高二文科数学新课标人教A版选修1-1第三章导数与应用导学案

1、§3.1.1变化率问题反思 ：所谓平均变化率也就是的增量学习目标与的增量的比值 .1感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 会数学的博大精深以及学习数学的意义； 典型例题x32理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化例1 过 曲 线 yf ( x)上两点P(1,1和率和导数的数学模型提供丰富的背景.Q(1x,1 y) 作曲线的割线，求出当x 0.1时学习过程割线的斜率 .一、课前准备（预习教材 P72 P74，找出疑惑之处）复习1：曲线x2y2与 曲线251229yx1(k9) 的（）25k9kA 长、短轴长相等B 焦距相等C离心率相等D准线相同

2、复习332:：将 a -b 分解因式 =_变式：已知函数 f (x)x2x 的图象上一点( 1,2) 及邻近一点 (1x, 2y) ，则y =x二、新课导学 学习探究探究任务一 ：问题 1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢 .从数学的角度如何描述这种现象 ?问题 2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率 ： f ( x2 )f ( x1 )fx2x1x试试：设 y f( x) ， x1 是数轴上的一个定点，在数轴 x 上另取一点x2 ， x1 与 x2 的差记为x ，即x =或者 x2 =， x 就表示从 x1 到 x2 的变化量或增量，相应

3、地， 函数的变化量或增量记为y ，即y =；如果它们的比值y ，则上式就表示为，x此比值就称为平均变化率.例 2 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f ( x) 在下列区间上的平均变化率：（ 1）1， 3；（ 2）1， 2；（ 3）1， 1.1 ；（ 4）1， 1.001小结 ： 动手试试练 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率.118.66.53.5W(kg)A 3B 2C 1D 02.设函数 yf ( x) ，当自变量 x 由 x0 改变到 x0x时，函数的改变量y 为（）A f (x0

4、x)B f ( x0 )xC f (x0 ) xD f ( x0x) f ( x0 )3.质点运动动规律st 23，则在时间(3,3t )36912 T(月)中，相应的平均速度为（）A 6tB69ttC 3tD9t4.已知 s1gt 2 ，从 3s到 3.1s的平均速度是 _25.y x23在 x2 附近的平均变化率是_2x练 2. 已知函数f ( x)2 x1 ， g (x)2 x ，分别计算在区间 -3， -1， 0， 5上 f (x) 及 g( x) 的平均变化率 .（发现： y kx b 在区间 m ，n上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 学习小结1.函数 f ( x) 的平均变化

5、率是2.求函数f ( x) 的平均变化率的步骤：（ 1）求函数值的增量（ 2）计算平均变化率 知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的 “数量化 ”，曲线陡峭程度是平均变化率 “视觉化 ”学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1.y2 x1 在 (1,2) 内的平均变化率为（）课后作业1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理 . 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（ W 表示排污量），哪个企业治理

6、得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙， t s 后容器甲中水的体积 V (t ) 5 2 0.1t （单位： cm3 ），计算第一个10s 内 V 的平均变化率 .§导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度学习过程一、课前准备预习教材P74 P76，找出疑惑之处）复习1 ：气球的体积V与半径r 之间的关系是r (V )33VV 从0增加到1 时，求当空气容量4气球的平均膨胀率.复习 2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与 起 跳 后 的 时 间t的 关系 为 ：h(t ) 4.9t 2

7、6.5t 10 . 求在 1 t 2 这段时间里，运动员的平均速度 .二、新课导学 学习探究探究任务一 ：瞬时速度问题 1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是新知：1 瞬时速度定义： 物体在某一时刻 ( 某一位置 )的速度，叫做瞬时速度 .探究任务二 ：导数问题 2： 瞬时速度是平均速度s 当t 趋近于 0t时的得导数的定义： 函数 yf ( x) 在 xx0 处的瞬时变f ( x0x)f (x0 )limf，我们称它化率是 limxxx0x 0为函数 yf ( x) 在 xx0 处的导数，记作 f ( x ) 或0y |即f (x0 )limf ( xx) f (x0 )xx0x 0

8、x注意： (1) 函数应在点x0 的附近有定义，否则导数不存在(2) 在定义导数的极限式中，x 趋近于 0可正、可负、但不为 0，而y 可以为 0(3)y 是函数 yf (x) 对自变量x 在x 范x围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 y f ( x) 上 点 （ x0 , f ( x0 ) ） 及 点( x0x, f (x0x) ）的割线斜率(4) 导数 f / (x0 )lim0f ( x0x) f ( x0 ) 是xx函数 y f ( x)在点 x0 的处瞬时变化率，它反映的函数 y f ( x)在点 x0 处变化的快慢程度 .小结： 由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员

9、的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. 典型例题例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 xh时，原油的温度（单位：0c ）为f ( x) x27x 15(0x 8) . 计算第 2h 和第 6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例 2 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动 (位移单位： cm，时间单位： s)，(1)当 t=2，st=0.01 时，求.t(2)当 t=2，st=0.001 时，求.t(3)求质点 M 在 t

10、=2 时的瞬时速度小结 ：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量yf ( x0x) f ( x0 ) ；第二步：求平均变化率yf ( x0x)；xx第三步：取极限得导数yf (x0 ) lim.x 0 x2.yx2 在x =1 处的导数为（）A 2 xB 2C 2xD 1 动手试试练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率 ,并说明它们的意义 .f ( x03. 在 f ( x0 ) limx 0能（）A大于 0C等于 04.如果质点A 按规律 s时速度为x) f ( x0 ) 中， x 不可xB小于 0D大于 0 或小于 0 3t 2 运动，则在 t

11、3 时的瞬f x1 k f ( x )0205. 若 f (x0 )2 ，则 limk等于k 0练2.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s(t)t2 (位移单位： m，时间单位： s)，求小球在 t 5时的瞬时速度三、总结提升 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时课后作业1. 高台跳水运动中， ts 时运动员相对于水面的高度是：2h(t )4.9t6.5t 10(单位 : m), 求运动员在t 1s 时的瞬时速度 ,并解释此时的运动状况 .2. 一质量为 3kg 的物体作直线运动 ,设运动距离s(单位： cm)与时间（单位： s）的

12、关系可用函数s( t)1t 2 表示，并且物体的动能U1 mv2 . 求物2体开始运动后第5s 时的动能 .速度 v= lims(tt)s(t )t 0t 知识拓展导数存在连续有极限学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：1. 一直线运动的物体，从时间t到 tt 时，物体的位移为 s ，那么 lims 为（）t0t从时间 t 到 tt 时，物体的平均速度；在 t时刻时该物体的瞬时速度；当时间为t 时物体的速度；从时间 t 到 tt 时物体的平均速度§导数的几何意义学习目标通过导数

13、的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数 .学习过程一、课前准备（预习教材 P76 P79，找出疑惑之处）复习 1：曲线上向上 P( x1 , y1 ), P1 ( x1x, y1y) 的连线称为曲线的割线，斜率ykx复习 2：设函数 yf (x) 在 x0 附近有定义当自变量在 x x0 附近改变x 时，函数值也相应地改变y，如果当 x时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数 l 称为函数f (x) 在点 x0 的瞬时变化率 .记作：当 x时，l例 1如图 ,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t )4.9t 26.5t10 的图象 .根据

14、图象 ,请描述、比较曲线 h(t ) 在 t0 ,t1 ,t2 附近的变化情况.二、新课导学 学习探究探究任务 ：导数的几何意义问题 1：当点 Pn (x n , f (xn )(n1,2,3,4) ，沿着曲线f (x) 趋近于点 P( x0 , f (x0 ) 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是：kn当点 Pn 无限趋近于点P 时， kn 无限趋近于切线 PT的斜率 . 因此，函数f ( x) 在 xx0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ，即k limf ( x0x)f

15、( x0 )f(x0 )0xx新知：函数 yf ( x)在 x0处的导数的 几 何意义 是曲线y f ( x) 在 P (x0 , f ( x0 ) 处切线的斜率 .即 k = f ( x0 ) limf ( xx) f ( x0 )x0x 典型例题小结 ：例 2如图 ,它表示人体血管中药物浓度cf (t ) (单位 : mg / mL ) 随时间 t (单位 :min) 变化的函数图象 .根据图象 ,估计 t =0.2,0.4,0.6,0.8 时 ,血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到 0.1) 动手试试练 1. 求双曲线 y1在点 (1,2) 处的切线的斜率,并x2写出切线方程.（）A y

16、4x1B y4x7C y 4 x1D y4 x73.f ( x) 在 xf ( x0h)f (x 0 )x0 可导，则 limh 0h（）A 与 x0 、 h 都有关C仅与 h 有关而与B 仅与 x0 有关而与 h 无关 x0 无关 D与 x0 、 h 都无关4.若函数 f ( x) 在 x0 处的导数存在，则它所对应的练 2. 求 yx2 在点 x1 处的导数 .曲线在点 ( x0 , f ( x0 ) 的切线方程为5.已知函数 yf (x) 在 x x0 处的导数为11，则limf ( x0x)f (x 0 ) =x0x三、总结提升 学习小结函数y f ( x) 在 x0 处的导数的几 何

17、意义 是曲线yf ( x) 在 P (x0, f ( x ) 处切线的斜率 .0即 k = f ( x0 ) limf ( x x)f ( x0 )xx0其切线方程为 知识拓展导数的物理意义：如果把函数 y f ( x) 看做是物体的运动方程（也叫做位移公式， 自变量 x 表示时间），那么导数 f ( x0 )表示运动物体在时刻xo 的速度，即在 xo 的瞬时速度 .即 vx0f ( x0 )ylimt 0 x而运动物体的速度v(t ) 对时间 t 的导数，即v (t ) limv 称为物体运动时的瞬时加速度 .t 0t学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C.

18、一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1.已知曲线y2 x2 上一点 ,则点 A(2,8) 处的切线斜率为（）A. 4B. 16C. 8D. 22.曲线 y21在点 P( 1, 3)处的切线方程为2 x课后作业1. 如图 ,试描述函数f ( x) 在 x =5, 4, 2,0,1 附近的变化情况 .2 已知函数 f ( x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大致形状 .§几个常用函数导数学习目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.学习过程一、课前准备（预

19、习教材 P81 P82，找出疑惑之处）复习 1 ：导数的几何意义是：曲线 yf ( x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ） 处 的 切 线 的 斜 率 . 因 此 ， 如 果y f ( x) 在 点 x0 可 导 ， 则 曲 线 yf (x) 在 点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线方程为复习 2：求函数 yf ( x) 的导数的一般方法：（ 1）求函数的改变量y（ 2）求平均变化率yx（ 3）取极限，得导数y / f (x) limyx0x=二、新课导学 学习探究探究任务一 ：函数 yf ( x)c 的导数 .问题：如何求函数yf ( x)c 的导数新知： y0 表示函数yc

20、图象上每一点处的切线斜率为.若 yc 表示路程关于时间的函数，则y，可以解释为即一直处于静止状态.试试： 求函数 yf ( x)x 的导数反思： y1 表示函数yx 图象上每一点处的切线斜率为.若 yx 表示路程关于时间的函数，则y，可以解释为探究任务二 ：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y 2x, y 3x, y 4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数 .（ 1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（ 2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（ 3）函数 y kx(k 0) 增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题例 1 求函数 yf (x)1 的导数x变式 ： 求函数 yf

21、 ( x)x2 的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例 2 画出函数 y1 的图象 .根据图象， 描述它的变x(1,1)处的切线方程 .化情况，并求出曲线在点变式 1：求出曲线在点(1,2) 处的切线方程 .变式 2：求过曲线上点 (1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程 .（）A (0,0)B (2,4)C (1,1)D (1,1)4 16244.过曲线 y1 上点 (1,1)且与过这点的切线平行的x小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点直线方程是t 3 ，则物体在 t是否为切点，它们的求法是不同的.5.物体的运动方程为s1时的速度为，

22、在 t4 时的速度为. 动手试试练 1. 求曲线 y 2 x21 的斜率等于4 的切线方程 .课后作业1.已知圆面积 Sr 2 ，根据导数定义求S ( r ) .(理科用 )练 2. 求函数 yf ( x)x 的导数2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体 .如果最初有500 克氡气，那么t 天后，氡气的剩t余量为 A(t)5000.834 ，问氡气的散发速度是多三、总结提升 学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导.的三个步骤：，2. 利用导数求切线方程时， 一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的

23、分水岭和转折点.关于微积分的地位， 恩格斯是这样评价的： “在一切理论成就中，未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1.f ( x) 0的导数是（）A 0B 1C不存在D不确定2.已知 f ( x) x2 ,则 f(3) （）A 0B 2 xC 6D 93.在曲线y x2 上的切线的倾斜角为的点为§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1.理解两个函数的和 (或差 )的导数

24、法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 .学习过程一、课前准备4（预习教材 P83 P85，找出疑惑之处）复习 1：常见函数的导数公式 ：C ' 0 ； (x n )' nx n 1 ； (sin x)'cos x ；(cos x)'sin x ； (a x ) a x ln a( a0) ； ( ex )ex ；( logax)11( a 0, 且 a 1) ； (ln x).xln ax复习 2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（ 1）61y1y x （ 2）yx （ 3）y2（ 4）4 x3x二

25、、新课导学 学习探究探究任务 ：两个函数的和(或差 )积商的导数新知： f ( x)g (x)f ( x)g ( x) f ( x) g (x)f (x) g ( x)f ( x) g ( x)变式：如果上式中某种商品的 p0 5 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1 吨水净化到纯净度为x% 时所需费用（单位：元）为 c( x) 5284 (80 x 100) . 求净化到下列纯净 100 x度时，所需净化费用的瞬时变化率：（ 1）90%；（ 2） 98%.f ( x)f

26、 ( x)g ( x) f ( x) g ( x)2g( x) g( x)试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数yx32x3 的导数 .小结 ：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 动手试试 典型例题练 1. 求下列函数的导数：例 1 假设某国家在20 年期间的年均通贷膨胀率为log 2 x ；（ 2） y2ex ；（ 1） y5%，物价 p (单位： 元 )与时间 t (单位：年 )有如下函52t（ 3）2 xy3cos x 4sin xy3 x 5x 4.数关系 p(t ) p0 (15%) ，其中 p0为 t 0 时的物价 .；（4）假定某种商品的 p01

27、，那么在第10 个年头， 这种商品的价格上涨的速度大约是多少( 精确到 0.01)?A sin xB sin x2xCx sin xcos xx cos xcos x2D2xx练 2. 求下列函数的导数：x34. 函数 f (x)13 8 x2 x2 ，且 f (x0 ) 4，（ 1） y x3log2x ；（ 2） yn x1则 x0 =x e；（3） ysin x 在点 M (sin x5.曲线 y,0) 处的切线方程为x三、总结提升 学习小结1由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数 .2

28、对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则 .求导时， 不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 .在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误 .课后作业1. 求描述气球膨胀状态的函数 r (V )33V的导数 .42. 已知函数 y x ln x . （ 1）求这个函数的导数；（ 2）求这个函数在点 x 1 处的切线方程 . 知识拓展1复合函数的导数 ：设函数 ug (x) 在点 x 处有导数 uxg ( x) ，函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 yuf (u ) ，则复合函数 yf ( g( x) 在点 x 处也有导数，且y&

29、#39;xy'u u'x2复合函数求导的基本步骤是 ：分解求导 相乘回代学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1.函数 yx1 的导数是（）1x111B 1A 1xC1D 1x2x2x2.函数 ysin x(cos x1) 的导数是（）A cos2 xcos xB cos2 xsin xC cos2xcos xD cos2 xcos x3.ycos x 的导数是（）x理:§复合函数求导学习目标复合函数的分解，求复合函数的导数.学习过程一、课前准备（预习教材P16

30、 P17，找出疑惑之处）32复习 1：求 yx ( x4) 的导数复习 2：求函数y(2 x3)2 的导数二、新课导学 学习探究探究任务一 ：复合函数的求导法则问题： 求 (sin 2x) =?解答：由于(sin x)cos x ，故(sin 2 x)cos2x这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数yf (u) 和 ug (x) ，如果通过变量u ， y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数yf (u ) 和 ug( x) 的复合函数 ，记作： yf ( g( x)复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数 . 用公式表

31、示为：yxyu ux ，其中u 为中间变量 . 即：y 对 x 的导数等于y 对 u 的导数与 u对 x 的导数的乘积 .试试： (sin 2x) =反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。 典型例题例 1求下列函数的导数：（ 1） y(2 x3)2 ；（ 2） y e0.05x 1 ；（ 3） ysin(x) （其中， 均为常数）变式 ：求下列函数的导数：（ 1） ycos x ；（ 2） yx 13小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重 .例 2 求描述气球膨胀状态的函数r (V )3V3的导4数 .小结：求复合函数的导数，关键在于分析清

32、楚函数的复合关系，选好中间变量。 动手试试练 1. 函数 r (V )33V可以看成是哪两个函数的复4合 ?4.(log 2 ( 2 x 3) =5.(lg tan x) =练 2. 一个距地心距离为r ，质量为 m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式 FGMm给出，课后作业r 21.求下列函数的导数；其中 M 为地球队质量，G 为常量，求F 对于 r 的（ 1） y99（ 2） yx；(x 1) ；2e瞬时变化率 .（ 3） y2x sin(2 x5)三、总结提升 学习小结1. 会分解复合函数 .2. 会求复合函数的导数 . yx yu ux ；其中 u 为中间变量 .即： y 对 x

33、 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 . 知识拓展人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题 .牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法 .2. 求下列函数的导数；（ 1） y2x tan x ；（ 2） y( x2)3 (3x 1)2 ；2（ 3）y2x lnx ；（ 4）yx(2 x1)3§3.3.1 函数的单调性与导数学习评价学习目标 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 1

34、0 分） 计分 ：学习过程1.设 y sin2x ，则 y=（）一、课前准备sin 2x2sin x2sin 2 xcos2 x（预习教材 P，找出疑惑之处）A B CD89 P932.已知 f (x)ln( xx 21) ，则 f(x) 是（）复习 1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.A 奇函数B偶函数对于任意的两个数 x1，x2 I ，且当 x1x2 时，都有，那么函数 f(x)就是区间 I 上的函数 .C非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数33.若 函 数 f ( x) l oag x(a x ) a(0a,在1)区 间复习 2： C'； ( xn )'；(1 ,0) 内单调递增，则a 的取值范围是（）(sin x)'；(cos x)'