第01章矢量分析(2)

1、1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1、矢量线、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。分布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线oM Fdrrrdr2、矢量场的通量、矢量场的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e

2、 S穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对闭合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量 借用借用矢量线矢量线的概念，的概念，通量通量可以认为是矢量可以认为是矢量穿过曲面穿过曲面S的矢量线总数，矢量线也叫的矢量线总数，矢量线也叫通量通量线线，穿出的为正，穿入的为负。，穿出的为正，穿入的为负。矢量场矢量场也也可称为可称为通量面密度矢量通量面密度矢量。 0通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的

3、矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。的

4、通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。 如果包围点如果包围点P的闭合面的闭合面 S所围区域所围区域 V以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P时时, 通量与体通量与体积之比的极限存在，即积之比的极限存在，即3、矢量场的散度、矢量场的散度F柱面坐标系柱面坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐标系球面坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度

5、的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyP 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体

6、积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则dyxzSFFFFSx y zx y zx y zxyz 0d limySxzVFSFFFFVxyz根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为4、散度定理、散度定理VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的矢量场在空间任意闭合曲面的通量

7、等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即，即 散度定理散度定理是闭合曲面面是闭合曲面面积分与该闭合曲面所包围体积分与该闭合曲面所包围体积内部的体分之间的一个变积内部的体分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。广泛的应用。1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如例如：流速场流速场 不是所有的矢量场都由不是所有的矢量场都由通量源通量源激发。存在另一类不同于通量激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭源的矢量

8、源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。零。 如如磁场磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：电流成正比，即：SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了上式建立了磁场的环流磁场的环流与电流的关系。与电流的关系。 q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流

9、不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。ClzyxFd),(环流（或环量）的概念环流（或环量）的概念 矢量场矢量场 环绕一闭合曲线环绕一闭合曲线C 的线积分称为的线积分称为 的的环流环流定义定义为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即FF01rotlimdCnSFFlS称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。 矢量场的矢量场的环流环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内给出了矢

10、量场与积分回路所围曲面内旋涡源旋涡源的宏观联系。的宏观联系。为了给出空间任意为了给出空间任意点点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度旋度。 SCMFn特点特点：其值与：其值与 S的形状无关，的形状无关，点点M 处处 S的方向的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限n2. 旋度旋度 旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度

11、的最大值；方向是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用为最大环量密度的方向。用 表示表示rot F它与环流密度的关系为它与环流密度的关系为lim0CFFd lro tenSs在直角坐标系下在直角坐标系下zxyrotFFxyzFFFzxyeee三、旋度的物理意义三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 点点P P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达

12、式的表达式rotxFrotyFrotzF123412341234dddddCllllyzyzFlFlFlFlFlFyFzFyFz 12yyyMFzFFMz而而 22zzzMFyFFMy推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF32yyyMFzFFMz42zzzMFyFFMyd()yzCFFF ly zyz 于是于是 同理可得同理可得rot,xzyFFFzxrotyxzFFFxy0drotlimyCzxSF lFFFSyz 故得故得zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的计算

13、公式旋度的计算公式: :直角坐标系直角坐标系zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系旋度的有关公式旋度的有关公式：0()()()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向

14、相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF1、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定

15、点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场2、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场0dClF性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源

16、而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu （2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：0dSSF0 F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF()0FA （3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F （4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和

17、无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 02 u0F 1.7 格林定理格林定理 1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系2()uu 概念：概念： 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F概念概念：2()()FFF 2222xxyyzzFeFeFeF即即2

18、2()iiFF注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，22()iiFF直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：22()FF(, , )ix y z2. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及 ，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场偏导数，那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式。满足下列等式。 SVSnV 2dd)(根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成2 ()d() dVSVS 以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV , ne式中式中S 为包围为包围V 的

19、闭合曲面，的闭合曲面， 为为标量场标量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向方向上的偏导数。上的偏导数。nne22 ()d()dVSVSnn22 ()ddVSVS 基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 格林定理说明了区域格林定理说明了区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。因此因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种