高考数学试题分类汇编——函数

1、（21.（本小题满分13 分）已知函数 f ( x)a0, 且x (a 1) ln x 15a , 其中 axa 1（）讨论函数f ( x) 的单调性；（） 设函数 g( x)(2x 33ax 26ax4a 26a)e x( x1) （e 是自然对数的ef ( x)( x1)底数），是否存在 a，使 g(x) 在 a,-a上是减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由 .21. （）的定义域为， f ( x )aa1( x a)( x1)f ( x)(0,)x21x 2x（ 1）若 -1<a<0, 则当 0<x<-a时， f( x)0 ；当 -a <x

2、<1 时， f ( x)0 ；当 x>1 时，f ( x)0 .故 f ( x) 分别在 (0,a ), (1,) 上单调递增，在 (a,1) 上单调递减 .（ 2）若 a<-1,仿（ 1）可得 f ( x) 分别在 ( 0,1), (a,) 上单调递增，在 (1, a) 上单调递减 .（）存在 a，使 g(x)在 a,-a上是减函数 .事实上，设 h( x)(2x 33ax26ax4a 26a)ex( xR) ，则h ( x) 2x 33(a 2) x 212ax 4a 2 e x，再设m( x) 2x 33( a2)x 212ax 4a 2 ( xR) ，则当 g(x)

3、在 a,-a上单调递减时，h(x) 必 在 a,0上 单 调 递 , 所 以 h (a )0， 由 于 ex0 ， 因 此 m(a) 0， 而m(a)a 2 (a2) ，所以 a2 ，此时，显然有 g(x)在 a,-a上为减函数，当且仅当 f ( x)在 1,-a上为减函数， h(x) 在 a,1上为减函数 , 且 h(1)ef (1) ，由（）知，当a<-2时， f ( x) 在 (1, a ) 上为减函数又 h(1) e f (1)4a 213a 3 03 a14不难知道，xa,1, h ( x)0xa,1, m( x) 0因 m ( x)6 x 26(a2) x 12a6( x2)

4、( xa) ，令 m ( x)0 ，则 x=a或 x=-2,而 a2于是 （1）当 a<-2时，若 a <x<-2, 则 m ( x) 0 ，若-2 <x<1, 则 m ( x)0 ,因而 m( x)分别在 ( a,2) 上单调递增，在( 2,1) 上单调递减；（ 2）当 a -2 时，m ( x)0 , m( x) 在 (2,1) 上单调递减 .综 合 （ 1 ）（ 2 ） 知 ， 当 a2 时 ， m( x) 在 a,1 上 的 最 大 值 为m( 2)4a212a 8，所以，xa,1, m( x) 0m(2)04a 212a 80a2又对 x a,1, m(

5、 x)0 ，只有当 a=-2时在 x=-2取得，亦即 h ( x)0只有当 a=-2时在 x=-2 取得 .因此，当 a2 时， h(x) 在 a,1上为减函数，从而由，知3a2（2010综上所述，存在a，使 g(x)辽宁理数）（21）（本小题满分在 a,-a 12 分）上是减函数，且a 的取值范围为3,2 .已知函数f ( x)(a1) ln xax21（I ）讨论函数f (x) 的单调性；（II）设a1.如果对任意x1, x2(0,) ，| f ( x1 )f ( x2 )4 | x1x2|，求a 的取 值范围。（ 2010 全国卷 2 文数）（ 21）（本小题满分 12 分）已知函数 f

6、 （ x） =x 3 -3ax 2 +3x+1。（）设a=2，求 f （ x）的单调期间；（）设f （ x）在区间（ 2,3 ）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。（2010 浙江文数）（21）（本题满分15 分）已知函数 f ( x) ( xa)2 （ a-b） (a,bR, a <b) 。（I ）当 a=1， b=2 时，求曲线 yf ( x) 在点（ 2， f ( x) ）处的切线方程。（II ）设 x , x 是 f (x) 的两个极值点，x 是 f ( x) 的一个零点，且x3 x1 ， x3x2123证明：存在实数 x4 ，使得 x1, x2 , x3 , x4按某种顺序排

7、列后的等差数列，并求x4(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分15 分。( )解：当 a=1,b=2 时，因为 f ( x)=( x-1)(3x-5).故 f(2)=1.又 f （2） 0，所以 f（ x）在点（ 2，0）处的切线方程为y x 2.（）证明：因为f（ x） 3（ x a）（x a2b ），3由于 a<b.a2b故 a<.3a2b所以 f（ x）的两个极值点为xa， x.3不妨设 x1a ， x2 a2b ，3因为 x3 x1， x3 x2，且 x3 是 f（ x）的零点

8、，故 x3 b.又因为 a 2b a2（ b a2b ），33x4 1 （ a a2b ） 2ab ，233所以 a， 2ab ， a2b ， b 依次成等差数列，33所以存在实数x4 满足题意，且x4 2a b .3（2010重庆数理）（18）（本小题满分 13分，（ I）小问5 分，（II ）小问8 分）已知函数 fxx1x1,其中实数 a1 。xlna（I ）若 a=-2，求曲线 yfx 在点 0, f 0处的切线方程；（II ）若 fx在 x=1 处取得极值，试讨论fx 的单调性。（18）（本题13 分）解：（） f /( x)xa( x1)1a11.(x a) 2x 1 (x a)

9、2x 1当 a1 时 ， f / (0)2 1117 ， 而 f (0)1，因此曲线(02) 2042y f (x)在点 (0, f (0) 处的切线方程为y (1)7 ( x0) 即 7x4 y2 0 .24（） a1，由（）知 f /(x)a11111，(1a) 21a 12即110 ，解得 a3.a 12x1此时 f ( x)ln( x1) ，其定义域为 (1,3)(3,) ，且x3f / ( x)21( x1)( x7)，由 f / (x)0得 x11, x2 7 . 当(x 3)2x 1 ( x 3) 2 ( x 1)1x 1或 x7 时， f /(x)0；当 1x 7 且 x3 时

10、， f / (x) 0 .由以上讨论知，f ( x) 在区间 (1,1, 7,) 上是增函数，在区间 1,3), (3,7 上是减函数 .（2010 湖北文数） 21. （本小题满分14 分）设函数 （fx） = 1 x 3a x 2bxc ，其中 a0，曲线 y（f x）在点 P（0， （f0）32处的切线方程为y=1（）确定b、c 的值（）设曲线y（f x）在点（ x 1，（fx1）及（ x 2，（f x 2）处的切线都过点（0,2）证明：当 x1x2 时， f '(x1)f '(x2 )（）若过点（0,2）可作曲线y（f x）的三条不同切线，求a 的取值范围。解：（）由 f（ x） = 1 x3a x2bx c 得： f （ 0）=c ， f （ x） = x2ax b ， f （0） =b。32又由曲线y=f （ x）在点 p（ 0，f（ 0）处的切线方程为y=1，得到 f（0）=1，f （ 0）=0。故 b=0 ，c=1。（） f（ x）=1 x3a x21，f （ x）= x2ax 。由于点（ t， f（ t）处的切线方程为32y-f （ t） =f （t ）（ x-t ），而点（ 0,2）在切线