2013年高考文科数学全国新课标卷2精彩试题与问题详解

1、实用文档 文案大全 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷II新课标) 第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1)已知集合Mx|3x1，N3，2，1,0,1，则MN( ) A2，1,0,1 B3，2，1,0 C2，1,0 D3，2，1 2 21i?( ) A 22 B2 C 2 D1 3设x，y满足约束条件10,10,3,xyxyx?则z2x3y的最小值是( ) A7 B6 C5 D3 4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2 ， 6B?，4C? ，则 ABC的面积为( ) A23+2 B3+

2、1 C232? D31? 5设椭圆C：2222 =1 xyab?(ab 0)的左、右焦点分别为F1，F2， P 是C上的点，PF2F1F2，PF 1F230°，则C的离心率为( ) A36 B13 C1 2 D 33 6已知sin 223，则2cos4 ?( ) A16 B13 C12 D23 7执行下面的程序框图，如果输入的N4，那么输出的S( ) A 1 111+234? B1111+232432? C11111+2345? D11111+2324325432? 8设alog32，blog52，clog23，则( ) Aacb Bbca Ccba Dcab 9一个四面体的顶点在空

3、间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( ) 10设抛物线C：y24x 的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若 |AF|3|BF|，则l的方程为( ) A yx1或yx1 By 3(1)3x?或y 3(1)3x? Cy 3(1) 3x?或y3(1)3x? Dy2(1)2x?或y2(1)2x? 实用文档 文案大全 11已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是( ) A?x0R，f(x0)0 B函数yf(x)的图像是中心对称图形 C若x0是f(x)的

4、极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减 D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0 12若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是( ) A(，) B(2，) C(0，) D(1，) 第卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_ 14已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD?uuuruuur_. 15已知正四棱锥OABCD 的体积为322 ，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_ 16函数ycos(2x)( )的图像向右平移2个单位后，与函数y sin23x?的图像重合，则_. 三

5、、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (本小题满分12分)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)求a1a4a7a3n2. 18 (本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点 实用文档 文案大全 19 (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位：t,100X150)表

6、示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率 20 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x 轴上截得线段长为22在y轴上截得线 段长为23. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线yx 的距离为22，求圆P的方程 21 (本小题满分12分)已知函数f(x)x2ex. (1)求f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围 实用文档 文案大全 22 (本小题满分10分)选修41：几何证明选讲 如

7、图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AEDC·AF，B，E，F，C四点共圆 23 (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinxtyt?(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点 (1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且abc1.证明： (1)abbcca13； (2)222abcbca?1. 实用文档 文案大

8、全 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷II新课标) 第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 答案：C 解析：由题意可得，MN2，1,0故选C. 2 答案：C 解析： 21i?1i ，21i?|1i| 2. 3 答案：B 解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233zyx?，先画出l0：y23x，当z最小时，直线在y轴上的截距最大，故最优点为图中的点C，由3,10,xxy?可得C(3,4)，代入目标函数得，zmin2×33×46. 4 答案：B 解析：A

9、(BC) 76412?， 由正弦定理得sinsinabAB?， 则72sinsin1262sinsin6bAaB?， SABC 112sin 2(62)31222abC?. 5 答案：D 解析：如图所示，在RtPF1F2中，|F1F2|2c， 设|PF2|x，则|PF1|2x， 由 tan 30°212|3|23PFxFFc? ，得233xc?. 而由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a3x， 332axc? ，333cceac?. 6 答案：A 解析： 由半角公式可得，2cos4? 实用文档 文案大全 21cos211sin21232226?. 7 答案：B 解析：由程序框图依次可得

10、，输入N4， T1，S1，k2； 12T?，11+2S?，k3； 132T?，S 111+232?，k4； 1432T? ，1111232432S?，k5； 输出1111232432S?. 8 答案：D 解析：log25log231，log231 21log3 21log50，即log231log32log520，cab. 9 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图： 则它在平面zOx 的投影即正视图为，故选A. 10 答案：C 解析：由题意可得抛物线焦点F(1,0)，准线方程为x1. 当直线l的斜率大于0时，如图所示，过A，B两点分别向准线x1作垂线，垂足分别

11、为M，N，则由抛物线定义可得，|AM|AF|，|BN|BF|. 设|AM|AF|3t(t0)，|BN|BF|t，|BK|x，而|GF|2， 在AMK 中，由|NBBKAMAK? ，得34txtxt?， 解得x2t，则cosNBK |1|2NBtBKx?， NBK60°，则GFK60°，即直线AB的倾斜角为60°. 斜率k tan 60°3，故直线方程为y 3(1)x 当直线l的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为y 3(1)x?，故选 C. 实用文档 文案大全 11 答案：C 解析：若x0是f(x)的极小值点，则yf(x)的图像大致如下图所示，则在

12、(，x0)上不单调，故C不正确 12 答案：D 解析：由题意可得，12xax?(x0) 令f(x)12xx?，该函数在(0，)上为增函数，可知f(x)的值域为(1，)，故a1时，存在正数x使原不等式成立 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13答案：0.2 解析：该事件基本事件空间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10个，记A“其和为5”(1,4)，(2,3)有2个，P(A

13、) 2100.2. 14答案：2 解析：以?,ABADuuuruuur为基底，则0ABAD?uuuruuur， 而12AEABAD?uuuruuuruuur，BDADAB?uuuruuuruuur， 1()()2AEBDABADADAB?uuuruuuruuuruuuruuuruuu r22221122222ABAD?uuuruuur. 15答案：24 解析：如图所示，在正四棱锥OABCD中，VOABCD13×S正方形ABCD·|OO1|13 ×2(3)×|OO1| 322， 实用文档 文案大全 |OO1|322， |AO1|6， 在RtOO1A中，OA

14、2211|OOAO?22326622? ? ? ，即6R?， S球4R 224. 16答案：56 解析：ycos(2x)向右平移2个单位得，cos22yx ? ? ? ?cos(2x)sin2+=sin222xx?，而它与函数sin 23yx?的图像重合，令2x22x32k，kZ， 得5+26k?，kZ. 又，56?. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 解：(1)设an的公差为d. 由题意，211aa1a13， 即(a110d)2a1(a112d) 于是d(2a125d)0. 又a125，所以d0(舍去)，d2. 故an2n27. (2)令Sna1a4a7a3n2. 由

15、(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列 从而Sn2n(a1a3n2)2n(6n56)3n228n. 18 (1)证明：BC1平面A1CD； (2)设AA1ACCB2，AB22，求三棱锥CA1DE的体积 解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点 又D是AB中点，连结DF，则BC1DF. 因为DF?平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD. (2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD. 由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB. 又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1. 由AA1ACCB2，22AB?得ACB90

16、6;，2CD?，16AD?，3DE?，A1E3， 故A1D2DE2A1E2，即DEA1D. 所以VCA1DE1163232?1. 19 解：(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000. 当X130,150时，T500×13065 000. 实用文档 文案大全 所以80039000,100130,65000,130150.XXTX? (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150. 由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. 20 解：(1)设P(x，y)

17、，圆P的半径为r. 由题设y22r2，x23r2. 从而y22x23. 故P点的轨迹方程为y2x21. (2)设P(x0，y0) 由已知得00|222xy?. 又P点在双曲线y2x21上， 从而得002210|1,1.xyyx? 由0022001,1xyyx?得000,1.xy? 此时，圆P的半径r 3. 由0022001,1xyyx?得000,1.xy? 此时，圆P 的半径3r?. 故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23. 21 解：(1)f(x)的定义域为(，)， f(x)exx(x2) 当x(，0)或x(2，)时，f(x)0； 当x(0,2)时，f(x)0. 所以f(x)在(，

18、0)，(2，)单调递减，在(0,2)单调递增 故当x0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)0； 当x2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)4e2. (2)设切点为(t，f(t)， 则l的方程为yf(t)(xt)f(t) 所以l在x轴上的截距为m(t) ()223'()22ftttttfttt?. 由已知和得t(，0)(2，) 令h(x) 2xx?(x0)，则当x(0，)时，h(x)的取值范围为 22，)； 当x(，2)时，h(x)的取值范围是(，3) 所以当t(，0)(2，)时，m(t)的取值范围是(，0) 223?，) 综上，l在x轴上的截距的取值范围是(，0) 223?，) 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分 22 解：(1)因为CD为ABC外接圆的切线， 所以DCB