2010年高考理科数学精彩试题及问题详解 全国卷1

1、实用文档 文案大全 绝密启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷） 理科数学(必修+选修II) 本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中

2、，只有一项是符合题目要求的。参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PABPAPB? 24SR? 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ()()()PABPAPB ? 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 334VR? n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)kknknnPkCppkn? 一选择题 (1) 复数3223ii? (A)i (B)i? (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k?,那么tan100? A.21kk? B. -21kk? C. 21kk?

3、D. -21kk? (3)若变量,xy满足约束条件1,0,20,yxyxy?则2zxy?的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1. 实用文档 文案大全 A B C D A1 B1 C1 D1 O （4）已知各项均为正数的等比数列na，123aaa=5，789a aa=10，则456a aa= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)353(12)(1)xx?的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)

4、35种 (C)42种 (D)48种 (7)正方体ABCD-1111AB C D中，B1B与平面AC1 D 所成角的余弦值为 A 23 B33 C23 D63 （8）设a=3log2,b=In2,c=125?,则 A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a (9)已知1F、2F为双曲线C:221xy?的左、右焦点，点p在C上，1F p 2F=060，则P到x轴的距离为 (A) 32 (B)62 (C) 3 (D) 6 （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 (A

5、)(22,)? (B)22,)? (C)(3,)? (D)3,)? （ 11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线， A、B为俩切点，那么PAPB?的最小值为 (A) 42? (B)32? (C) 422? (D)322? P A B O 实用文档 文案大全 （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A) 233 (B)433 (C) 23 (D) 833 第卷 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13) 不等式2211xx?的解集是 . (14)已知?为第

6、三象限的角，3cos25?, 则tan(2)4? . (15)直线1y?与曲线2yxxa?有四个交点，则a的取值范围是 . (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FD?uuruur，则C的离心率为 . 三解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB?，求内角C (18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予

7、以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为05，复审的稿件能通过评审的概率为03 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望 （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无 实用文档 文案大全 效） 如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB/DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC . （）证

8、明：SE=2EB； （）求二面角A-DE-C的大小 . (20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数()(1)ln1fxxxx?. （）若2'()1xfxxax?，求a的取值范围； （）证明：(1)()0xfx? . （21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线2:4Cyx?的焦点为F，过点(1,0)K?的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （）证明：点F在直线BD上； （）设 89FAFB?，求BDK?的内切圆M的方程 . （22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列?na中，1111,nnaa

9、ca ? ? . （）设51,22nncba?，求数列?nb的通项公式； （）求使不等式13nnaa?成立的c的取值范围 . 实用文档 文案大全 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷） 理科数学(必修+选修II) 答案 第I卷 一选择题 1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13iiiiiiiii?.【解析2】232322323iiiiii? 2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析1】222sin801

10、cos801cos(80)1k?,所以tan100tan80? 2sin801.cos80kk?【解析2】cos(80)k?cos(80)k?，?00000sin18080sin100sin80tan1001008018080oooconconcon?21kk? 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为max12(1)3z?. 【解析2】11222zxyyxz?，画图知过点?1,1?是最大，?1213Maxz? 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的

11、运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 0xy? 1Oyx? y20xy?x A 0:20lxy?2?2A 实用文档 文案大全 A B C D A1 B1 C1 D1 O 【解析1】由等比数列的性质知3123 1322()5aaaaaaa?378 979 88()aaaaaaa? 10, 所以132 850aa?, 所以13336456465528()()(50 )52aaaaaaaaa? 【解析2】123aaa=5325a?； 789aaa=103810,a?633352845655052aaaaa aa? ?， 5.C【解析】 124513353333322(12

12、)(1)161281510105xxxxxxxxxx? x的系数是 -10+12=2 6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有1234CC种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有2134CC种不同的选法.所以不同的选法共有1234CC+2134181230CC?种. 【解析2】33373430CCC? 7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化

13、思想的具体体现. 【解析1】因为BB1/DD1,所以B1B与平面AC1D所成角和DD1与平面AC1D所成角相等,设DO平面AC1D，由等体积法得11DACDDACDVV?,即111133ACDACDSDOSDD?.设DD1=a, 实用文档 文案大全 则12211133sin60(2)2222ACDSACADaa? ? ,21 122ACD SADCDa? ?. 所 以1312333ACDACDSD DaDOaSa?,记DD1与 平面AC1D 所 成角为?,则13sin 3 DODD?,所以6cos3?. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,OO；1OO与平面AC1D所成角就是 B1B与平面AC

14、1D 所成角，111136cos1/32OOOODOD? 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1 】 a=3log2=21log3, b=In2=21loge,而22log3log1e?,所以a<b, c=125? =15,而2252log4log3?, 所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log2=321log,b=ln2=21loge, 32 2 1loglog2e? ，32211112logloge? ?； c =121115254?，c<a&

15、lt;b 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】不妨设点P00(,)xy在双曲线的右 支,由双曲 线的第二定义得21000|()12aPFex aexxc? ?，22000|)21aPFexexaxc? .由余弦定理得 cos1FP2F=222121212|2|PFPFFFPFPF?,即cos0 602220000(12)(21)(22)2(12)(21)xxxx? ?, 解得2052x?,所以2200312yx ? ?，故P到x轴的距离为06|2y? 【解析2】由焦点三角形面

16、积公式得： 实用文档 文案大全 1202260116cot1cot322222222FPFSbchhh? 10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得 a+2b222aa?,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去) ，或1ba?，所以 a+2b=2aa? 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()faaa?,由“对勾”函数的性质知函数()fa在a?(0,1)上为减函数，所以f(a)>

17、f(1)=1+21=3,即a+2b的取值范围是(3,+). 【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：0111abab?，利用线性规划得：0111xyxy?，求2zxy? 的取值范围问题，11222zxyyxz? ，2111yyxx?过点?1,1时z最小为3,(C)(3,)? 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x(0)x?,APO=?,则APB=2?， PO=21x? ，21sin1x?， |cos2PAPBPAPB? ?=2

18、2(12sin)x? =222(1)1xxx? =4221xxx?，令PAPBy? ? ，则4221xxyx?，即42(1)0xyxy?，由2x是实数，所以 2(1)41()0yy?，2610yy? ，解得322y? 或322y?. 故min()322PAPB? ?. 此时21x?. 【解析2】法一： 设,0APB?，? ?2cos1/tancos2PAPBPAPB? ? P A B O 实用文档 文案大全 2222221sin12sincos22212sin2sinsin22? 法二：换元：2sin,012xx?，? ?1121223xxPAPBxxx? 或建系：园的方程为221xy?，设1

19、1110(,),(,),(,0)AxyBxyPx?， ?2211101110110,001AOPAxyxxyxxxyxx? ? ?22222222110011011022123223PAPBxxxxyxxxxx? ? 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析1】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h, 则有ABCD11222323Vhh?四面体,当直径通过AB与CD的中点时 ,22max22123h?, 故max433V?. 【解析2】 ?22210110111

20、001,2PAPBxxyxxyxxxxy? ?实用文档 文案大全 12x? y=1 x y a O 12x? 414ay? 2yxxa? 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) 13.0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 【解析1】原不等式等价于2 221(1) ,10xxx?解得0x2. 【解析2】 ?2222211211211020211xxxxx xxxxx?， 1417?【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关

21、系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析1】因为?为第三象限的角, 所以2(2(21),2(21)(kkkZ?，又3cos25 ?<0, 所以2( 2(2 1),2(21)()2kkkZ? ?,于是有4 sin 2 5 ? ? , sin24tan2cos23?,所以tan(2)4?41tantan2134471 tantan2143?. 【解析2】?为第三象限的角， 3cos25?，3222 kk? ? ? ? 4 2 2 4 3 k k?2?在二象限，4sin25? sin(2)sincos2cossin2cos2sin21444tan(2)4cos2

22、sin27cos(2)coscos2sinsin244 4? 15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 实用文档 文案大全 【解析1】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y?与曲线2yxxa?,观图可知，a的 取值必须满足1,4114aa?解得514a?. 【解析2 】由数型结合知：151144aaa? 16. 33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析1 】如图，22|BFbca?, 作1DDy?轴于点D1,则由BF2FD?uuruur，得 1|2|3OFBFDDBD?, 所以133|22DDOFc?, 即32Dcx?, 由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca? 又由|2|BFFD?, 得232ccaa?,整理得22320caac?. 两边都除以2a,得2320ee?,解得1()e?舍去，或23e?. 【解析2】设椭圆方程为：