物理学第一章_质点运动学

1、 世界是物质的世界是物质的 物质是运动的物质是运动的 运动是永恒的！运动是永恒的！ 运动形式的多样性运动形式的多样性 机械运动机械运动 热运动热运动 电磁运动电磁运动 微观运动微观运动力力学学质点运动学质点运动学质点动力学质点动力学刚体力学刚体力学狭义相对论狭义相对论2经典力学经典力学研究机械运动，着重讨论以下三个问题：研究机械运动，着重讨论以下三个问题：1.1.如何描述物体的运动状态如何描述物体的运动状态 （运动学）（运动学）位置矢量位置矢量r速度矢量速度矢量v注意：运动的矢量性、独立性注意：运动的矢量性、独立性、叠加性、瞬时性、叠加性、瞬时性、相对性。相对性。2.2.研究物体运动状态变化的

2、原因研究物体运动状态变化的原因 （动力学）（动力学）3.3.了解如何在给定条件下建立和解出物体的运动了解如何在给定条件下建立和解出物体的运动 方程方程描述物体运动状态的物理量描述物体运动状态的物理量物理量的物理量的变化变化性性微分、积分、微分方程微分、积分、微分方程物理量的物理量的矢量矢量性性分解、合成分解、合成物理式的物理式的瞬时瞬时性性1-0 1-0 教学基本要求教学基本要求1-1 1-1 参考系和坐标系参考系和坐标系 位矢位矢 位移和路程位移和路程 1-2 1-2 速度速度1-3 1-3 变速运动变速运动 加速度加速度 相对运动相对运动第一章第一章 质点运动学质点运动学1-4 1-4 直

3、线运动直线运动1-51-5 抛体运动抛体运动1-6 1-6 圆周运动圆周运动 教学要求教学要求 一一 掌握掌握描述质点运动及运动变化的四个物描述质点运动及运动变化的四个物理量理量位置矢量、位移、速度、加速度位置矢量、位移、速度、加速度理解理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性二理解二理解运动方程的物理意义及作用运动方程的物理意义及作用. . 会会处处理两类问题理两类问题：（1）运用运动方程确定质点的位运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法。置、位移、速度和加速度的方法。（2）已知质点运动的加速度和初始条件求速度、已知质点运动的加速度和初始条件求速

4、度、运动方程的方法运动方程的方法三掌握三掌握曲线运动的自然坐标表曲线运动的自然坐标表示法能计算质点在平面内运动时的示法能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度和法向加速度 四理解四理解伽利略速度变换式伽利略速度变换式, , 并并会用它求简单的质点相对运动问会用它求简单的质点相对运动问题题1-1参考系和坐标系参考系和坐标系 位矢位矢 位移和路程位移和路程 什么是机械运动？什么是机械运动？ 一个物体相对于另一个物体位置的一个物体相对于另一个物体位置的变动或者，一物体内部某些

5、部分相对于变动或者，一物体内部某些部分相对于其他部分的位置变动其他部分的位置变动力学是研究物体机械运动规律的一门科学力学是研究物体机械运动规律的一门科学质点（理想模型）质点（理想模型）(Mass Point Particle) 一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。 例如，例如， 地球绕太阳运动，地球绕太阳运动， 而而研究地球的自转时，研究地球的自转时， 地球可以当作质点；地球可以当作质点； 地球就不能当作质点地球就不能当作质点具有质量而没有形状大小的理想物体具有质量而没有形状大小的理想物体地地日平均间距：日平均间距： 1.5 108 km

6、地球半径：地球半径： 6.37 103 km一、参考系、坐标系一、参考系、坐标系 参考系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物参考系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物体作参考，这个被选作参考的物体称为体作参考，这个被选作参考的物体称为。 坐标系：定量地表示某一物体相对于参考系的位置。坐标系：定量地表示某一物体相对于参考系的位置。 物体的运动对不同的物体的运动对不同的参考系有不同的描述。这参考系有不同的描述。这个事实称为个事实称为XYZ参考系参考系O运动物体运动物体坐标系坐标系 例：例： 车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车厢内，同时观察螺

7、钉从车顶落下的过程。厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过程。 甲：螺钉作平抛运动。甲：螺钉作平抛运动。 乙：螺钉作自由落体运动。乙：螺钉作自由落体运动。 可见参考系不同对运动的描述也不同。可见参考系不同对运动的描述也不同。甲甲乙乙二、时间和时刻二、时间和时刻 任何一个物理过程任何一个物理过程 包括机械运动包括机械运动 都必须经历一段时都必须经历一段时间。间。 人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转一周所经历的时间为一天，等于一周所经历的时间为一天，等于86400秒。秒。 。 时间对应于物理过程。时间对应于物理过程。 路程，位移路程，位移 时刻对

8、应于物理状态。时刻对应于物理状态。 位置位置 )( trr xyzx(t)y(t)z(t)也也可以可以表示为表示为：*Pxyzxzyo其关系为：1、质点的运动方程、质点的运动方程 一质点在空间中运动，任一质点在空间中运动，任意时刻意时刻 t 其其P 可以由两个坐可以由两个坐标标 x, y,z 来确定（如图来确定（如图)它们它们是时间的函数：是时间的函数： 上式称为上式称为。描述质点的位置随时间变化的方程。描述质点的位置随时间变化的方程。 )()()(tzztyytxx四四、质点质点的运动方程、轨道的运动方程、轨道xyzx(t)y(t)z(t)2、轨道、轨道 由由 。（如直线运动。（如直线运动、

9、 曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等） 例如，平抛运动：例如，平抛运动： 轨道为一抛物线：轨道为一抛物线：,0),( yxf22020221)()(xgygttyttxvv tAttAtx sin)y( cos)( 又比如一个圆周运动，若运动方程为：又比如一个圆周运动，若运动方程为：222Ayx 则轨道为一圆心在原点，半径为则轨道为一圆心在原点，半径为 A 的圆：的圆：XYv1Ptt 2Ptt 1P1P2P2Pt rrr1而而 到到 的轨道的几何长的轨道的几何长度称为度称为 时间内质点运动时间内质点运动的的：1P2PYXOs 1P2Ps rst 一般情况下一般情

10、况下是矢量，是矢量，是标量，且大小也不等。是标量，且大小也不等。大小为：大小为： 平均速度与所选取的时间段（或位移段）有关，故必平均速度与所选取的时间段（或位移段）有关，故必须说明是哪一段时间间隔内的平均速度。须说明是哪一段时间间隔内的平均速度。t tr v方向为：方向为： 的方向。的方向。 rt 1-2 1-2 速度速度 YXOs 1P2P xyzv iv jv ktr| vt r1P2P1P1PjdtdyidtdxdtdrvQPvv2222)dd()dd(tytxyxvvvvvvyxtxtyddddtg xyvv ：YXOP 3、 在内的在内的定义为：定义为：t 时时间间路路程程 tsvt

11、r 2vt 定义为：平均速率在定义为：平均速率在 0 时的极限：时的极限：t dtdstst 0limv、YXOs 1P2P rdtdr vdtrd vdtds v22 dtdydtdxv请判断下列式子的对错：请判断下列式子的对错：4、t 时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系dtdstssrttrlimlim0t0t|0|?v可见：可见：，尽管平均速率一般，尽管平均速率一般不等于平均速度的大小。不等于平均速度的大小。tRytRx sin),cos21( )11( tRRx cos2 tRy sin 222)2(RyRx 这就是轨道的正交坐标方程，上式表示

12、质点的轨道是半这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半径为径为R 的圆周，圆心在点的圆周，圆心在点 处。处。)0,2(R例题例题 1-1 已知质点的运动方程为：已知质点的运动方程为：其中其中R及及 为常量，求质点的轨道及速度。为常量，求质点的轨道及速度。解：将（解：将（1-1）式改为：）式改为：将以上二式两边平方及相加得：将以上二式两边平方及相加得： XYROtRdtdxx sin vtRdtdyy cos vRttRyx 2222cossinvvvtctgtgxy vv由此得速度的大小由此得速度的大小: 为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。

13、 速度速度v与与X轴所成的角轴所成的角 由下式决定：由下式决定：v 由（由（1-1）式求得的速度分量为：）式求得的速度分量为： 1-3 1-3 变速运动变速运动 加速度加速度 1平均加速度：平均加速度： 设质点设质点 t 时刻时在时刻时在P点，速度为点，速度为v，经过，经过 后，质点运动到后，质点运动到Q点，速度为点，速度为 ，则在，则在 时间内速度的增量为：时间内速度的增量为：则则 内的平均加速度为：内的平均加速度为： 称为在称为在 t 到到 t+ 时间间隔内的时间间隔内的t 1vvvv1ta vat t QYX)(trP)(ttr v1vPv v1vt 2、瞬时加速度：、瞬时加速度：当当

14、，即，即 时，可以得到时，可以得到0 tPQ dtrddtdtat vvv0lim2222,dtydadtxdayx jdtydidtxddtrda222222 加速度的大小为：加速度的大小为： 加速度加速度 与与 X 轴所成的角为轴所成的角为 ，则：，则：22222222 dtyddtxdaaayx2222dtxddtyddtddtdaatgxyxy vv a30 1）矢量物理量全面地反映物体的运动状态，）矢量物理量全面地反映物体的运动状态， 便于理论推导和一般性的定义。便于理论推导和一般性的定义。 在在 t 时刻，描述运动的物理量是时刻，描述运动的物理量是三者之间的关系是三者之间的关系是t

15、atrddddvv运动学问题的基本定义式运动学问题的基本定义式ar即解决问题的基本出发式即解决问题的基本出发式讨论讨论 2）通常，在具体解题时，需根据解题方便）通常，在具体解题时，需根据解题方便选取合适的正交坐标系。选取合适的正交坐标系。 常用的坐标系有：常用的坐标系有： 直角坐标系直角坐标系 平面极坐标系平面极坐标系 球坐标系球坐标系 柱坐标系等等柱坐标系等等在直角坐标系中可写成在直角坐标系中可写成：xyzoxyzz zyyxxr zyxzyxzayaxaazyxarzyx分别是分别是x、y、z方向的方向的单位矢单位矢量量直角坐标系直角坐标系(A)由基本关系式由基本关系式tatrddddvv

16、tztytxzyxddddddvvvtatatazzyyxxddddddvvv有：有：ztytxtaztzytyxtxzyxdddddddddddd比较比较(A)(B)两组式子，有：两组式子，有： (B)思考：思考：（B）式）式中为什么中为什么没有出现没有出现tztytxddddddxytgyxr122xyyxtgvvvvv122xyyxaatgaaa122 注意：注意：直角坐标系中直角坐标系中 三个单位矢量方向不随时间改变三个单位矢量方向不随时间改变四、其他物理量四、其他物理量 1.路程路程 速率速率 切向加速度切向加速度 如果质点运动的路径确定，如果质点运动的路径确定， 可结合路径定义物理

17、量。可结合路径定义物理量。在在路径路径上任选一参考点上任选一参考点o，则，则t 时刻路径的长度叫路程时刻路径的长度叫路程S 。路程：描述质点位置的物理量路程：描述质点位置的物理量oP 12tStSSS 是是t 的函数。的函数。 即即 tSS 如果如果， 2211,tSttSt则则 tS速率：速率： 描述路径上位置变化率的物理量。描述路径上位置变化率的物理量。按定义应有关系式：按定义应有关系式：Pvtsddv虽然上式只给出位置变化率的大小，虽然上式只给出位置变化率的大小，但在路径确定的情况下已足够。但在路径确定的情况下已足够。因为因为速度的方向就是各点的切线方向速度的方向就是各点的切线方向。切向

18、加速度：描述速率变化率的物理量切向加速度：描述速率变化率的物理量tatdd22tstatddddv切向加速度切向加速度按照加速度的按照加速度的矢量矢量定义，定义，加速度加速度既既应反映速度应反映速度大小大小的变化率，的变化率， 又又应反映速度应反映速度方向方向的变化率。的变化率。在这组物理量中，由于只有描述速度大小的物在这组物理量中，由于只有描述速度大小的物理量（速率），所以只能出现理量（速率），所以只能出现切向加速度切向加速度。描述描述加速度方向变化率加速度方向变化率的物理量叫的物理量叫法向法向加速度加速度，我们将在圆周运动中介绍。，我们将在圆周运动中介绍。这套物理量是：这套物理量是：与矢量

19、描述的物理量相比较，不全面，与矢量描述的物理量相比较，不全面，但，在路径确定的情况下已相当足够了。但，在路径确定的情况下已相当足够了。而且还显得简捷。而且还显得简捷。tsddvtatdd 基本基本定义式定义式taS基本关系：基本关系：2. 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度1)角位置角位置2)角位移角位移3)角速度角速度4)角加速度角加速度参考方向参考方向o)(tP)(ttQtddtdd基本定义式基本定义式圆周运动时，由于轨迹确定，圆周运动时，由于轨迹确定，用这套物理量较为方便。用这套物理量较为方便。如圆周运动如圆周运动例题例题 1 设质点的运动方程仍由例题设质点的运动方程仍由例题1

20、-1中（中（1-1）式表示，求）式表示，求加速度。加速度。解：利用例题解：利用例题1-1的结果可得的结果可得由此得加速度的大小：由此得加速度的大小：tRdtddtydatRdtddtxdayyxx sincos222222 vvRRttRaaayx2222222sincosv 如果把加速度写成矢量式，则有：如果把加速度写成矢量式，则有：令令 表示从圆心表示从圆心 到质点（到质点（x，y）的矢径，得：）的矢径，得：得到得到可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。)2()sincos(222jyiRxj tRi tRa ),(02Rj yiRx )2( 2

21、aXYOa例：一质点作匀变速直线运动，加速度为例：一质点作匀变速直线运动，加速度为 a（常数），已知（常数），已知 t=0 时，时，x = x0，v = v0 ，求质点的速度及运动方程。，求质点的速度及运动方程。 avrr va解：解：adtdadtd vv两边积分得：两边积分得： 1catadtv再由再由dtcatdxcatdtdx)(11 v得得 212121)(ctcatdtcatx两边积分得：两边积分得：当当 t = 0 时时 x = x0 ，v = v0 可以求得可以求得 c1 = v0 ，c2 = x02002000)2/1()2/1(attxxattxxat vvvv速速 度：度

22、：运动方程：运动方程：位移公式：位移公式：匀变速直线运动公式匀变速直线运动公式所以得：所以得：例例2 2、 设质点的运动方程为设质点的运动方程为（）计算在（）计算在t s到到t s 这段时间间隔内的平均速度；这段时间间隔内的平均速度；jtyitxtr)()()( 解：（）由平均速度的定义式，在解：（）由平均速度的定义式，在t s , , t s 内内的平均速度为：的平均速度为：)sm(25.11425.2614361 jijijtyitxv241)(,2)(2 ttyttx其中其中)m.s(80.1)5 .11(1212222 yxvvvv解（）：由题意知，速度的分量式为：解（）：由题意知，速

23、度的分量式为：tdtdydtdxyx21, 1 vv故故t3 s 时速度分量为时速度分量为11sm5 . 1,sm1 yxvv故故t3 s 时速度为时速度为)sm(5 . 11 jiv而在而在t3 s 时的速率为：时的速率为：（）求（）求 t3 s 时的速度和速率；时的速度和速率；24624 6xy002462 46x - ty - t0 xy 246-2-4-6246 y - xtt241)(2)(2 ttyttx321412xxy例例3、一质点运动轨迹为抛物线一质点运动轨迹为抛物线2422ttytx = = xxy22 ( (z = = 0 ) )求：求：x = -= -4 时时（t 0

24、)粒子的速度、速率、粒子的速度、速率、加速度。加速度。分析：分析： 由由 x = -= -4 ， 得得 t = = 2xyv解：解：4|22 txtdtdxv24|4423 tyttdtdyvji244 v444122222 tytdtyda22222 txxdtxddtdavjia442 37422 yxvvv速率：速率：0, 0,2300 vxj tiar,vjti t23 vtdtddtaddtdaxtxxxxxxx3,3,00 vvvvvv20,2,0ttdtddtaddtdaytyyyyyyy vvvvvvjtitr223123 位置矢量为：位置矢量为：20200200031233t

25、dttdtyyttdtdtxxttyttx vv根据积分公式，得根据积分公式，得dtdydtdxyxvv 例例5、 已知质点运动方程为已知质点运动方程为x=2t, y=19 2t2, 式中式中x, y以米计，以米计，t以以秒计，试求：（秒计，试求：（1）轨道方程；（）轨道方程；（2）t=1s 时的速度和加速度；时的速度和加速度；（3）何时质点位矢与速度矢量垂直？）何时质点位矢与速度矢量垂直？22119xy（2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度）对运动方程求导，得到任意时刻的速度ttytxyx4dd2dd vv对速度求导，得到任意时刻的加速度：对速度求导，得到任意时刻的加速度：（1）4dd0d

26、d tatayyxxvv(2)解：（解：（1）运动方程联立，消去时间）运动方程联立，消去时间t得到轨道方程得到轨道方程将时间将时间t=1s代入速度和加速度分量式代入速度和加速度分量式(1)、(2)中，求出时间中，求出时间t=1s对应的速度和加速度：对应的速度和加速度：jijitytxyxyx424dd2dd vvvvvjjaiaatatayxyyxx44dd0dd vv速度大小速度大小)m.s(47. 4122 yxvvv加速度大小，加速度大小，与与 x 轴夹角轴夹角6263arctan0 xyvv )m.s(4222 yxaaa0 vr（3）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为）质点位矢与速度

27、矢量相互垂直的条件为与与 y 轴正方向相反。轴正方向相反。矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。 矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。 矢量的标积（点乘积）：矢量的标积（点乘积）：矢矢量量方方向向间间的的夹夹角角、为为BAABBA cos AB0872)()(3 ttyxjij yi xryxyxvvvvv) s (3, 0 t t = 3s 舍去，所以质点位矢与速度矢量在舍去，所以质点位矢与速度矢量在 t = 0s 和和 t = 3s 时相互垂直。时相互垂直。解得：解得：由由矢量加法：矢

28、量加法：BAC 矢量减法：矢量减法：ACB ABCABCA 例例6、 离水平面高为离水平面高为h 的岸边，有人用绳以恒定速率的岸边，有人用绳以恒定速率v0拉船靠岸。拉船靠岸。试求：船靠岸的速度、加速度随船至岸边距离变化的关系式？试求：船靠岸的速度、加速度随船至岸边距离变化的关系式？jhi xj yi xr 对时间求导得到速度和加速度：对时间求导得到速度和加速度：itxtrdddd vitxta22dddd v( 1 )( 2 )由题意知：由题意知：trdd0 vrhoyxx0v ( 3 )解：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：解：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：22hrx 又又xhxdtdr

29、hrrdtdxx22022 vvv32202/ 322220)(xhxrhdtdaaxxvvv ( 4 )将将 (5) 式代入式代入(1)(1)和和 (2) 式中得：式中得：ixhtxaixhtx32202220dd1ddvvv 分析船的运动特点：分析船的运动特点： 虽然收绳速率是均匀的，但船的前进方向并不是绳子的虽然收绳速率是均匀的，但船的前进方向并不是绳子的方向，故其运动是变速的，加速度也是变化的。方向，故其运动是变速的，加速度也是变化的。32202220dd1ddxhtxxhtxvv 即即（5）例例7 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 S=5+4t-

30、-t2 （SI）， 则小球运动到最高点的时刻是：则小球运动到最高点的时刻是： （）（）（）（） （）（）（）（）例例8、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为：一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为： （其中（其中a、b为常量）则该质点作为常量）则该质点作 （A）匀速直线运动。）匀速直线运动。 （B）变速直线运动。）变速直线运动。 （C）抛物线运动。）抛物线运动。 （D）一般曲线运动。）一般曲线运动。jbtiatr22 sttdtds2024 vB直直线线方方程程得得消消去去xabytbtyatx 22有有关关，变变速速与与tjbtiatdtrd22 vB例例9、一质点沿一质点

31、沿X轴运动，其加速度轴运动，其加速度 a与位置坐标与位置坐标 x 的关系为的关系为 a =2 +6 x2 （SI）如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解：解： dxddtdxdxddtdavvvv xxdxxadxd0200)62(vvv分离变量两边积分分离变量两边积分3322,2221xxxx vv例例9、一质点在平面上作曲线运动，其速率、一质点在平面上作曲线运动，其速率v与路程与路程s的关系为的关系为 v=1+s2 （SI）求其切向加速度用路程）求其切向加速度用路程s来表示的表达式？来表示的表达式？32222sssdt

32、dssdtdat vv解：解：即即322ssat 一、相对运动的速度一、相对运动的速度 物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的，物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的，。 一个物体的运动，一个物体的运动，我们讨论一种简单的情形。我们讨论一种简单的情形。 设地球为参考系设地球为参考系E ，称为，称为，相对于地球作平，相对于地球作平动的坐标系为动的坐标系为M 称为称为。如图所示。如图所示。Y O X rPOXr YEM0r1-4 1-4 相对运动相对运动OXY 为坐标系为坐标系E ，O X Y 为坐标系为坐标系M ，0rrr rr ,0r为为O 对对O 的位置矢量。的位置矢量。两边同时微分：两边同时微分：dtddddd0rtrtr dtrd PEvdtrd PMvdtrd0 MEvY O X rPOXr YEM0rMEPMPEvvv 二、相对运动的加速度二、相对运动的加速度 将速度合成定律再对时间将速度合成定律再对时间 t 微分，得：微分，得：2022222dtdddddrtrtr 22dtrd PEa质点对参考系质点对参考系E 的加速度（的加速度（）22dtrd PMa质点对参考系质点对参考系M 的加速度（的加速度（）202dtrd MEa参考系参考系M