高考一轮复习直线圆与方程

1、优秀学习资料欢迎下载年级高三学科数学内容标题直线、圆与方程编稿老师胡居化一、学习目标：1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，根据直线的方程判断两条直线的位置关系，掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.3. 掌握圆的标准方程与一般方程形式；并能根据已知条件确定圆的方程，掌握判断点与圆、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的方法.4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.二、重点、难点：重点： 1.直线的倾斜角、斜率，求直

2、线方程.2. 求圆的方程 . 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断及应用.难点：直线和圆的方程的综合应用及利用直线与圆的知识解决一些简单的问题；三、考点分析：新课标高考对直线方程与圆的方程知识的考查以基础知识为主，从近几年的新课标高考命题来看，考查知识点主要是直线的倾斜角、斜率、直线方程的五种形式、求圆的方程、直线与圆、 圆与圆， 点与圆位置关系的判断及应用，考查的题型大多是客观试题，题目难度在中等以下，但考查的知识点相对灵活.一、直线的倾斜角、斜率、直线方程的形式1. 直线的倾斜角与斜率：（ 1）直线的倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，倾斜角的范围

3、是.（ 2）直线的斜率：设直线的倾斜角为，则 ktany2y1 , ()x2x12（ 3）倾斜角与斜率的关系：倾斜角存在，斜率未必存在，斜率存在，倾斜角一定存在.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜截式、一般式.（ 1）点斜式： y y0 =k（ x x0） .（ 2）斜截式： y=kx+b.优秀学习资料欢迎下载（ 3）两点式：yy1=xx1 .y 2y1x2x1（ 4）截距式： x + y =1 . a b（ 5）一般式： Ax+By+C=0.二、两条直线的位置关系的判断.1.设直线 l1 : yk1 xb1 ,l 2 : yk2 xb2（ 1） l1 / l2k1k2且 b

4、1b2（ 2） l1l 2k1k 212.设直线 l1 : A1 xB1 yC10 l 2: A2 xB2 y C 20（ 1） l1 / l2A1 B2A2 B1且B1 C2B2 C1 ，（ 2） l1l 2A1 A2 B1B20三、点到直线距离及两平行直线的距离的公式1.点到直线的距离公式：设点P( x0 ,y 0 ) ，直线 l : AxBy C0, P 到 l 的距离为 d ，则有 dAx 0 By 0 C.A2B 22.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l 1: AxByC10,l 2 : Ax By C 2 0( C1C 2 )， 它 们 之 间 的 距 离 为 d， 则 有C

5、 1C 2dA2.B 2注 1：直线系方程：（ 1）与直线： A x+B y+C= 0 平行的直线系方程是：A x+B y+m=0. （ m?R, C m） .（ 2）与直线： A x+B y+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx A y+m=0. （ m?R）（ 3）过定点（ x1,y1）的直线系方程是：A（ x x1）+B（ y y1）=0（ A,B 不全为 0）（ 4）过直线 l 1、 l2 交点的直线系方程： （ A 1x+B1y+C1） +（ A 2x+B 2y+C2） =0 （ ?R）注：该直线系不含 l 2.注 2：关于点对称和关于某直线对称 ：（ 1）点关于直线对称：优秀学习资料

6、欢迎下载设直线 l : AxByC 0(B0.), P( x0 , y0 )关于直线 l 的对称点 P' ( x1 , y1 )Ay0y11Bx0x1则有：求出 x1 , y1A x0x1B y0y1C 022（ 2）直线关于直线对称：设 l1 : ax byc0, l : AxByC 0( B 0) ，求 l1 关于 l 对称的直线 l0（ i） l1与 l的交点 P在直线 l 0 上。（ ii ） l1 上任意一点 Q (x0 , y0 ) 关于 l 的对称点在 l0 上 . 注：曲线、直线关于一直线对称的解法：y 换 x， x 换 y.例：曲线f（ x ,y）=0 关于直线y=x

7、2 对称的曲线方程是f（ y+2 ,x 2） =0.曲线 C: f（ x ,y）=0 关于点（ a ,b）对称的曲线方程是f（ 2a x, 2b y） =0.四、圆的方程1. 圆的标准方程：圆的标准方程是(xa)2 (yb) 2r 2 .注：特殊圆的方程：与 x 轴相切的圆的方程( x a)2( yb) 2b2rb ,圆心 (a,b)或 (a, b)与 y 轴相切的圆的方程( x a)2(yb) 2a 2 ra ,圆心 (a, b)或 ( a, b)与 x 轴、 y 轴都相切的圆方程(xa) 2( ya) 2a 2ra ,圆心 (a, a)2. 圆的一般方程：x2y 2 DxEyF0当 D 2

8、E 24F0时，方程表示一个圆，其中圆心CD , E， 半 径22D2 E24 F.r2优秀学习资料欢迎下载当 D 2E2 4F0时，方程表示一个点D ,E .22当 D 2E 24F0 时，方程无图形（称虚圆） .xar cos为参数） .注：圆的参数方程：ybr sin（方 程 Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表示圆 的充要条件是：B 0且A C0 且D 2E 24AF0 .圆的直径方程：已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则以 AB 为直径的圆的方程是：(x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 03. 点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的

9、判断（ 1）点与圆的位置关系：给定点M (x0 , y0 ) 及圆 C : ( xa)2( y b)2r 2 .M 在圆C内(x 0 a) 2 ( y 0 b)2r 2 M 在圆 C 上 （ x 0 a)2 ( y 0 b) 2 r 2M 在圆C外(x 0 a) 2 ( y 0 b)2r 2（ 2）直线与圆的位置关系的判断：几何法：设圆 C ： ( xa)2( y b) 2r 2 (r0) ；直线 l ： Ax By C0(A2 B20) ；圆心 C(a, b) 到直线 l 的距离 dAaBbC.A2 B2 dr 时， l 与 C 相切； dr 时， l 与 C 相交； dr 时， l 与 C

10、 相离 .附：（ i ）若两圆相切，则x2 y 2 D 1x E1y F 1 0两式相减所得为公切线方程 .x2 y 2 D 2 x E 2y F 2 0（ ii ）公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为(D 1 D 2 ) x(E1 E2 ) y(F 1F2) 0.（ iii ）若两圆相离，则x2 y2 D 1x E1y F 1 0两式相减所得为圆心 O1 O 2 的连x2 y2D 2 x E 2 y F 2 0线的中垂线方程 .( xa) 2( yb) 2r 2代数法：方程组BxC0用代入法，得关于 x （或 y ）的一元二次方程，Ax其判别式为，则：0l 与 C 相切；0l 与 C

11、相交；0 l 与 C 相离 .4. 圆与圆的位置关系的判断（两圆的半径分别为r1、 r2，圆心距为d）优秀学习资料欢迎下载（ a）外离d>r1+r2（ b）外切d=r1+r2,（ c）相交r1 r2 <d<r1+r 2（ d）内切d=r r21（ e）内含0d<r r2（其中 d=0，两圆同心）15. 圆的切线方程：（ 1）过圆上一点的切线方程（只有一条）（ i ）过圆的一般方程：x 2 y2 Dx EyF 0 上一点 P(x 0 ,y 0 ) 的切线方程为：x x0yy0F 0 .x0 x y0 y DE22（ ii ）圆的标准方程：若点（x0 ,y0）在圆上，则过此

12、点的切线方程为：（ x a）（ x0 a）+（y b）（ y0 b） =r2特别地，过圆 x2y 2r 2 上一点 P(x0 ,y0 ) 的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2.（ 2）过圆外一点的圆的切线方程（有两条）：y1y0k( x1x 0 )若点 A （x00 ）在圆外，圆心为（a,b），则by1 k( a x1) ，联立求出 k切线方,yRR21程.注：若通过上述方法求出的只有k 的值，则另一条切线的斜率不存在，其切线方程是xx0 .知识点一：直线的倾斜角、斜率、直线方程例 1. 下列命题中是真命题的为 _.1. 经过定点 P0（x0，y0）的直线都可以用方程 y y0=k（

13、x x0）表示；2. 经过任意两个不同的点 P1（ x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2 x1）（xx1） =（ y2 y1）（ y y1）表示；优秀学习资料欢迎下载3.xy=1 表示；不经过原点的直线都可以用方程+ab4.经过定点 A（ 0， b）的直线都可以用方程y=kx+b 表示；5.经过点 A （ 1， 2）且在两轴上截距相等的直线方程只有x y 3【思路分析】根据点斜式、两点式、截距式、斜截式等直线方程的特点进行判断.【解题过程】对命题 1,命题 4，其方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题3，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上的截距不存在，

14、故不能用截距式方程表示直线；对命题 5，经过点 A 和原点的直线在两轴上的截距都是0，也满足条件，故命题5 错 . 只有命题2是正确的 .【解题后的思考】要清楚：点斜式、斜截式直线方程不能表示斜率不存在的直线，即垂直于x 轴的直线；两点式、截距式直线方程不能表示垂直于坐标轴的直线.例 2.根据下列条件求直线方程（ 1）两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P（ 2， 3），且过两点 Q1（a1， b1）、Q2（ a2， b2）（ a1a2） .（ 2）直线过 P（ 3,2）且与 x、 y 轴的正半轴交于 A、 B 两点，且 AOB 的面积最小（ O为坐标原点【思

15、路分析】（ 1）由点 P（2， 3）在已知两直线的交点上，观察直线方程求解.（ 2）设直线方程为x y 1，用 a,b 表示 AOB 的面积 S ，利用基本不等式求解 . 或ab设直线为： y 2k( x3), (k 0) ，求 Sf (k) ，求函数取得最小值时k 的值 .【解题过程】2a13b110（ 1）点 P（ 2，3）在已知两直线的交点上， 则3b21，显然 Q1（ a1 ，b1）、2a20Q2（ a2， b2）（ a1a2）在直线 2 x 3y10 上，即所求的直线为2x3 y1 0（ 2）设直线方程为x y 1，a 0， b 0，代入P（ 3，2）得 3 2 12 6 ，abab

16、ab解得 ab24，S AOB13b1， kb22x+3yab 12，此时. 所求直线方程为2a22a312=0 .【解题后的思考】 求直线方程时，要针对已知条件选取恰当的直线方程的形式求解. 这五种形式的直线方程所表示的直线各有其适用范围，解题时应注意不要丢解.例 3.1.已知直线 l1 : x y sin1 0,l 2 : 2x siny1 0 ， 取何值时？（ 1） l1 / l2( 2) l 1l22.光线从点 A(2, 4) 射出，经直线l ： 2x y70 反射，反射光线过点 B(5,8) （ 1）求入射光线所在的直线方程；（ 2）求光线从 A 到 B 经过的路程 S .优秀学习资

17、料欢迎下载【思路分析】1.由 l1 / l 2A1 B2A2B1且 B1C2B2 C1 ， l1 l2A1 A2B1B2 0 建立关于的等式 .2.先求 B 点关于直线 l 对称的点 B ' ，由入射光线的反向延长线过点B ' ，可求入射光线所在的直线方程 .【解题过程】1.由 l 1 : x y sin1 0,l 2 : 2x siny10 得：A11, A22sin, B1sin, B21，C11,C21，l1 / l 2A 1B2A2 B10且 B1C2B2C12sin 21且 sin1，sin2k(kz) ，24l1l2A1A2B1B2 0sin0k( kz) ，2.设

18、点B 关于直线 2xy7 0 的对称点是 B' ( x0 , y0 )5x08 y070222，解之得 x0 9, y0 6 ， B' (9,6) y081x052（1）放入射光线所在的直线方程即AB' 的直线方程为： 2x11y 48 0 （2）设入射光线与直线l 交于点 N ，则 A, N , B' 共线S |AN| |BN| |AN| |B'N| |AB'| 5 5【解题后的思考】 应用两直线的位置关系求参数的值的问题是常见的题型，要注意使用条件判断 . 即利用：设直线 l 1 : A1 x B1 yC10 l 2 : A2 x B2 y

19、C20，l1 l 2A1 A2B1 B20 ， l1 / l 2A1B2 A2 B1且 B1C2B2C1 这一条件判断较好，可避免讨论 .优秀学习资料欢迎下载例 4.已 知 三 条 直 线 l1 ： mx y m0 ， l 2 ： x my m(m 1) 0， l 3 ：(m 1)xy (m 1) 0，当 mR 时它们围成ABC .1ABC中总有一个顶点为定点；（ ）求证：不论 m 取何值时，（ 2）当 m 取何值时，ABC 的面积取得最大值、最小值？并求出最大值、最小值.【思路分析】 （1）由题给直线证明有两条直线都过同一定点.（ 2）把ABC 的面积 S 表示为 m 的函数，利用函数求最值

20、.【解题过程】 （1）证明：将直线 l1 ： mx y+m=0化为 m（ x+1） y=0，则直线 l1 经过定点（ 1，0），将直线 l 3 ：（ m+1）x y+（ m+1）=0化为 m（x+1 ）+（x y+1 ）=0，则直线 l3经过定点（ 1，0）. 则直线 l1 、l3 都过同一个定点 （ 1，0），由于直线 l1 、l3 的交点是 ABC 的一个顶点，故 ABC 中总有一个顶点为定点 .（ 2）设 l1 、 l3 的交点为 A （ 1， 0），直线 l1 、 l 2 的交点为 B ，直线 l 2 、 l3 的交点为 C （如图），则点 A 到直线 l2 的距离为1 m 0 m(

21、m 1)m2m 1m2m 1h1m2=m 2=.11m2mmx ym0x1由解得m2xmym(m1) 0m2ymm21即 B（m，1+m+1 ） .m21m21xmym(m1)0x0即 C（ 0， m+1） .由1)xy (m1)解得m 1(m0y优秀学习资料欢迎下载所以，BC(m)2(1)21.m2m2m2111于是， ABC 的面积 S=1 BCh =1m2m1=1(1m)22m 212m21 m21 2|m|，m1，m212m1,1，从而S1， 3.m212244令 S= 1 ，则 m= 1；令 S= 3 ，则 m=1.44所以，当m=1 时， ABC 有最大面积3 ；当 m= 1 时，

22、 ABC4有最小面积1 .4【解题后的思考】解含有参数的直线通过的定点的问题，常把直线方程化为：参数f (x, y)0f ( x, y) g( x, y) 0 的形式，再利用求出定点坐标 .g( x, y)0知识点二：圆的方程；直线、圆与圆的位置关系.例 5.根据下列条件求圆的方程已知圆 C 与圆 x 2y22x0 相外切，并且与直线x3y0 相切于点 Q(3,3) .【思路分析】 设圆的方程为 ( xa) 2( yb)2r 2. 根据已知的三个条件建立关于a,b,r 的方程组，从而求a,b,r 的值 .【解题过程】设圆 C 的方程为 ( xa) 2( yb)2r 2 ，圆心为(a,b) ，半

23、径是r，圆x2y 22x0 的圆心坐标是A（ 1,0），半径是1，直线 x3 y0的斜率是3，3优秀学习资料欢迎下载b33a 3a4a0则(a 1) 2b21 rb0或 b4 3 ，ra3br2r62所以圆 C 的方程为 (x4) 2y242(y4 3)236.或 x【解题后的思考】 确定圆的方程的关键是确定圆心（a,b）及半径 r、或确定 D,E,F . 要根据已知条件确定是选择圆的方程的一般式或标准式. 通法是：对已知中圆过不在一条直线上三个点求圆的方程都采用一般式，利用待定系数法确定D 、 E、F. 对于其他条件都采用标准式 .同时，要注意平面几何中圆的性质的应用. 简化运算 .例 6.

24、已知 mR, 直线 l : mx (m 21) y4m 和圆 C : x2y 28x 4 y 16 0 .（）求直线 l 斜率 k 的取值范围；（）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为1 的两段圆弧？为什么？2【思路分析】（ 1）由直线 l : mx (m2 1) y 4m 得出斜率 k f (m) ,利用判别式或基本不等式求 k 的范围 .（ 2）假设直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为1 的两段圆弧， 由此探求 m 值是否存在，2若存在，结论成立，若不存在，结论不成立.【解题过程】（）方法一：km,km2mk0( ) ，mR , 当 k0时 0 ，解得m211 k 1 且 k0，

25、又当 k 0 时，m 0，方程 ( ) 有解，所以，综上所述得k 的取值范围：2 21 k 1 .22优秀学习资料欢迎下载方法二：(i ) 当 m=0 时， k=0(ii)当 m0| m |111k1时， | k |11220或 0 k| m |2| m |2| m |综合（ i）（ii ）知 k 的取值范围是 1,122（）假设直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为1 的两段圆弧2则直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点 ACB 120°圆 C : (x 4)2( y2)24 ，圆心 C（ 4， 2）到直线 l 的距离为 14m 2( m2 1) 4m5m230 故有m2(m2

26、1 ，整理得 3m41)25243 30 ， 3m45m230 无实数解即m 的值不存在 .因此直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为1 的两段圆弧2【解题后的思考】 解分式函数的值域问题可采用基本不等式法或判别式法，利用判别式法求解时应注意参数在二次项系数中的位置，要讨论参数是否为零，不可漏解. 利用基本不等式法求解时应注意基本不等式使用的条件.例 7. 已知圆 C: (x4)2y 24 ，圆 D 的圆心 D 在 y 轴上，与圆 C 外切，圆 D 与 y轴交于 A,B 两点，定点P 的坐标是 P（ 3,0）1.若 D（0,3）,求APB 的正切值 .2.当点 D 在 y 轴上运动时，求t

27、an APB 的最大值 .优秀学习资料欢迎下载【思路分析】（ 1）APB 的正切值是直线PB 的斜率，根据两圆的位置关系求出圆D 的半径，从而确定 A,B 两点的坐标 .（ 2）利用 tanAPBtan(OPBOPA ) 表示 tanAPB .【解题过程】（ 1）圆 C: (x4)2y 24 的圆心 C（ 4,0），半径 r=2 ，圆 D 的圆心 D（0,3），故 |CD|=5.圆 D 的半径 r3，此时A( 0,0), B(0,6) ，tanAPBkBP2（ 2）设 D （0,a），圆 D 的半径是 r,由圆 C 与圆 D 相外切得：16a2(r2) 2此时 A(0, ar ) , B(0,

28、a r ) ,故 tanOPAkPAarOPB kPBar3, tan3arar6rtanAPBtan( OPBOPA)33(*)arara 2r 29133把 a2(r2)216代入（ * ）得：tanAPB(r6rr 296r2)2164r 339,( r2) 216 a216r28r6103tanAPB1228r625故 tanAPB 的最大值是 12 .5【解题后的思考】 有关圆与圆的位置关系的问题，掌握其位置关系的判断方法是解题的关键，即相离d>r1+r2外切d=r 1+r2，相交r r2 <d<r1+r2，内切d=r r2，内含11 r2（其中 d=0，两圆同心

29、. ）对于求简单的分式函数的最值的问题，应首先考0 d<r1虑用基本不等式法、分离常数法等数学思想方法去解决.直线与圆的方程在新课标高考中以考查基础知识为主，从近几年新课标高考的试题来看，对直线方程知识的考查出现的题型多是选择题、 填空题 . 题目难度小 . 因此掌握直线的倾斜角、斜率、直线方程的形式等基础知识很关键 . 对圆的方程的基础知识的考查多以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小，故掌握好圆的方程的形式、点与圆、直线与圆、圆与圆优秀学习资料欢迎下载的位置关系等基础知识点就能获得高分，当然圆的知识也会与其他知识综合起来考查向量、轨迹、圆锥曲线等综合. 解此类问题的关键仍是在掌握基

30、础知识的前提下，灵活运用. 如与数学思想和方法解决，如数与形结合思想的应用等.（答题时间： 50 分钟）一、选择题1.已知过点 A( 2, m) 和 B( m,4) 的直线与直线 2xy 10 平行，则 m =（）A . 0B.8C.2D. 102.已知 A(1,2)， B(3,1) ，则线段 AB 的垂直平分线的方程为（）A .4x 2 y 5B .4x 2y 5C.x 2 y 5D.x 2 y 53.由点 P(1,3) 引圆 x 2y29 的切线的长是（）A . 2B .19C. 1D. 44.三直线 ax2 y80,4x3y10,2xy10相交于一点，则a 的值是（）A .2B.1C.0

31、D . 15.已知两圆的方程是x2y21和 x2y 26x8y 90 ，那么两圆的位置关系是（）A .相离B. 相交C.内切D.外切6.“a1”是 “直线 xy 0 和直线 x ay0 互相垂直 ”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.圆x2y2与直线y没有公共点的充要条件是（）1kx 2 A .k(2,2)B.k(,2)(2,)C.k(3,3)D.k(,3)(3,)二、填空题8. 经 过 圆 x22x y20 的 圆 心 C ， 且与 直 线 x y0，垂直的直线方程是_ 9. 直线 l 与圆 Cx2 y22x 4y a0（ a 3）相交于

32、A，B 两点，弦 AB 的中点为 M（0， 1），则直线l 的方程为10.已知圆C：x2y22xay30 （ a 为实数）上任意一点关于直线l ：x y 20 对称的点都在圆C 上，则a=三、解答题11.已知圆C : x2y22x4y40 ，问是否存在斜率为1 的直线l ，使直线l 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，请说明理由优秀学习资料欢迎下载12.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f ( x)x22 xb （ xR ）与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆C （）求实数b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）圆 C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论优秀学习资料欢迎下载一、选择题1.B4m8 .解析： kAB2 mm22.B解析： AB 的中点 M(2, 3), k AB- 1,故 AB的中垂线的斜率是2，其方程是：22y - 32( x 2) 4x 2 y 5 .23. C 解析：由图知：切线 |PT|的长是 1