高考数学考前必看之一基本知识篇

1、学习必备欢迎下载高考数学考前必看系列材料之一基本知识篇一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：x | ylg x 与 y | ylg x 及 (x, y) | ylg x2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断

2、时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（ 1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若AB ，则 A 是 B 的充分条件或B 是 A 的必要条件；若A=B ，则 A 是 B 的充要条件；（ 3）等价法：即利用等价关系" A B B A"判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（ 1）含 n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n 1；（2）ABABAA B B; （3）CI(A B) CI A CIB,CI(A B) CIA CIB;二、函数1.复合函数的有关问题若已知 f ( x) 的定义域为

3、 a，b,其复合函数 fg(x) 的定义域由不等式 a g(x)（ 1）复合函数定义域求法： b 解出即可； 若已知 fg(x) 的定义域为 a,b, 求 f(x) 的定义域， 相当于 x a,b 时，求 g(x) 的值域（即f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。（ 2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（ 1）若 f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f( x)= f ( x ) ;（ 2）若 f(x) 是奇函数， 0 在其定义域内，则f (0) 0 （可用于求参数） ；（ 3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) ± f(-x)=0

4、或 f ( x)（f(x) 0） ;1f (x)(4) 若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（ 5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1) 证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（ 2）证明图像C1 与 C2 的对称性，即证明C1 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2 上，反之亦然；（ 3）曲线 C1： f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=-x+a) 的对称曲线C2 的方程为f(y a,x+a)=0( 或 f( y+a, x+a)=0)

5、;（ 4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（ a,b）的对称曲线 C2 方程为： f(2a x,2b y)=0;（ 5）若函数 y=f(x) 对 x R 时， f(a+x)=f(a x) 恒成立，则 y=f(x) 图像关于直线 x=a 对称；（ 6）函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x= a b 对称；24.函数的周期性(1)y=f(x) 对 xR 时， f(x +a)=f(x a) 或 f(x 2a )=f(x) (a>0) 恒成立 ,则 y=f(x) 是周期为2a 的周期函数；（ 2）若 y=f(x) 是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x) 是

6、周期为 2 a的周期函数；（ 3）若 y=f(x) 奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x) 是周期为 4 a的周期函数；（ 4）若 y=f(x) 关于点 (a,0),(b,0) 对称，则f(x) 是周期为 2 ab 的周期函数；（ 5） y=f(x) 的图象关于直线x=a,x=b(a b)对称，则函数y=f(x) 是周期为2 ab 的周期函数；（ 6） y=f(x) 对 x R 时， f(x+a)= f(x)( 或 f(x+a)=5.方程 k=f(x) 有解k D(D 为 f(x) 的值域 )；6.a f(x)恒成立a f(x) max, ;a f(x) 恒成立1 ，则 y=f(x

7、) 是周期为 2 a 的周期函数；f (x)a f(x) min;7.（ 1） log ab log an b n (a>0,a 1,b>0,n R+ ); (2) l og a N= log b N ( a>0,a 1,b>0,b 1);logb a学习必备欢迎下载(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N = N ( a>0,a 1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（ 1） A 中元素必须都有象且唯一； （2） B 中元素不一定都有原

8、象，并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（ 1）定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数的反函数也是奇函数；（ 3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（ 4）周期函数不存在反函数； （ 5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x) 与 y=f -1(x)互为反函数，设 f(x) 的定义域为 A ，值域为 B，则有ff - 1(x)=x(x B),f - 1f(x)=x(x A).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；1

9、2.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法； （2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组 )求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：f (u)g( x)uh(x)0 ( 或0)(au b)f (a)0f (a)0f (b)（或0）；0f (b)14.掌握函数 y ax babac(bac0);yxa(a0)的图象和性质；x cxcx函数yaxbabac (b ac 0)yxa (a0 ）xcxcx定义域(,c)(c,)(,0)(0,)值域(, a)(a,)(, 2 a 2 a,)奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当 b-ac>0 时 :分别在 (,

10、c), (c,) 上单调递减；在 (,a, a,) 上单调递增；当 b-ac<0 时 :分别在 (,c), (c,) 上单调递增；在 a, 0), (0,a 上单调递减；y=ayy图象x= coxox15实系数一元二次方程f ( x)ax 2bxc0(a0) 的两根 x1 , x2 的分布问题：根的情况x1x2kmx1x2nx1kx2等价命题在 (k ,) 上有两根在 (m, n) 上有两根在 (k ,) 和 (, k ) 上各有一根00f (m)0充要条件f (k )0f (n)0f (k)0bkmbn2a2a注意：若在闭区间 m, n 讨论方程 f ( x)0 有实数解的情况，可先利

11、用在开区间(m, n) 上实根分布的情况，得出结果，在令xn 和 x m 检查端点的情况。三、数列，S1 ( n1)注意验证 a1 是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。1.由 Sn 求 an an=SnSn 1( n 2, n N* )一般已知条件中含an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑用上述公式；学习必备欢迎下载2.等差数列 anan 1an d (d为常数 ）2anan 1an 1 (n2)a nanbsnAn2Bn ；3.等比数列 anan 1q(q为常数 ） an2an 1an 1 (n2)ana1q n 1 ；an4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n

12、项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式an0an0解决；或an 100an15.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；6.在等差数列中，anam ( n m)d ， danam ；在等比数列中，anam qn m , qn m an ;nmam7.当 mnp q 时，对等差数列有 amana paq ；对等比数列有amana paq ；8.若 a n 、b n 是等差数列， 则ka n+pbn(k 、p 是非零常数 )是等差数列； 若 a n 、b n 是等比数列， 则 kan、a nbn 等也是等比数列；9. 若数列 an 为等

13、差（比）数列，则Sn , S2 n Sn , S3nS2n , 也是等差（比）数列；10. 在等差数列 an 中，当项数为偶数2n 时， S偶 S奇nd ；项数为奇数 2n 1时， S奇S偶a中 （即an ）；11.若一阶线性递归数列an =kan1+b（ k0,k 1） ,则总可以将其改写变形成如下形式 : a nbk (an 1b ) (n 2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；k1k1四、三角函数1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4

14、.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正 (余 )弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点； 正 (余 )切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x 轴的交点，但没有对称轴。6.（ 1）正弦平方差公式：sin2A sin2B=sin(A+B)sin(A B); （ 2）三角形的内切圆半径r=2S ABC；（ 3）abc ;abc三角形的外接圆直径2R=sinA sinBsinC五、平面向量1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x 1,y1),b=(x

15、2,y2), 为实数。（ 1）向量式： a b(b0)a=b;（ 2）坐标式： a b( b 0)x1y2 x2y1=0;2.两个向量垂直的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x 2 ,y2 ), （1）向量式： a b(b0)ab=0; （ 2）坐标式： a b x1x2+y1 y2 =0;3.设 a=(x 1,y1),b=(x 2,y2),则 ab= a b cos=x 1x2+y 1y2;其几何意义是ab 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积；）、 B(x2,y2)，则AOB 1；4.设 A （x1,x2S2x1 y2x2 y15.平面向量数量积的坐标表示：（ 1）若

16、 a=(x 1,y1 ),b=(x 2,y2),则 ab=x 1x2+y 1y2;AB(x1 x2 )2( y1y2 )2 ;（ 2）若 a=(x,y), 则 a2=a a=x 2+y 2, ax2y2;六、不等式1.掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分学习必备欢迎下载类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法；3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b2ab (a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如a 2b2( ab )2 ; ab(a b

17、 ) 2 ；222七、直线和圆的方程1.设三角形的三顶点是A （ x1,y1）、B(x 2,y2)、 C（ x3,y3）,则 ABC 的重心 G 为（ x1 x2x3 , y1y2y3 ）；332.直线 l1 :A 1x+B 1y+C 1=0 与 l2: A 2x+B 2y+C 2=0 垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0；3.两条平行线Ax+By+C 1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 dC1C 2；A 2B 24.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件： A=C 0 且 B=0 且 D2+E2 4AF>0 ；5.过圆 x2+y 2=r2 上的

18、点 M(x 0,y0)的切线方程为： x0x+y 0y=r 2;6.以 A(x 1， y2) 、 B(x2 ,y2)为直径的圆的方程是(x x1 )(x x2)+(y y1)(y y2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是：（ 1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（ 3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设P（x0 ,y0）为椭圆 x 2y 21（ a>b>0）上任一点，焦点为 F1(-c,0),F 2(c,0),则a 2b 2PF1aex0 , PF2aex0 （ e 为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设）

19、为双曲线 x2y21（ a>0,b>0）上任一点，焦点为FP（ x0,y0a 2b 21(-c,0),F 2(c,0), 则 :（ 1）当 P 点在右支上时，PF1aex0 , PF2aex0 ；（ 2）当 P 点在左支上时，PF1aex0 , PF2aex0 ；（ e 为离心率）；另：双曲线 x2y 21 （ a>0,b>0）的渐近线方程为x2y 20 ；b 2b 2a 2a2p ；y2=2px(p3.抛物线焦半径公式： 设 P（ x0,y0）为抛物线 y2=2px(p>0) 上任意一点， F 为焦点，则 PFx0p2 0)上任意一点， F 为焦点，则PFx0；

20、24.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线 yb的双曲线标准方程为x2y 2(为参数， 0）；xa 2b 2a6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为 A(x 1，y1 )、B(x 2,y2) ，则弦长AB1k 2x2x1(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 11y2y1(1124 y1 y2 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；k2k2 ) ( y1y2 )7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 2b2，焦准距为 p= b22p，焦准距为 p;双曲线 x2y2，抛物线的通径为1b 2aca 2

21、（ a>0， b>0）的焦点到渐进线的距离为b;228.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为 1；Ax+Bx9.抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点弦（过焦点的弦） 为 AB ，A（ x1,y1 ）、B(x 2,y2),则有如下结论：（ 1） AB x1+x 2+p;2（ 2） y1y2= p2， x1x2= p ; 410.过椭圆x2y 21（ a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则ABae x1x 2) ，过右焦点的弦a2b 22(AB 2ae( x1 x 2 ) ；学习必备欢迎下载11.对于 y2=2px(p 0)抛物线上的点的坐标可设为（y

22、02， y0） ,以简化计算 ;2 p12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设 A(x 1，y1)、B(x 2,y2)为椭圆x2y 2（a>b>0）a 2b 212上不同的两点， M(x 0,y0)是 AB 的中点，则 K AB KOM =b；对于双曲线 x 2y21（ a>0，b>0 ），类似可2b 2aa 2b 2得： KAB .KOM=2=2px(p 0)抛物线有 K AB2 p2；对于 yy1y2a13.求轨迹的常用方法：（ 1）直接法：直接通过建立x、 y 之间的关系，构成F(x,y) 0，是求轨迹的最基本的方法；（ 2）待定系数法：所求曲

23、线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（ 3）代入法（相关点法或转移法） ：若动点 P(x,y) 依赖于另一动点 Q(x 1,y1) 的变化而变化，并且 Q(x 1,y1)又在某已知曲线上，则可先用 x、 y 的代数式表示 x1、y1，再将 x1、 y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程；（ 4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（ 5）参数法：当动点P（ x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去

24、参数得普通方程。九、直线、平面、简单几何体1.从一点 O 出发的三条射线OA 、OB 、 OC，若 AOB= AOC ，则点 A 在平面 BOC 上的射影在 BOC的平分线上；2. 已知 :直二面角MAB N中， AEM，BFN, EAB=1 , ABF=2 ，异面直线AE与BF所成的角为，则coscos1 cos2;3.立平斜公式： 如图， AB和平面所成的角是1 ，AC在平面内，AC和AB的射影AB成2 ，设 BAC=3 ,则 cos 1 cos 2 =cos 3 ；4.异面直线所成角的求法：（ 1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（ 2）补形法：把空间图形

25、补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（ 1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（ 2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（ 3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两

26、垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（ 4）射影法： 利用面积射影公式 S 射 S 原 cos ,其中 为平面角的大小， 此方法不必在图形中画出平面角；特别 :对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。7.空间距离的求法（ 1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（ 2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（ 3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公

27、垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则 S 侧 cos=S 底；2229.已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, , 因此有 cos+cos+cos =1;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为, , 则有 cos2+cos2+cos2=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；学习必备欢迎下载11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2 ；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12.球的体积公式V= 4R3 ，表面积公式S4 R

28、 2 ；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法： （1）计算线段3AB 的长，（2）计算球心角AOB 的弧度数； (3) 用弧长公式计算劣弧AB 的长；十、排列组合二项式定理和概率1.排列数公式 : Anmn!=n(n-1)(n-2) (n-m 1)= ( n m)!(m n,m、 n N*), 当 m=n 时为全排列Ann =n(n-1) 2 1;m2.组合数公式： CnmAnn ( n1)(nm1)（ m n） , C n0C nn1 ；m!m (m1) (m2)3 2 13.组合数性质： CnmCnnm; CnrCnr 1Cnr1 ；4.常用性质： n.n!=(n+1)!-n!;即 nAn

29、nAnn11Ann ; C rrCrr1CnrCrr11 ; （ 1r n） ;5.二项式定理： （ 1）掌握二项展开式的通项：Tr 1C nr a n r b r (r0,1,2,., n);（ 2）注意第 r 1 项二项式系数与第 r 1系数的区别；6.二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；(2) 若 n 为偶数，中间一项（第n 1 项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第n1 和 n1 1 项）的二项式系数最大；222（ 3） C n0Cn1C n2Cnn2n ;C n0C n2C n1C n32n 1 ;7.F(x)=(ax+b) n 展开式的各项系

30、数和为f(1); 奇数项系数和为1 f (1)f (1) ；偶数项的系数和为12f (1) ； f (1)28.等可能事件的概率公式： （ 1）P（A ） n ；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；m（ 3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB) P(A)P(B) ；（ 4）独立重复试验概率公式Pn(k)= Cnkp k (1 p)nk ; (5) 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件；（ 6）如果事件 A 、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是1 P（AB ） 1 P(A)P(B) ；（ 7）如果事件 A 、B 相互独立，那么事件 A 、B