x2y1y2a2 ( x12 ) a 2b 2代入得 x0( x1x2 )2a 22ax1x22aa2b2x0a 2b2aa例 8如图P 是抛物线C： y1 x 2 上一点， 直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q。若2STST直线l 不过原点且与x 轴交于点S，与y 轴交于点T ，试求的取值范围。SPSQ解：设 P（ x1 , y1 ），Q（ x2 , y2 ）， M （ x0 , y0 ），依题意 x10 ， y10 ， y20设直线 l ：

10、 ykx b ，依题意 k0 ， b0，则T（ 0,b）分别过，作 PPxP Q轴， QQx轴，垂足分别为 P 、 Q ，则STSTOTOTbbSPSQP PQ Qy1y212由 y2 x消去 x ，得 y 22(k 2b) yb 20 （1）ykxby1y22(k 2b)则b 2y1 y2方法 1：STST112b112SP SQb ()y1 y22 b2y1y2b因为 y1 , y2 可取一切不相等的正数STST2，所以的取值范围是（）SPSQSTSTb y1y2b 2(k2b)方法 2：SPSQy1 y2b 2当 b0 时，STSTSPSQb 2(k 2b)2(k 2b)2k 222b

11、2bb当 b0 时，STST2(k 2b)2( k2b)SPSQbb2b又由方程（ 1）有两个相异实根，得4(k2)24 24 2(k22 )0bbkb于是k22 0，即k22bb所以STST2( 2bb)SPSQb2STST的取值范围是（2，）SPSQ【模拟试题】（答题时间： 40分钟）1.x 2y 21（ ab 0 ）上一点， F1，F2 是其焦点，且F1 PF290 ，设 P是椭圆2b2a求椭圆离心率的最小值。2.已知直线 yxb(0b1) 与抛物线y22x相交于ABABO的面、 两点，求使2积最大时的直线方程。3.已知：直线 l ： ykx( k0) 和顶点为 A 的抛物线 C： (

12、y1) 23(x1)有公共点，点 P（ a,0 ）关于直线 l 的对称点为 Q，若 AQ 垂直于抛物线的对称轴，求a 的取值范围。4.已知：椭圆 x2y21的一个顶点 A（ 0，1），是否存在斜率为k （ k0 ）的直线3l ，使 l 与已知椭圆交于两个不同的点M 、 N，且使 AMAN ？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由。【试题答案】1. 思路：由 PF12222 ，得到 PF1 PF2PF2 2a 和 PF1PF2F1 F24c= 2(a 2 c 2 ) ，进而构造关于 PF1 、PF2 的一元二次方程，在解有关焦点三角形的最值问题时常常运用这种方法。解：由椭圆的定义得：PF1P

13、F22a 在F1 PF2 中， F1PF2902PF 2224c2 PF1F1 F2 2，得 PF1PF2 2(a2c2 ) 由、可知，PF1、 PF2 是方程 z22az 2(a 2c2 ) 0 的两根从而428(22)0aacc)21，即 ec2 (2a2a所以离心率的最小值为222. 思路：建立ABO 的面积关于变数b 的目标函数，求使目标函数取最大值时b 的值。解：设ABO 的面积为 S，点 O 到 AB 的距离为 d ， A （ x1 , y1 ）， B （ x2 , y2 ）联立yx b，得到2(22)20y22xxbxbx1x22 2b ， x1 x2b 2 AB2 x1x22

14、(x1x2 )24x1 x2 = 2 4 8b而 db，于是 S1248bb22b 1 2b2 b 1 2bbb12bbb(12b)( bb12b) 3339当且仅当 b 12b ，即 b1时等号成立31故ABO 的面积最大时的直线方程为yx33. 解：联立直线 l 与抛物线 C 方程，整理得22(23)40kxkx由 l 与 C 有公共点，得(23)21620kk解得3k1，且 k022A （1,1），而 AQ 垂直于抛物线的对称轴，故可设Q（ 1, y0 ）如图所示，抛物线顶点 P 和 Q 关于直线 l对称y0ka122，得 k 2a1消去 y0a1y011ak由3k1 ，且 k0 ，得 0 k 292240a19a14解得 a131故 a 的取值范围是 (135，或 a,(1,)54. 解：由AMAN可得A 与MN中点T 的连线AT MN ，出现了弦的中点且可用斜率的乘积为1 ，所以可用点差法。设 M （x1 , y1