圆锥曲线解题技巧(附例题)汇编

1、圆锥曲线解题技巧及例题汇编1、定义法(1 )椭圆有两种定义。第一定义中，m+r2=2a。第二定义中，ri=edi2=ed2。(2) 双曲线有两种定义。第一定义中， 几-r2 =2a，当ri>r2时，注意 匕的最小值为c-a:第二定义中，ri =edi，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3) 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直 接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆

2、锥曲线问题的重点方法之一，尤其是 弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生 弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：X2V2XV(1) r 耳=i(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦AB中点为M(Xo,yo),则有一20k =0。aba

3、 b2 2(2) X2 一 y2 =i(a 0,b 0)与直线I相交于A、B，设弦AB中点为M(xo,yo)则有X； 一绞丘=：0 a ba b(3) y2=2px ( p>0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(X0,y。),则有 2y°k=2p,即 yok=p.【典型例题】F的距离和最小，则点Q的坐标为例1、(1)抛物线 C:y2=4x上一点 P到点 A(3,4 - 2 )与到准线的距离和最小，则点 P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点HAQP、BF分析：(1) A在抛物线外，如图，连 PF,贝y PH = PF，因而易发现

4、,当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R，则当B、Q、R三点共线时, 距离和最小。解: (1) (2, 2 )连PF,当A、P、F三点共线时， AP十PH| = AP +|PF最小，此时AF的方程为v =尔2 _0 (x_i)3 1即y=2 . 2 (x-1),代入y2=4x得P(2,2】2 ),(注：另一交点为(丄2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，2舍去)1(2)(丄,1 )4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时，BQ| BQ QR最小，此时 Q点的纵坐标为2 1 11, 代入y=4X得蔦Q(41)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点

5、线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2例2、F是椭圆- y 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。y4 3(1) PA + PF的最小值为(2) PA + 2 PF|的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考 虑问题。解：(1) 4-、. 5设另一焦点为F ，则F (-1,0)连A F ,P F当P是F 'A的延长线与椭圆的交点时，PA +|PF取得最小值为4-J5。(2) 31作出右准线 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3 , c2=1, a=2, c=1, e=,21PF =1|PH ,即2 P

6、F =|PH PA +2PF =|PA + PH2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为xa=4-1=3c例3、动圆M与圆C1：(x+1)2+y2=36内切，与圆C2：(x-1) 2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点 共线(如图中的 A、M、C共线，B、D、M共线)。列式的主要途径是动 圆的“半径等于半径”(如图中的 MC =|MD )。解：如图，MC| = MD , AC MA| =|MB - DB 即6 MA| =|MB -2 MA + MB =8(*)2 2点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1 , b2=15轨

7、迹方程为 =11615点评：得到方程(* )后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 (x 1)2y . (x -1)2y2=4,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例 4、 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C-s in B=si nA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R ( R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。3 3解：si nC-s inB= si nA2Rsi nC-2Rsi nB= 2Rs inA5-AC= |BC即AB AC =6(*)点 A的轨迹为双曲

8、线的右支(去掉顶点)/ 2a=6, 2c=10-a=3,c=5,b=4所求轨迹方程为2 2x y d1(x>3)916点评:要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。2 2(1 )可直接利用抛物线设点，如设分析:A(X1,X1), B(X2, X2 ),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y。关于X。的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 A(X1, X12), B

9、(X2, X22), AB 中点 M(xo, yo)(X1 -X2)2 - (X12 -xf)2 =9 则 x1 x2 2x0X12 xf =2y°由得(X1-X2)21+(X1+X2)2=9即(X1+X2) -4X1X2 1+(X1+X2) =9由、得 2x 1 X2=(2x o)2-2yo =4x o2-2y o代入得 (2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 4y° _4x；91 4xo2,'9 -1=5,5y°42当4xo+仁3 即x0乎时，(yo)min24此时mT)法二：如图，2MM=AA2 卡 BB2 = AF +|BF|K

10、AB| =3MM i K 5 ,当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为54IyMBAA10MrBTAB2点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi, X2,从而形成yo关于xo的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点 M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验 证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。2 2例6、已知椭圆 D 1(2乞m乞5)过其

11、左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次m m -1变于 A、B、C、D、设 f(m)= | AB CD| ,( 1)求 f(m),( 2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于“不同系统” ，A在准线上，B 在椭圆上，同样 C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：(1)椭圆 1 中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点 F1(-1,0)m m T则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+

12、1) 2-m2+m=022 (2m-1)x +2mx+2m-m =0设 B(Xi,yi),C(X2,y2),则X1 +X2=-2m2m -1(2) f (m)22m" 12m -1当 m=5 时,f(m)min =10、. 2当m=2时,f ( m) max4 .2点评：此题因最终需求xB Xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(xo,yo),通过将 B、C坐标代入作差，得一0y°k = 0，将y°=xo+1， k=1代入得一00 = 0 ，m m 1m m 1mxo八齐，可见xB xC2m2m -1当然，解本题的关键在于对f (m) AB -

13、 CD|的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f (m) = xB +xC是解此题的要点。【同步练习】2 21、 已知：F1, f2是双曲线x_ _ - = 1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B ,若AB = m，a2b2 ABF 2的周长为()A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是( )2 2 2 2A、y =-16x B、y =-32xC、y =16xD、y =32x3、 已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且AB > AC，点B、C的坐标分别为(-1 , 0

14、), (1 , 0)，则顶点A的轨迹方程是()2 2 2 2A、丄=1B、乞 L=1(x0)4 3432 2 2 2C、x y 1(x : 0)D、- y 1(x0且y = 0)43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1, 0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是1 229A、r y 71 229B、(X 2) y Vx j)C、x2(W )D、X2 (W)5、已知双曲线2 2x_丄“上一点916M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 27、 已知抛物线y=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方

15、程是&过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=2 210、设点P是椭圆X - y1上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求 sin / F1PF2的最大值。25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2, 1), AB =4、. 3，求直线l的方程和椭 圆方程。2 212、 已知直线l和双曲线 爲-厶=1(a 0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。a b求证：AB=CD【参考

16、答案】1、CAF2 - AF=2a, BF2 - BF=2a ,二 AF2| + BF2 - AB| =4a, AF2| + BF2 + AB = 4a + 2m,选 C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选C3、D AB 十 AC =2汇2，且 AB >|AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰0，故选D。4、A设中心为(x, y),则另一焦点为(2x-1 , 2y),则原点到两焦点距离和为4得1 . (21)2 (2y)2二4 ,(X-)2y2又 c<a,. . (x -1)2 y2 : 2

17、2 2 (X-1) +y <4 ，由，得XM -1,选 A2929T99295 29左准线为x=-_, M到左准线距离为 d =4 -()= 则M到左焦点的距离为 ed二一 一5 553 5116、x (y 二)22ryrrr设弦为 AB , A(x i, yi), B(X2, Y2)AB 中点为(x, y)，则 yi=2xi , y2=2x2 , Yi-y2=2(xi -X2 )yi _ y212(%x2) 2=2 2x , X = 捲 - x221111将x 代入y=2x2得y，轨迹方程是x (y> )222 227、y =x+2(x>2)设 A(X1, y) B(X2,

18、 y2)，AB 中点 M(x，y)，则kAB = kMPy -0x 2匕 2“2，即 y2=x+2又弦中点在已知抛物线内P,即 y2<2x，即 x+2<2x , x>28、4a2 = b2 = 4, c2 = 8, c = 2 2，令 *=2 2 代入方程得 8-y2=42 y =4, y= ± 2,弦长为 49、一 -、2或-1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=022- (1-k )x -2kx-2=0L21 k 0 得 4k2+8(1-k2)=0, k=二, 2 = 0 1-k2=0 得 k= ± 110、解：a2=25, b2=9, c2=16设F2 为左、右焦点，贝U Fj(-4 , 0)F2(4, 0)设 PFr1,|PFr2F1ffit2 =日口十2 =2日J2 +22 -2iV2COS日=(2c)22 2-得 2nr2(1+cos 0 )=4bypF1F2X4b2 2b2- 1+cos 0 =2r1r2r1r2 n+r2-2 . r2 ,-12 的最大值为a22 b2 1+cos 0的最小值为a18，即 1+COS 0257cos B -257兀0：v：二-arccos则当'时，sinB取值得最大值1,252即sin / Fi PF2的最大值为1。11