高考数学分类解析一(2)

1、高考数学分类点评2012 年数学全国统一考试试题是这几年最难的，部分题不但综合性强，运算量大，而且技巧性要求很高，有些题目的解法平时几乎没有训练过，全省高分不多， 且很难拉开差距， 文理科平均分是近几年最低的，分别是 42.27 和 59.31 分，选择题分别是 25.9 和 33.67 分，填空题及解答题分别是 16.37 和 25.64 分，由此可见数学题难度之大。理科 12 个选择题中，第 4、9、10、12 题难度较大，不但题目新颖而且解法怪异，考生得分率低。文科试卷第 8、9、11、12 题难度也大，其中第 8、9、11 题与理科题相同，第 12 题虽然比理科难度低，但对文科生而言仍

2、很难，得分率依然很低。填空题中理科第13、14 题较简单，第 15 题难度中等，第16 题很难。全省 131534 名考生平均分 8.71 分，满分 20 分有 2832 人，第 16 题仅有 3492人做对。文科题较容易，全省104034 名考生平均分 7.51 分，满分 12801 人。理科三角函数题较简单，仍用到诱导公式、和差角公式、正弦定理及特殊角的值，全省平均分6.11 分，近 5 万人得满分。文科题用到等差中项、正弦定理、特殊角的值及和角公式等知识点，难度不大，但全省平均分仅1.59 分，仅 607 人得满分。文科数列题较简单，第一问容易得分，第二问给出an=SnSn-1 的表达式

3、，按递推关系式即可得其通项，难度不大。全省平均分仅2.58 分，满分1也只有 689 人，应有较大的提升空间。理科数列题很难，综合性强。第一问用数学归纳法、解析几何知识、不等式的技巧，得分很低；第二问要变形构造、等比数列，难度大，全省仅有少数人得分。该题平均分仅有 0.4 分，38 人得满分， 1012 分仅有 104 人。特别值得注意的是有少数考生用 Xn+1 与 Xn 表达式的特征值法（也称不动点法）构造出等比数列，十分巧妙地得出 Xn 的通项并证明第一问，可见考生要想得高分， 还需在知识的广度和深度上下功夫。 （2006 年也考过类型题。）立体几何题第一问， 证明直线 PC平面 BED，

4、利用菱形对角线相互垂直、三垂线定理及相似三角形即可得出；第二问用传统方法较难，用向量代数方法解该题要简单些，点及向量坐标仅涉及一个未知参数，且第一问不必求该参数，第二问定出参数后求解也不难。该题难度应与 2011 年相当，但理、文科平均分分别为 2.78 分及 1.18 分，比 2011 年有所降低，满分分别为 920 人和 127 人。值得注意的是解立体几何题时，也可将向量代数方法与传统方法结合使用，力求解题方法多样化。概率应用题，文、理科第一问都是求甲、乙比赛为 1:2 的概率，难度不大，但仍存在不提出假设、叙述不清、计算能力差等缺陷；文科第二问求甲领先的概率， 考生分析各种情况不完整，

5、得分不高，该题全省平均分 1.27 分，满分仅 613 人；理科第二问是求乙得分的数学期望，有一定计算量，但难度不大，有些考生引入二个或三个服从二项分布的随机变量，非常简洁地求解该题，全省平均分 3.87 分，近 9000 人得满分。解析几何题第一问是用抛物线和圆有公切线求圆的半径，利用圆的切2线与半径垂直求切点即得，难度不大但题型新颖，解题思路不易构思，文、理科考生得分低；第二问是求另两公切线的交点到第一条的距离，难度也很大，将导数的应用与圆锥曲线结合解题，综合性较强（ 2006 年也考过）。全省理科平均得分 0.37 分，最高分 10 分仅 1 人， 69 分全省 57 人，创近10 年最

6、低。理科导数应用题第一问难度不大，讨论函数的单调性，涉及到求导数，参数 a 的取值判定单调； 第二问太难， 首先给出 a 的最大值，又要作一函数讨论单调性后满足不等式，并变形后讨论 /2不等式成立。全省没有一个考生能完整解题，利用数形结合参数分离可给出 a 的取值，但不严谨。全省平均分 2.94 分，最高分 11 分仅有 12 人， 1011分仅有 58 人。文科第一问也不是太难，仍是带有参数的函数单调性；第二问太难，既有综合性，又有技巧性，运算量也较大，全省没有一个考生完整解答，平均分 1.87 分，最高分 9 分 27 人， 89 分 132 人， 79 分 767 人。2011 年数学试

7、卷的难度较2010 年数学试卷的难度有所降低， 据专家分析 2011 年的数学试卷是基于高中课改的要求，但由于考生答题不规范，成绩仍不够理想。2011 年数学试题的题型与近几年的题型基本相同， 理科 12 个选择题中有 8 个题比较简单，第 6，10，11，12 题较难，其中 6，10 计算量较大，11，12 题技巧性较强，得分较低，全省理科选择题平均分为33.49 ，比 08，09 年有所下降。文科的12 个选择题中第8，10，11，12 较难，全省平均分为 30.32 ，也比 08，09 年有所下降。填空题仍是二个比较容易，一个中等，一个较难。理科文科平均分3数分别是 8.77 分和 6.

8、54 分，和前几年差别不大。在解答证明的六个题目中，三角函数类题仍要用到正弦定理，诱导公式，和差角公式，特殊角的值等知识点求角 c, 难度不大，但学生解答不够理想，理科平均分为 3.93 分，是近几年最低的，文科题用到正弦和余弦定理及和角公式，难度适中，平均分为 3.4 分，是近几年最高的。数列类题目理科题要会观察、审题及判断，即可得一等差数列，并给出其通项公式，再利用无理函数项分项的技巧证明一个不等式，本题难度是近几年较低的，但平均分仅为2.26 分，是三年最低的。分析其原因是学生不会破题及解题方法错误。文科题很规范，难度较低，平均分为4.4分，是近几年比较高的。立体几何类题有一定变化，一改

9、近几年出的棱柱形题目，而是以四棱锥题型出现，难倒了许多学生，又由于给出的已知条件比较多，学生不会理清条件，解答不好。其实第一问用传统方法证明时仅涉及到勾股弦定理及直线与平面垂直的条件即可得出。若用向量代数的方法解答第一问时，有一个点的坐标要设三个参数，用已知条件可解出所设的三个参数，对考生而言是比较困难的。第二问用传统方法难度较大，用向量代数方法求解也要解三个参数求出平面的法向量才能解出直线与平面所成的角。理科、文科全省平均分分别是4.21 分和 1.82 分，分数虽不高，但比前两年略有增加。概率应用题应该是近几年最简单的，涉及到的知识点也不多，计算量也不大，但由于考生没有假设事件，叙述不清楚

10、，很多考生答案虽然正4确，但附加了购买甲、乙两种保险的独立性，改变了题意，被扣了3 分。概率题如何规范答题一直未引起老师和考生高度重视。概率题解答哪些过程可以省略，哪些步骤决不能省略，老师和考生应分析及研究到位。2011年理科、文科全省平均分分别是1.99 分和 1.72 分，这也是近几年来最低的，理科仅有 2 人得满分， 7 人得 11 分，文科高分也很少。解析几何题由于二问都是证明题，考生认为该题难度太大，得分较低。其实第一问是解答形式的证明，对理科考生而言不应太难，第二问证明椭圆周上的四点共圆，其证明思路本身就较难，加上该题计算量大，得高分很不容易。全省满分仅有117 人，平均分 3.5

11、2 分，近几年处于中间水平。但文科考生就感到难度太大，全省10 到 12 分的仅有 3 人，平均分仅有 0.66 分，是近几年最低的。导数应用题理科题比较新颖，第一问很简单，是一个很规范的证明题，考生容易得分，第二问结合概率证明不等式，构思巧妙，且综合性强，全省满分有 19 人，平均分为2.55 分，是近几年较高的。而文科考题较规范，仍是一个带参数的三次多项式，求一条切线方程及取得极值后讨论参数的取值范围，全省平均分为2.23 分，比 2010 年增加较多。近几年数学试卷考题难度大致相当，2010 年考题难度有所增加，仍是贴近教学，立足基础、覆盖全面、稳中有变、特别注意变化的形式，综合性强、展

12、现考生能力。2010 年数学考试题是自2003 年数学试题难度最大的一年试题，全省文理科考生的数学成绩最高分均未超过140 分，平均成绩也有较大幅度的5下降。2010 年理科类三角函数二小一大共 20 分，立体几何三小一大共 27 分，解析几何二小一大共 22 分，数列一小一大共 17 分，组合、二项式、概率二小一大共 22 分，代数、函数等六小一大共 42 分，其中选择题 12 个题中，仍是 8 个较容易、 2 个中等、 2 个较难。填空题中 2 题较容易、一个中等、一个较难，选择填空题的难度与 2009 年相当，变化不大，得分也大致相同。今年选择题 812 题中皆有较大运算量，花了不少时间

13、却不一定选对，影响了后面题目的解答，尤其是第 11 题，要证明难度大，填空题第 16 题虽是常规题，但要求空间思维能力较强，填对的不多。2010 年 6 个大题中，难度都有不同程度的增加，且在原考题基础上都有一定变化。三角函数题变化不大，若考生对平面几何的概念清楚，解题迎刃而解，仍是以正弦定理、边角关系、和角公式等为主，平均分略有下降，从4.4 分下降到 4 分。数列题第一问较简单，第二问证明方法很多，不等式缩小得太小，考生做的较好，但不完整，考分略有增加，平均分从3.58 分增加到 4.23 分.立体几何题难度与2009 年近似，仅由于直三棱柱图形平放， 同学们没有注意图形的变化，该题第一问

14、较简单，向量代数方法及传统方法都可以解决，但有些同学仍抓不住关键，叙述不清，影响得分，第二问传统方法太难；图形中要引入 6 条辅助线，向量代数的方法较简单，其难度与 09 年相当，平均分略有下降， 从 3.98 分降到 3.33 分. 但比 08 年的 7.30 分及 07 年的 6.98 分仍下降较多。概率应用题变化大，学生对题目理解不透，第一问就无法求解，即使6能求但由于不规范，不设事件，不说明字母A、B 表示的事件，仅给一个算式，虽答案正确但得分不高，第二、三问考生理解不透，不会分析，得分不多，全省高分不多，概率题中哪些该叙述，哪些事件该说明，解答过程哪些不能省，哪些可以省略，考生一直未

15、重视，平均分下降最多，从5.88分降至 2.58 分， 08 年最低保险费题平均分1.57 分，是近几年平均分较低的一年，解析几何双曲线题第一问并不难，第二问证明过三点的圆与x 轴相切的题型新颖，考生抓不住要点，答题思路不对，全省仅有三人得满分，且高分也不多，考生基本知识不牢固，平均分从3.36 分下降到 2.36 分，但仍比 08 年的 1.92 分略高。导数应用题第一问将f ( x) 代入后化简后成常规不等式证明，难度不算大，但由于是最后一题， 时间有限，平均得分仅 0.76 分，是近几年最低的。第二问求参数 a 的取值范围以满足不等式，该题太难，且将抽象函数f(x)一直保留，根据a 的取

16、值不等式作放大及缩小，学生根本想不到，且其他方法用求极限的罗必塔法则超出了高中教材要求，该题全省最高分仅一个得 10 分，且 7-10 分全省仅 148 人，该题深入研究价值不高，不仅对学生学习，就是对老师也是一个考验，估计今后命题不会在出现这类题型。文科类试题有 95 分与理科题相同，其中选择题中第812 题对文科考生太难，填空题中 15、16 题也太难，由于解答证明题中， 第 17（三角函数）、19（立体几何）、 20（概率）、22（解析几何）与理科题相同，文科平均分下降也较大，降到50 分以下，这是近几年最低的。概率题对理科考生难度7都较大，对文科考生更是难， 有 50%以上的考生得零分

17、， 文科试题的数列题和导数应用题是较规范的，难度也适中，但由于文科考生惧怕数学，加上时间安排不好，选择填空题用时超限，导致数列题平均分从4.9 分下降到1.45 分；导数应用题平均分从2.52 分下降到 0.96 分，这有些出乎人意料，文科类导数应用题近几年都没有变化，即一元三次多项式带参数讨论增减性，单调性，求极值题型，应该是得分的，请考生多注意。2009 年高考数学理科类，得分点与 2010 年考题基本相同，其中 12 个选择题中， 8 个较容易、 2 个中等、 2 个较难。 4 个填空题中， 2 个较容易、一个中等、一个较难。对较难的选择题、填空题，学习成绩中等以上的同学不愿放弃，花费了

18、不少时间答题， 影响了后面的大题解答。6 个大题中，有 3 个题较容易（三角函数、概率、数列，概率题满分近22000 人），一个题中等（立体几何，该题比较前二年有一定变化，第一问用传统方法简单，第二问用向量代数简单），二个题较难（解析几何与函数；第一问简单，但第二问难。分数集中在3-4 分之间，高分不多，如22 题 10 分以上全省仅14 人， 21 题满分的全省 147 人。）2009 年高考数学文科类近90 分与理科完全相同，文科类考题与2010年考点的要求，得分其中12 个选择题与 4 个填空题难易程度与08 年基本相同，选择题、填空题中对文科生而言各有两个题较难。（一）三角函数类<

19、;1> 在三角形内利用正弦定理、余弦定理建立边角之间关系及函数表8达式求其定义域，化同一函数求最大最小值问题。<2> 利用正弦定理、余弦定理、等差数列、等比数列、诱导公式、和角倍角公式求三角函数的值、三角形边的值及三角形面积或三角形面积的最大值为一类综合题型，可参考近五年试题。<3> 利用三角函数的图形求函数的周期、平移或放大缩小求函数的最大小值，用三角函数的性质求特殊角，半特殊角的值或用值求其角度，利用三角函数图形判定其增减性，正负性等。1、为了得到函数 ysin( 2x) 的图像，只需把函数y sin(2x) 的图像36（）（ A ）向左平移4个长度单位（ B

20、）向右平移个长度单位4（ C）向左平移2个长度单位（D）向右平移个长度单位52解：考虑取最大值时，令2x则 x1， 又令 2x则321262x2，x1 x25向右平移，选 (B)1264642、已知是第二象限的角， tan(2 )4 ，则 tan1 。32解tan(2 )tan 22 tan4，2 tan23 tan2 0，1tan23( 2 tan1)(tan2) 0 ， tan 0则 tan1 .23、已知是第二象限的角， tan1 ，则 cos2525解：是第二象限角，sec21tan211544sec5 ， cos225 .或： tan11 ，25529cos12 ，（如图）则 cos

21、25 .554、已知 ABC 中， cot A12 ，则 cos A(D)(A) 12555(B)(C)(D)131313解:由已知A, 则 cosA0 ，作图21213则 cos A12 , 故选 (D).135、已知为第二象限角， sin +cos= 3 ，则 cos2533（A）-5（ B）-5（C） 5（D） 53993解：是第二象限的角，2< <， sin + cos =3 >03则< <3， <2<3， cos <0 ，排除（ C）、（D）；242cos =1+sin 2 = 1(sin+cos) 2 =sin 2+cos 2+2si

22、n3sin 2 =2 ， cos2 =1 (2)25333，选（ A ）。（ ）x+（0,2 ）是偶函数，则( )6、若函数 fx =sin3（ A）（B）2（C）3（D）52323解：代选项（ A ）（ B）不成立，当=3 时，32xx )cos x ，为偶函数 ，选（ C）。f ( x) sin2sin(3233107、已知为第二象限角， sin= 3 ，则 sin 2( )5（A） 24（B） 12（C） 12（D） 2425252525解：，22 ，sin 240，cos25sin 22sincos24 ，选（ A ）。258、设函数 f xcos x0 ，将 y = f (x) 的图

23、像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（ C）（ A）解答：考虑1（B）3（C）6（D）93y cos x 的最大值，cos x1 ， x0，又向右平移，则3cos x1， cos1 ，0 ，2 ，6 ，故选 C。3339、当函数 ysin x3 cos x （ 0x2 ）取得最大值时， x。解答： y2( 1 sin x3 cos x)2sin( x), max y2, x3, x5，或22326y sin x3 cos x 2g(3 cos x1 sin x)2cos( x5)max y2, x5226，610、 若动直线 xa 与函数f ( x)sin x 和

24、g( x)cos x 的图像分别交于 M ，N两点，则 MN 的最大值为（B）（A）1（B） 2（C） 3（D） 2解答： f ( x)g( x)sin xcos x2 sin( x) ， 当 xa3时取最大值 2 .即 sin 3cos 3442(也可以用图示法分析，图形点纵坐标之差最大值4 4为 2).11、已知(2,)， sin5 5 , 则 tan24 3。111 ， tan 22 tan2(1)4解答： csc5, cot2, tan221 tan21(123)2也可用三角代换法求出 tan1 。212，的内角 A 、B 、 的对边分别为a、b 、 ，已知cos( AC )cos B

25、1，ABCCca2c ，求 C 。解：由 BAC，得 cos Bcos AC于是 cos ACcosBcos ACcos ACcos A cosCsin A sinCcos AcosCsin A sin C2 sinsin C由已知得sin A sin C12由正弦定理ac及 a2csin A sin C得sin A2 sin C由得sin2 C14于是 sin C1 或 sin C1 （舍去）22又 a2c 故 C 不是钝角，所以C613、 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c 。已知 AC90，ac2b，求 C。解法 1：由正弦定理abc 及已知条件 ac2

26、b。sin A sin Bsin C得sin A sinC2 sin B又A BC180 ,AC 9012则于是cosCsin C2 sin( AC )2 sin(902C)2 cos2C2 cosC2 sin C cos2C22cos(45C )cos 2C因0C90所以45C2C,故 C15解法 2：由正弦定理abc 及已知条件 a c2b 。sin Asin Bsin C得sin AsinC2 sin B又ABC180 ,A C 90则2sin AC cos A C2 sin B22sin 180Bsin B2即sin(90B )sin BB2故90B, B60或290BB （舍去）18

27、02C1514 、 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，a sin A c sin C2a sin Cb sin B 。（I）求B；（II ） 若 A 75o ， b2 ，求 a 、 c 。（I ）解： Q a sin A c sin C2a sin Cbsin B由正弦定理得 a2c22ac b213由余弦定理得 b2a2c22ac cos B故 cos B2 ，又由 00B18002B 450（ II ）解法： Q A 750 sin A sin(300 45 0 )sin30 0 cos450cos300 sin 450264a bsin A263,c

28、 bsin C2 sin 6006.sin B21sin Bsin 450解法 2：过 C作CDAB于D，Q AC2,A750，CD AC sin 7502262642CD26213a02sin 45c ADDBACcos75 0CD6226624215， ABC 中，内角 A 、B 、C 成等差数列， 其对边a、b 、 满足2b23ac，c求 A 。解法 1：由 ,成等差数列得2BA C又ABC180o ，得 ， B 60 o ,A C120由 2b 23ac 及正弦定理得142 sin 2 B3 sin A sin C ，故 sin A sin C12又 cos A Ccos A cosC

29、sin A sinC= cos A cos C11 ，22所以 cos A cosC0 ，cos A0 或 cosC0故A90或A30解法 2：由 ,成等差数列得2BAC ，又ABC180，得，B60,AC120由 2b23ac 及正弦定理得2 sin2 B 3 sin A sin C故 sin A sin C12所以 sin A sin 120oA= sin A sin120o cos Acos120o sin A=3 sin A cos A1 sin 2A=1，222所以3sin A cos Acos2 A ，当 cos A0 时， tan A3 ， A 30o3当 cos A0时， A9

30、0o16、 ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD33 ， sin B5 ， cos ADC3 ，135求 AD.解法1：由 cosADC30，知 B5215由已知得 cos B12 , sinADC4135从而 sin BADsin( ADCB)由正弦定理得所以sinADC cosBcos ADC sin B4123533 .51351365ADBD,sin BsinBADADBDsin BsinBAD335A5x4xB33D3xHC13 25 .3365解法 2：如图，由 cos ADC30知 ADC 为锐角 .5作AHDC于H.在 Rt ADH 中，设 DH 3x ，则 AH4x

31、 ， AD5x .tan B在 Rt ABH 中， sin B5 ，从 而 cos B12,131354x12333x解得 x5 ,从而 AD5x 25.17、设 ABC 的内角 A、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，cos( A C )cos B3 , b2ac ，求 B .23解法 1：由 cos( A C ) cosB及 BA C，得2cos( A C )cos( AC )323cos A cosCsin A sin Ccos A cosCsin Asin C216sin A sin C34又由 b2ac 及正弦定理得sin 2 Bsin Asin C故 sin 2 B

32、3 ， sin B3 或 sin B3422于是 B或 B233又由 b2ac 知 ba 或 bc ，所以 B3解法 2：由 b2ac 及正弦定理得（舍去）.sin 2 B sin A sin C1cos( AC )cos( A C )（积化和差）21cos(B)3cosB2234sin B3 且 B0,，B3或 B223当 B2时 ， ba 且 bc 故 b2ac与已知矛盾，B3318、 在 ABC 中， cos B5， cosC4 （）求 sin A 的值；13335（）设 ABC的面积 ，求BC的长S ABC2解：（）由三角形求三角函数值法，如图，已知5cos B124 ，得 sin C3 故13得 sin B已知 cos C1355sin Asin( BC)sin B cosC33cosB sin C6517（） S ABC1AB AC sin A33 ，则 ABAC 65，22由正弦定理 ACAB ，则AC20 AB代入：sin Bsin C13AB20AB65, AB 2(13)2, AB131322又由正弦定理BCAB ，则 BC3351311sin Asin C65322（注：本题也可先求