八年级最短路径问题归纳小结

1、学习必备欢迎下载八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ，“造桥选址” ，“费马点” 【涉及知识】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩

2、形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理AAl连 AB，与 l 交点即为 PPl两点之间线段最短BPA+PB 最小值为 ABB在直线 l 上求一点P，使PA+PB 值最小【问题 2】“将军饮马”作法图形原理AAB作 B 关于 l 的对称点 BB两点之间线段最短l连 A B ，与 l 交点即为 PlPA+PB 最小值为 A BP在直线 l 上求一点P，使B'PA+PB 值最小【问题3】作法图形原理l 1P'l 1P分别作点 P 关于两直线的M两点之间线段最短对称

3、点 P和 P，连 PP，PM +MN +PN 的最小值为l2P在直线 l1 、 l 2 上分别求点与两直线交点即为 M， NNl2线段 PP的长M 、 N，使 PMN的周长P''最小【问题4】作法图形原理l 1lQ'1Q分别作点 Q 、P 关于直线PMQ两点之间线段最短l 1 、 l 2 的对称点 Q和 Pl2P四边形 PQMN 周长的最小连 QP，与两直线交点即l 2值为线段 PP的长在直线 l1 、 l 2 上分别求点为 M，NNM 、 N ，使四边形PQMNP'的周长最小【问题 5】“造桥选址”作法图形原理学习必备欢迎下载AMNmn将点 A 向下平移 MN

4、 的长度单位得 A，连 AB，交 nAA'M两点之间线段最短mB直线 m n ，在 m 、 n ，上分别求点M 、N，使 MN m ，且 AM+ MN+ BN 的值最小【问题 6】ABlMa N在直线 l 上求两点 M 、N（ M在左），使 MNa ，并使AM + MN+ NB 的值最小【问题 7】l1Pl 2在 l 1 上求点 A，在 l 2 上求点 B，使 PA+ AB 值最小于点 N，过 N 作 NM m 于M 作法将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A，作 A 关于 l 的对称点 A，连 AB，交直线l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M作法作点 P 关于 l 1

5、 的对称点 P ，作 PB l 2 于 B，交 l 2于 AAM +MN +BN 的最小值为nNAB+MN B图形原理A A'B两点之间线段最短lMNAM +MN +BN 的最小值为AB+ MNA''图形原理l1P'P点到直线，垂线段最短APA+ AB 的最小值为线段Pl 2B的长B【问题8】作法l 1NAMl2作点 A 关于 l 2 的对称点BA ，作点 B 关于 l1 的对称A 为 l 1 上一定点， B 为 l 2 上点 B，连 AB交l 2 于 M，一定点，在 l 2 上求点 M ，交 l 1 于 N在 l 1上求点 N，使AM + MN+ NB 的值最

6、小【问题9】作法AB连 AB ，作 AB 的中垂线与l直线 l 的交点即为P在直线l 上求一点P，使PAPB 的值最小图形原理B'l 1N两点之间线段最短AAM +MN +NB 的最小值为MBl 2线段 AB的长A'图形原理A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等lPPAPB 0【问题 10】作法图形原理学习必备欢迎下载A三角形任意两边之差小于ABl作直线 AB，与直线 l 的交第三边 PA PB ABB点即为 Pl在直线 l 上求一点P，使PPA PB 的最大值 ABPA PB 的值最大【问题 11】作法图形原理AAl作 B 关于 l 的对称点 BB'B作直线 A B

7、，与 l 交点即lP在直线 l 上求一点P，使为 PBPAPB 的值最大三角形任意两边之差小于第三边PAPB ABPAPB 最大值 AB【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC ABC 中每一内角都小于120°，在 ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点” ，即满足 APB BPC APC 120 °以 AB、 AC为边向外作等边ABD 、 ACE，连 CD 、 BE 相交于 P ，点 P 即为所求DAEPBC两点之间线段最短PA+ PB+ PC 最小值 CD 【精品练习 】1如图所示，正方形 ABCD 的面积为12， ABE 是等边三角形，点E

8、 在正方形 ABCD 内，在对角线AC 上有一点 P，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A2 3B2 6C3D 6ADPEBC2如图，在边长为2 的菱形ABCD 中， ABC 60 °，若将 ACD 绕点 A 旋转，当AC 、 AD 分别与 BC 、 CD交于点 E、 F ，则 CEF 的周长的最小值为（）A2B2 3C23D4学习必备欢迎下载3四边形 ABCD 中， B D 90°， C 70 °，在 BC 、 CD 上分别找一点M、 N，使 AMN 的周长最小时， AMN + ANM 的度数为（）ADA 120°B 130°C1

9、10°D 140°NBMC4如图，在锐角 ABC 中， AB 42 ， BAC 45 °， BAC 的平分线交BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM +MN 的最小值是CDMANB5如图， Rt ABC中， C 90°， B 30°，AB 6，点E在AB边上，点D 在BC边上（不与点B、C 重合），且 ED AE，则线段AE 的取值范围是AECDB6如图，AOB 30 °，点则 MP PQ QN 的最小值是M、 N 分别在边OA、 OB 上，且 OM 1， ON 3，点 P、 Q 分别在边OB、 OA_（注“

10、勾股定理” ：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，上，即 RtABC 中， C 90°，则有AC 2BC 2AB2 ）7如图，三角形 ABC中，OAB AOB 15 °，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B( 63 ，0)OC 平分AOB ，点M在OC的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA MN的最小值是_学习必备欢迎下载8已知 A（ 2， 4）、 B （4， 2） C 在 y 轴上， D 在 x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C、 D 两点的坐标分别为yABOx9已知A（ 1， 1）、 B（4， 2）（ 1） P 为 x 轴上一动点，求PA+PB

11、的最小值和此时P 点的坐标；yBAOx（ 2） P 为 x 轴上一动点，求PAPB 的值最大时P 点的坐标；yBAOx（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且CD 1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时C 点的坐标；yBAOC Dx10 点 C 为 AOB 内一点（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点E ，使 CDE 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若AOB 30°， OC 10，求 CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数ACOB学习必备欢迎下载11（ 1）如图，ABD 和 ACE 均为等边三角形，BE、 CE 交于 F，连 AF，求证： AF +BF +CF CD ；（ 2）在 ABC 中， ABC 30