高考数学专题之--直线与圆锥曲线

1、专题五直线与圆锥曲线1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l 的方程为 Ax By C 0，圆锥曲线方程 f( x， y) 0.AxBy C 0，消元由f x，y 0如消去 y 后得 ax2 bx c0.若 a 0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行( 或重合 )若 a 0，设 b2 4ac.a _0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b _0时，直线和圆锥

2、曲线相切于一点；c _0时，直线和圆锥曲线没有公共点2 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1) 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1， y1) ， P2(x2， y2) ，则所得弦长|P1P2|_或 |P1P2| _.(2)当斜率 k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式 )(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷3 圆锥曲线的中点弦问题x2y2遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解在椭圆 1中，以 P( x0， y0)2 2222ab为中点的弦所在直线的斜率k b2x0；在双曲线 x2y21中，

3、以 P(x0，y00 )为中点的弦所b2x0a yab2中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜在直线的斜率 k 2 ；在抛物线y 2px (p>0)a y0p率 k.难点正本疑点清源 1 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系， 从几何角度可分为三类： 无公共点， 仅有一个公共点及有两个相异公共点还可通过代数方法即解方程组的办法来研究因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题， 实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程

4、等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长( 即应用弦长公式 )；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘” .题型一直线与圆锥曲线的位置关系例 1 已知定圆 A：( x 1)2 y2 16，圆心为 A，动圆 M 过点 B(1,0)且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为 C.(1) 求曲线 C 的

5、方程；(2) 若点 P(x0，y0)为曲线 C 上一点，求证：直线 l：3x0x 4y0y12 0 与曲线 C 有且只有一个交点探究提高将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解2x2在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2 y 1有两个不同的交点 P 和 Q.(1) 求 k 的取值范围；(2) 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数k，使得向量 OP

6、k 值；如果不存在，请说明理由OQ 与 AB 垂直？如果存在，求题型二圆锥曲线中的弦长问题例 2设点 F3 ，动圆 P 经过点 F 且和直线 y 3相切，记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W.0，22(1) 求曲线 W 的方程；(2) 过点 F 作互相垂直的直线 l1， l 2 分别交曲线 W 于 A， B 和 C，D .求四边形 ACBD 面积的最小值探究提高由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通法，而相关的最值的讨论求解往往需要建立目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来求解y2x2x1，y1设 A(x1，y，y22a，1)，B(x2 2)是椭圆 a b 1 (a>b&g

7、t;0)上的两点，已知向量 m bx2，y2，若 m·n 0且椭圆的离心率e3，短轴长为2， O 为坐标原点n ba2(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线 AB 的斜率存在且直线AB 过椭圆的焦点F(0，c)(c 为半焦距 )，求直线 AB 的斜率k 的值；(3) 试问： AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由题型三 圆锥曲线中的定值或定点问题例 3已知定点C( 1,0)及椭圆 x2 3y2 5，过点 C 的动直线与椭圆相交于A，B 两点，在 x 轴上是否存在点 M，使 MA ·MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由探究提

8、高 m 值使其与直线的斜率无关，化本题的难点是由 MA ·MB 的表达式，如何确定解的方法就是对 k 进行集项，只有当 k 的系数等于零时，式子的值才能与k 无关，即在 m216m 14 2m 33 3k2 1 中 6m 14 0.本题当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和M 的坐标，再进行具体证明31椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过点 P 1，2且离心率为2.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若直线 l ： y kx m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点 (A， B 不是左右顶点 )，且以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，

9、并求出该定点的坐标题型四圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题例4已知椭圆2xy21 的左焦点为F ，O为坐标原点2(1) 求过点 O、 F，并且与直线 l： x 2 相切的圆的方程；(2) 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围探究提高直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型x2y2已知椭圆C：a2 b2 1 (a&

10、gt;b>0) 与直线x y 1 0 相交于A， B 两点(1) 当椭圆的半焦距 c 1，且 a2 ， b2， c2 成等差数列时，求椭圆的方程；(2) 在 (1)的条件下，求弦 AB 的长度；(3)当椭圆的离心率 e 满足3 e 2，且以 AB 为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴32长的取值范围24.圆锥曲线中的函数思想22试题： (12 分 )已知椭圆 x y 1上的两个动点P， Q，设 P( x1， y1)， Q(x2， y2)且 x1 x2 2.42(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B，求 |PB |的最小值及相应的

11、P 点坐标审题视角(1)引入参数PQ 中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ 的方程求解 (2) 建立 |PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值规范解答(1) 证明 P(x1， y1) ，Q(x2， y2)，且 x1 x2 2.x12 2y12 4y1 y21 x1 x2当 x1 x2 时，由，得·.x22 2y22 4x1 x22 y1 y2y1 y21设线段 PQ 的中点 N(1， n)， kPQ 2n，x1 x2 线段 PQ 的垂直平分线方程为yn 2n(x 1)， (2x 1)n y 0，该直线恒过一个定点 A(1， 0)21当 x1 x2 时，线段 PQ 的中垂

12、线也过定点A(2， 0)1综上，线段 PQ 的垂直平分线恒过定点A(2， 0)(2) 解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称，故点 B( 12， 0) 2 x1 2， 2 x2 2， x1 2 x2 0,2 ，21221279|PB| (x1 ) y1(x1 1) ，22443 当点 P 的坐标为 (0， ± 2)时， |PB|min .23 分6 分7 分8 分10 分12 分批阅笔记 (1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图像、函数的有界性或重要不等式

13、等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图像求最值(2) 本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围实质上是忽视了椭圆的范围方法与技巧1解决直线与椭圆的位置关系问题， 如果直线与椭圆有两个不同交点， 若根据已知条件能求出两交点的坐标， 这不失为一种彻底有效的方法； 若两交点的坐标不好表示， 可将直x2y22线方程 y kxc 代入椭圆方程 a2 b21 整理出关于x(或 y) 的一元二次方程 AxBx C0， B24AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为1 k2|A| )2弦的中点问

14、题， 以及交点与原点连线的垂直等问题 求弦长可注意弦是否过圆锥曲线焦点； 弦的中点问题还可利用“ 点差法 ” 和 “对称法 ”； 解决 AO BO，可以利用向量 0.AO BO的充要条件即 AO ·BO失误与防范在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况课时规范训练(时间： 60 分钟 )A 组专项基础训练题组一、选择题1直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 有且只有一个公共点，则k 的值为()A 1B1或3C0D1或0x2y22 AB 为过椭圆 a2 b2 1 中心的弦， F(c,0)为它的焦点，则FAB 的最大面积为()A b2B abCac

15、D bcx22()3斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4 y 1 相交于 A、 B 两点，则 |AB |的最大值为45410810A 2B.5C.5D.5二、填空题x224已知椭圆 4 y 1的两个焦点为 F 1、 F2，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则 |PF 2|_.5直线 y kx 2 与抛物线 y2 8x 交于不同两点A、B，且 AB 的中点横坐标为2，则 k 的值是_6直线 y kx 1 与椭圆三、解答题2 2x y 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 _ 5 m7已知直线ykx 1 与双曲线x2 y2 1 的左支交于A、 B 两点，若另有一条直线l

16、经过P( 2,0)及线段 AB 的中点 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)求直线 l 在 y 轴上的截距b 的取值范围8已知椭圆的一个顶点为A(0， 1)，焦点在x 轴上若右焦点到直线x y 22 0 的距离为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线 y kxm (k 0)与椭圆相交于不同的两点 M ，N.当 |AM| |AN|时，求 m 的取值范围B 组专项能力提升题组一、选择题1过抛物线y2 2px (p>0)的焦点 F 且倾斜角为60°的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、 B 两点，则 |AF|的值等于()|BF|A 5B 4C 3D 22已知椭圆 E 的左、

17、 右焦点分别为F 1、F 2，过 F1 且斜率为2 的直线交椭圆E 于 P、Q 两点，若 PF1 F2 为直角三角形，则椭圆E 的离心率为()5221A. 3B.3C. 3D.33已知过抛物线y2 2px (p>0)的焦点 F 的直线 x my m 0 与抛物线交于 A、B 两点，且 OAB( O 为坐标原点 )的面积为2 2，则 m6 m4的值是()A 1B.2C 2D 4二、填空题4设抛物线 x2 4y 的焦点为 F ，经过点P(1,4) 的直线 l 与抛物线相交于A、 B 两点，且点 P恰为 AB 的中点，则 |AF| |BF | _.x2y2xy5已知双曲线 2 2 1 (a&g

18、t;1 ，b>0) 的焦距为 2c，离心率为 e，若点 ( 1,0)与(1,0)到直线baba 1 的距离之和 s 45c，则 e 的取值范围是 _6若过抛物线y2 2px (p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点A、 B、C，若 |BC| 2|BF|，且 |AF|3，则抛物线的方程为 _三、解答题x2y26，右焦点为 (22， 0)，斜率为1 的直线 l 与7已知椭圆 G： a2 b2 1 (a>b>0)的离心率为3椭圆 G 交于 A、 B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P( 3,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求 PAB 的面积答案

19、要点梳理1 (2)> <2 (1)2x2|11 k |x112|y1 y2|k题型分类 ·深度剖析例 1(1) 解圆 A 的圆心为A( 1,0)，半径 r 1 4，设动圆 M 的圆心 M 为 (x，y)，半径为 r2，依题意有 r 2 |MB |.由 |AB| 2，可知点 B 在圆 A 内，从而圆M 内切于圆 A，故 |MA | r1 r 2，即 |MA | |MB | 4，所以点 M 的轨迹是以A， B 为焦点的椭圆，设椭圆方x2 y222程为 a2 b2 1，由 2a 4,2c2，可得 a4， b 3.x2y2故曲线 C 的方程为4 3 1.22(2) 证明 当 y0

20、 0时，由 x0 y0 1，可得 x0 ±2.43 当 x0 2，y0 0时，直线 l的方程为 x 2，此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 (2,0) 当 x0 2， y0 0 时，直线 l 的方程为x 2，此时直线l 与曲线 C 有且只有一个交点( 2,0)当 y0 0 时，直线 l 的方程为 y12 3x0x，4y012 3x0xy，联立方程组，得4y0y2x24 31.消去 y，得 (4y02 3x022 24x002 0.(*)xx 48 16y由点 P(x0， y0)为曲线 C 上一点，2 2得 x40 y30 1.于是方程 (*) 可化简为x2 2x0x x20

21、0，解得 x x0，把 xx0代入方程 y12 3x0 x4y0，可得 y y0.故直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点P(x0， y0)综上，直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点，且交点为P(x0， y0 )22变式训练1 (1) ， 22 ，(2) 解设 P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则 OP OQ (x1 x2， y1 y2 )42k由方程 得， x1x22，y1 y2 k(x1 x2) 22 4 2k2 22 2.1 2k(OP OQ) AB ， (x1 x2) ·( 2) y1 y2 0，即： 4 2k2·(22) 4 2k 2 2 2 0.1 2k1

22、 2k221解得： k 4，由 (1) 知 k>2，与此相矛盾，所以不存在常数 k 使 OP OQ 与 AB 垂直例 2 解 (1)过点P 作 PN 垂直于直线y32于点 N，依题意得 |PF| |PN|，所以动点P 的332轨迹是以 F 0，2为焦点，直线 y2为准线的抛物线，即曲线W 的方程是x 6y.(2) 如图所示，依题意，直线l 1， l 2 的斜率存在且不为0，设直线l1 的方程为 y kx 3，由 l1 l 22得 l2 的方程为1 3 y kx 2.3 2将 ykx 2代入 x 6y，化简得 x2 6kx 90，设 A( x1，y1 )， B(x2， y2)，则 x1 x

23、2 6k， x1x2 9， |AB| x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 6(k2 1)1同理可得 |CD | 6 k2 1 ， 四边形 ACBD 的面积1S2|AB| ·|CD |2 1 18(k 1) k2 12 1 18 k k2 2 72.21当且仅当k k2，即 k±1 时， Smin 72，故四边形 ACBD 面积的最小值是72.y22变式训练2(1) 4 x 1 (2)± 2(3) 解 当直线 AB 的斜率不存在时，即 x1 x2， y1 y2 ，22y122由 m·n 0，得 x140，即 y1 4x1，

24、又 A( x1，y1 )在椭圆上，所以2y12x1 1，4所以 |x1 |22 ， |y1|2，1所以 S AOB 2|x1| ·|y1 y2| |x1| ·|y1| 1，所以 AOB 的面积为定值 当直线 AB 的斜率存在时：设直线 AB 的方程为 y kx b，y kx b由 y2 x2 1 ， 4得 (k2 4)x2 2kbxb24 0， 2kbb2 4则 x1 x2 k2 4 ， x1x2 k2 4，y1y2由 x1x2 4 0，kx1 bkx2 b得 x1x24 0，整理得： 2b2 k2 4，1|b|2|AB|所以 S AOB 2·1 k12 2|b|

25、x1 x2 4x1x2|b| 4k24b2 164b2k2 42|b| 1，所以 AOB 的面积为定值例 3 解 假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使 MA ·MB 为常数设 A(x1， y1)， B(x2， y2) 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为 y k(x 1)，将y k(x 1)代入 x2 3y2 5，消去 y 整理，得 (3k21)x2 6k2 x3k2 5 0. 36k4 4 3k2 1 3k2 5 >0，6k2x1 x2，则3k2 13k2 5x1 ·x22.3k 1 (x1 m)( x2 m) y1 2

26、(x1 m)(x2 m) k222所以 MA·MB1 1)(x2 1) (k 1)x1x2 (ky(xm)( x1 x2) k2 m2 . 2 56m 1 k2整理，得 MA ·MB3k m2113k2 1 2m142m 33 m23k2 12 1 6m14 m 2m 3 3 3k2 1 . 7 4注意到 MA·MB是与 k 无关的常数，从而有 6m14 0， m3，此时 MA ·MB 9. 当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点A， B 的坐标分别为 A 1， 21， 23 、 B3 ，7 4当 m 3时，亦有 MA ·MB 9.7 综上，在

27、 x 轴上存在定点 M ， 0，使 MA ·MB 为常数3变式训练3(1) 解设椭圆方程为x2y2a2 b2 1 (a>b>0) ，c 1由 ea 2，得 a 2c， a2 b2 c2， b2 3c2，x2y2则椭圆方程变为4c2 3c2 1.3又椭圆过点P 1， 2 ，将其代入求得c2 1，故 a2 4， b2 3，x2y2即得椭圆的标准方程为4 3 1.(2) 证明设 A(x1， y1) ，B(x2， y2)，y kx m，联立 x2y24 31，得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m23) 0.2222，64m k 16 3 4km 3 >01 x2 8mk

28、，x3 4k2则4 m2 3x1·x2 3 4k2 .又 y1y2 (kx1 m)(kx2 m)22 k2 1 2 mk(x1 x23 m 4k22 .x x) m3 4k 椭圆的右顶点为A2 (2,0)， AA2 BA2， (x1 2)(x22) y1y20， y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 0，3 m2 4k24 m2 316mk 3 4k2 3 4k2 4 0，3 4k2 7m2 16mk 4k2 0，解得 m1 2k， m2 2k7，由 ，得 3 4k2 m2>0，当 m1 2k 时， l 的方程为y k(x 2)，直线过定点(2,0) ，与已知矛盾2k22当

29、 m27 时， l 的方程为y k x 7，直线过定点7，0 ， 直线 l 过定点，定点坐标为2， 0.7例 4 解(1) a2 2， b21， c1， F( 1,0)， 圆过点 O， F ， 圆心 M 在直线 x12上设 M1， t ，则圆半径2r 1 2 3，221 223由 |OM| r，得 2 t 2，解得 t ± 2， 所求圆的方程为1 229x2 (y± 2) 4.(2) 设直线 AB 的方程为 y k(x 1) ( k0)，x22代入 2 y 1，整理得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0. 直线 AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于 x 轴， 方程有

30、两个不等实根2记 A( x1，y1 )， B(x2， y2)， AB 中点 N(x0， y0)，则 x1 x24k，2k22k2 11x0 2(x1 x2) 2k2 1，y0 k(x0 1)k，2k2 1 AB 的垂直平分线NG 的方程为1y y0 k(x x0)令 y0，得 xG x0 ky0222kk2k212k2 1k2112k2 124k2 2， k0， 1<xG<0 ，21， 0 点 G 横坐标的取值范围为.222(2)8 3变式训练 4(1) x y 1(3) 5， 6325课时规范训练A 组1 D 2D3 C75 24.26 m 1 且 m57 解(1) 将 y kx 1 代入双曲线方程x2 y2 1，化简，整理，得(1 k2)x2 2kx 2 0.4k2 8 1 k2 >0 ，由题设条件 2k2 <0，? 2<k<1.1k2 1 k2>0(2)