坐标法解空间几何题常用模型

1、如何用坐标法解空间几何题专题（中保高中2017届1 , 2班）徐学松模型思考空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多，在解决综合问题时，运用多个定义、定理 和性质形成的综合题时，遇到多种多样的题型，每一种题型的解法又有多种学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率有没有一种比较统一的方法，能够使得解题过程比较一致，变化不多的模型呢？使得学生解题流程固定，方法比较简单， 从而使学生解题思路流畅，正确率提高呢坐标法作为一种工具，在解决立体几何问题中有着无比的优越性运用坐标法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了，模式固定，流程明了模型例析例 1.（线线平

2、行）已知 A（1 , 0, 0） , B（0 , 1 , 0） , C（0, 0, 2），求满足 DB/ AC, DC/ AB 的点D的坐标.解模与识模：这道题是一道线与线平行的问题可设点D坐标为（x , y, z）,则 DB = ( x, 1 y， z) , AC = ( 1, 0, 2) , DC = ( x, y, 2 z),AB = ( 1, 1, 0).x z1 2 即1 y 0,x y1 12 z 0. DB/ AC, DC/ AB,. DB / AC , DC / AB .x 1,y 1 ,即此时点D的坐标为（一1, 1, 2）.z 2.从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的

3、情况下，得到各点的坐标后，就能得到有关向量的坐标，根据向量的平行，利用公式建立方程组.这里的公式是若ax1,y1,z1 ,bX2,y2,Z2 且X2,y2,z2均不为零，a/b 互 吐 彳.进而达到求解的目的.X2 y2Z2例2 （线线垂直） 在正方体 ABCD-A1B1C1 D1中，M是棱。耳的中点，O为正方形 ABCD勺中心，求证：OAi丄AM解模与识模：直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直设直线a, b的方向向量分别是 a x-i, y1, z1 , b x2, y2, z2 , a 丄 ba 丄b X1X2 y-y2 Z1Z2 0.要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐

4、标系常见几何体的建系方法：1. 找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”(即xOy平面)，一条为x轴，一条为y轴；2. 找与“水平面”垂直的直线确定为z轴.z轴;(3) 过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线；(4) 过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z轴.(4)在建系的过程中，一般的借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等1个单如图建立右手直角坐标系.设正方体的棱长为位，则 A(1 , 0, 0) , A1(1 , 0, 1),111M(0, 0,), 0(丄，0).22211OA1 = DA1 DO = (, , 1),221AM =DM - DA = ( -

5、1, 0,),2 OA1 AM = x ( - 1) + ( - 1) x 0 + 1X 丄=0 , OA1 丄 AM ,2 2 2 OA1 丄 AM例3（线面垂直）如图，已知四棱锥SABCD勺底面ABC毘矩形，M N分别是CD SC的中点,5SAL底面 ABCD SAAD=1, AB= 2 .求证：MNL平面 ABN解模与识模：第（I ）问是证明直线与平面垂直问题 ，又直线与平面垂直 的判定定理可知，只需要证明这条直线与平面内两条相交直线垂直就可 以了，转化为证明这条直线的方向向量垂直于平面内两条直线的方向向 量.以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD z轴的空间直角坐标系,如图所示.贝

6、U依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0, 0） , B（ . 2，0，0), C ( -2 , 1, 0), D (0, 1, 0), S (0, 0, 1)4242 i i仃，。）性,打MN (0, -,-), AB (,2Q0), ANMN AB 0,MN AN/. MNL平面 ABN0. MN AB, MN AN.例4 （线面平行、面面垂直、二面角）如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形， AC与BD的交点为0 , E为侧棱SC上一点.(I)当E为侧棱SC的中点时，求证:SA /平面BDE ;(n)求证：平面BDE 平面SAC ；(川)当

7、二面角 E BD C的大小为45时,试判断点E在SC上的位置，并说明理由解模与识模：本题第(I)冋是解决线面平行冋题.设四棱锥SABCD的底面边长为2,建立如图直角坐标系.则 O(0, 0, 0) ,S(0, 0, /2),A .2, 0, 0B 0, . 2, 0 ,C -2, 0, 0 ,uuur.所以AC_uuur2 .2, 0, 0 , BD0, 2, 0 .因为CE 1 ,由已知可求得ECO 45 .BE所以E 2设平面BDE法向量为(x, y, z),uurBDuuuBE0,0,2y1,1,0,1 .AS2,0, .2 .AS、2 0 .20.所以n 丄 AS.所以SA/平面BDE

8、 .这一问完整地体会了坐标法的整个过程步，建立恰当的空间直角坐标系第二步求出相关点的坐标：第三步，写出向量的坐标；第四步，选择适当的公式进行论证、计算第五步,转化为几何结论.第四步中着重计算了面 BDE法向量，n AS =0推出SA/平面BDE .求法向量的步骤：第一步，找平面内的任意两个不共线向量 ，设a, b为平面 内的 任意两个向量；第二步，设n= (x, y, 1)为 的法向量，则由方程组 9门0 ,求得法向b n 0量n.（n）证明：由（I）中坐标易知 SO 面ABCD , AC BD .设CE a (0 a 2),由已知可求得 ECO 45所以 E(迈a, 0, a)，BE ( 2

9、a,2 2 2设平面BDE法向量为n （x, y, z），uury0,则n BD0,uuu n BE0即(222a)x 2y二az 02令z1, 得n(a,0,1).2 auuu2.2,易知BD0,0是平面SAC的法向量.uuu a因为 n BD (, 0, 1) (0,2、2, 0)0，2 auuu所以n BD，所以平面BDE 平面SAC.本题的解决可以总结出利用向量法证明面与面垂直的过程中的第四部核心是证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的一条直线,同时也可以证明两个平面的法向量的数量积为零去证明两个平面互相垂直 （川）设二面角I 中，平面、的法向量是a （为，,乙），匕（x2,y2,z

10、2）,则cos a,b 空丄X1X2 y1y2 z1z2，设二面角l的大小|al|b| 、,乂2 y z x22 y22 z22¥ fV ¥为 ，贝V cos cos a,b 或 cos - cos a,b设CE a （ 0 a 2 ），由（n）可知，平面BDE法向量为n （旦，0, 1）.2 a因为SO底面ABCD ,uuuL所以OS （0, 0, -.2）是平面ABCD的一个法向量由已知二面角E BD C的大小为45uuu所以 cos OS, ncos 45所以 ./a)2 122，解得a 1.2所以点E是SC的中点例5 (线线成角)如图，在三棱锥D ABC中，ADC,

11、 ACB均为等腰直角 三角形AD CD 2，ADCACB 90 , M为线段AB的中点，侧面ADC底面ABC.求异面直线BD与CM所成角的余弦值;解模与识模：如果两异面直线 AB与CD的方向向量分别是 AB、CD，直线AB与CD的夹角为，就有cos|AB ?CD | AB |?|CD |取AC的中点为O，连结DO,OM .建立空间直角坐标系 O xyz如图所示.则 A(1,0,0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)，B( 1,2,0)，M (0,1,0).BD (1, 2,1), CM (1,1,0)，cos BD,CMBD CM 1 2 0 仝| BD|CM |626所以异面直线BD与CM

12、所成角的余弦值为 例6 (线面成角)如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为-2a .(1) 建立适当的坐标系，并写出A、B A、G的坐标;(2) 求AG与侧面ABBA1所成的角解模与识模：建立如图的坐标系，来确定所求点的坐标 取AiBi中点M因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱,则CM是平面ABBA的一个法向量，求AC与侧面ABBA所成的 角转化为求ACi与CM的夹角的余角于是求直线l与平面所成的角：| PM ?n |sin I, (P、M l，n 为 的法向量).| PM |?| n |(1 )以A为坐标原点，AB所在直线为y轴，所在直线为z轴，以过原点且垂直于平面

13、的直则 A (0, 0, 0)、B (0, a, 0)线为x轴建立空间直角坐标系，如图3.A (0, 0, 2a )、C1 (, , . 2a)2 2a(2)取AB的中点M则M ( 0,2a)2连 AM MC,得 M6、3a,0,0,IMC1 | a，因为AC1-,-.2a222 2AC13a;设AC与侧面ABBA所成的角sin cos AC1, MC1a小aa00 %'2a222逅a J3a2.于是有所以AG与侧面ABBA所成的角为30例7 (异面直线距离、线面之间的距离)已知：正方体 ABCA1B1C1D中，P为AB中点,Q为BC中点，AA=a, O为正方形ABCD的中心.(1 )

14、求PQ与 CO间的距离；(2 )求BC到面ADP的距离zC解模与识模：P和O分别是异面直线 PQ与CO上两点，设与异面直线 PQ与 CO的方向向量都垂直的向量 n叫做异面直线 pq与 co的法向量,那么,op在异面直线PQ与CiO的法向量n上的投影就是异面直线 PQ与 00OP ? n1的距离.即就是dni.由此可以推出，要求平行于平面ADP的直线BC到平面 Ai D P的距离，即就是求BP在平面 ADP的法向量n2上的投影BP'?n 2n 2_ a异面直线PQ与Ci 0的法向量n (1,1,0), OP =( 2 ,0,0) ,异面直线 PQ与 CO的距离0P ?ni VTad 点

15、B到平面 A D P的距离等于 BC到面 A D P的距离，面ni4aA D P的一个法向量n2 =(0,2, i ), BP =(0,0) BC到面 Ai D P的距离模型归纳：坐标法确实是处理立体几何问题的重要方法.作为坐标法的主要技巧， 是将相关向量表示为坐标的形式，把问题转化为代数的运算，这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传 统解法相比，显然是更高的思维方式，它抓住了空间的主要特征和其内在规律，使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”利用坐标法的解题流程是：(1 )建立恰当的空间直角坐-_(2)求出相关点的坐标(3)写出向量的坐标(5)转化为几何结论(4)选择适当的公式进行论 证、计算(

16、在以上的模型中选说明:步骤（1）:常见几何体的建系方法：借助正方体、侧棱和底面垂直的棱锥、直棱柱等等.1.找两条互相垂直且相交的直线确定“水平面”（即xOy平面），一条为x轴，一条为y轴；2.找与“水平面”垂直的直线确定为 z轴.通常做法（1）直接找到与“水平面”垂直的直线为z轴；（2） 找与“水平面”垂直的平面，垂面内与“水平面”交线的垂线即为z轴.（3）过两垂线的交点直接作出“水平面”的垂线，（4）过两垂线的交点构造“水平面”的两个两个垂面，两垂面的交线为z轴.步骤（2）:和结论相关的点就是直接的相关点，在求解过程中需要求坐标的点也可以认为是相关点步骤（3）:得到相关点以后，由相关点坐标就

17、得到了有关的向量的坐标步骤（4）空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的平行与垂直问 题来.解决.（1 ）设a, b分别为直线a, b的一个方向向量，那么 a丄b a丄ba b=0；（2 ）若 a禺1,乙,b X2,y2,Z2 ,且 X2,y2,Z2 均不为零，a/b 生0互X2 y2 Z2（3）设直线l的方向向量为a,平面 的法向量为b,那么I丄 a/ b;（4） 设a, b分别为平面 ，的一个法向量，那么丄a丄b a b=0.（5）设a, b为平面内的任意两个向量，n= （x, y, 1 ）为 的法向量，则由方程组可求得法向量n.空间线线成角、线面成角和二面角可以转化为向量成角的问题来解决(1)如果两异面直线 AB与CD的方向向量分别是 AB、CD，直线AB与CD的夹角为就有cos| AB ?CD |AB |?|CD |(2) 直线I与平面 所成的角为 ：|sin |1 PM ?n 1 ，(P、M l，n为 的法| PM |?| n |向量)(3) 二面角 I 中，平面 、 的法向量是a (x1, y1,z1), b (x2, y2