函数周期与对称轴

1、精品资料欢迎下载抽象函数的周期与对称轴1. 函数 yf ( x) 的图象的对称性（自身）:定理 1:函数 yf ( x) 的图象关于直 xab 对称f (ax)f (b x)f (ab x)f (x) 。特殊的有：2函数函数yf ( x) 的图象关于直线xa 对称f (ax)f (ax)f (2 ax)f (x) 。yf ( x) 的图象关于 y 轴对称（奇函数）f ( x)f (x)。函数 yf (xa) 是偶函数f ( x) 关于 xa 对称。定理 2：函数 yf ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称f (x)2bf (2ax)f (ax)f (ax)2b ；特殊的有：函数函数函数y

2、f (x) 的图象关于点 (a,0) 对称f (x)f (2ax)。yf (x) 的图象关于原点对称（奇函数）f ( x)f ( x) 。yf ( x a) 是奇函数f (x) 关于点 a,0对称。 f (a x)f (b x)f ( x)ab则的图象，以(, 0)为对称中心。42证：方法一：要证原结论成立只需证f (abx)abx)2f (2令 xxb a 代入 f ( a x)f (b x)则 f ( a bx)f ( a bx)222方法二：设y f ( x)它的图象为C;P(x0, y0)C 则P关于点(, 0)的对称点P a b x0,y0)ab(2f (a b x0 ) f a (

3、b x0 )f b (b x0 )f (x0 ) f ( x0 )y0 f (a b x0)y0 P C定理 3：（性质）若若若y f ( x) 的图像有两条铅直对称轴 x=a 和 x=b(a 不等于 b), 那么 f (x ) 为周期函数且 2|a-b| 是它的一个周期。yf ( x) 的图像有一个对称中心M(m.n) 和一条铅直对称轴x=a, 那么 f ( x ) 为周期函数且4|a-m| 为它的一个周期。yf ( x) 图像同时关于点A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ a b），则 f ( x ) 是周期函数，且2| a b| 是其一个周期。若一个函数的反函数是它本身,

4、那么它的图像关于直线y=x 对称。2. 两个函数图象的对称性 :函数 yf ( x) 与函数 yf (x)的图象关于直线x0 ( 即y 轴 ) 对称 .函数 yf (mx a) 与函数 yf (bmx) 的图象关于直线xab 对称 .2m特殊地 :y f (x a) 与函数 yf (ax) 的图象关于直线 xa 对称函数 yf ( x) 的图象关于直线xa 对称的解析式为yf (2 ax)函数 yf ( x) 的图象关于点 ( a,0)对称的解析式为yf (2ax)3. 若 f ( x) 是偶函数，则必有f ( axb)f (axb)；若 f ( x) 是奇函数，则必有 f ( axb)f(a

5、xb)若 f ( axb) 为偶函数，则必有f (ax b)f ( axb) ；若 f (ax b) 是奇函数，则必有f (axb)f (ax b)2. 函数的周期性的主要结论：结论 1 ：如果 f ( xa)f(xb) （ ab ），周期 Ta b结论 2 ：如果 f ( xa)f ( xb) （ ab ），周期T2 ab证：令 xx af ( x)f (xba)令 xx bf ( xa b)f ( x) 由得：f x( ab)f x(ba)f x( ab)f x(ba) T 2 b a精品资料欢迎下载结论 3 ：如果定义在 R 上的函数f ( x) 有两条对称轴xa 、 xb 对称，那么f

6、 ( x) 是周期函数，其中一个周期 T2 ab结论 4：如果偶函数f (x) 的图像关于直线 xa （a0）对称，那么f (x) 是周期函数，其中一个周期T2 a结论 5：如果奇函数f (x) 的图像关于直线 xa （a0）对称，那么f (x) 是周期函数，其中一个周期T4 a结论 6：如果函数同时关于两点a, c、 b, c （ ab ）成中心对称，那么 f(x) 是周期函数，其中一个周期T2 ab结论 7：如果奇函数f (x) 关于点a, c （ a0 ）成中心对称，那么f (x) 是周期函数，其中一个周期T2 a结论 8：如果函数f ( x) 的图像关于点a, c（ a0 ）成中心对称

7、，且关于直线x b （ ab ）成轴对称，那么f ( x) 是周期函数，其中一个周期T4 ab结论 9 ：如果 f ( xp)1或 f ( x p)1，那么 f (x) 是周期函数，其中一个周期 T2 pf ( x)f (x)结论 10 ：如果 f ( xp )1f ( x) 或 f ( xp )1f ( x) ，那么 f ( x) 是周期函数，其中一个周期T 2 p21f ( x)21f ( x)结论 11 ：如果 f (xp)f ( x) ，那么 f ( x)是周期函数，其中一个周期典型例题1：设 f (x) 是定义在 R上的函数，x R 均有f ( x)f ( x 2) 0 当 1 x1

8、时 f ( x)2x 1 ，求当 1x3 时， f ( x) 的解析式。解： 由 xR 有 f ( x)f ( x2)得T 4设 x(1 , 3 则 ( x 2) (1,1f ( x 2)f ( x 2 4)f (x 2)f ( x) f (x)f (x 2)2( x 2) 12x5 1 x 3时 f (x)2x 5例 2：已知 f (x) 满足 f ( x2)f (x2) ，f (4 x)f ( 4 x) ，当 6x2 时，f ( x) x 2bx c 且 f (4)13 ，若 mf ( b ) ，3n f ( c ) ， p f (11) 求 m 、 n 、 p 的大小关系？ 2解： x

9、= 0 ，x =1 是 y = f (x) 对称轴。 T=2 f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f ( 0.6 ) = 0.3例 3：定义在 R 上的非常数函数满足：f (10+x) 为偶函数，且f (5 x) = f (5+x), 则 f (x) 一定是（）（第十二届希望杯高二）(A) 是偶函数，也是周期函数(B) 是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D) 是奇函数，但不是周期函数解： f (10+x) 为偶函数， f (10+x) = f (10 x). f (x) 有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x) 是以 1

10、0 为其一个周期的周期函数，x =0 即 y 轴也是 f (x) 的对称轴，因此f (x) 还是一个偶函数。故选(A)例 4：设定义域为 R 的函数 yf (x ) 、 yg( x ) 都有反函数，并且 f (x 1) 和 g 1 ( x2)函数的图像关于直线 y=x 对称，若g(5) 1999那么 f (4)（ C）。A 1999 ； B 2000 ； C 2001；D2002 。解： T4，对称轴 x4 x4 也为一条对称轴b4 b8f (4c6424)134c 3 mf (83f (3) ， nf ( ) ， p f (11)32 n m p练习：设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函

11、数， 且 f (1x )f (1x ) ,当 1 x0， f ( x )1 x ，则 f(8.6)= _解： f (x1) 和 g 1 ( x 2)函数的图像关于直线y=x 对称f ( x 1)g(x) 2有 f (5 1) g(5) 2例 5：若函数 y=f(x)的图像有一个对称中心A(a ,c) 和一条对称轴 x=a, 那么 f(x)为周期函数且 4|a-m| 为它的一个周期。解析 y = f (x) 图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， f (x) + f (2a x) =2c，用 2b x 代 x 得：f (2b x) + f 2a (2bx) =2c （*）又函数 y = f

12、(x) 图像直线x =b 成轴对称，2精品资料 f (2b x) = f (x) 代入（ *）得：f (x) = 2c f 2(a b) + x （ * ）， x=2（a b） x 得 f 2 (a b)+ x = 2c f 4(a b) + x 代入（ * ）得： f (x) = f 4(a b) + x, 故 y = f (x) 是周期函数。练习 1：若函数 f (x) (xa) 3xR 有f (1x)f (1x) 求 f ( 2)f (2)。解：f (1x)f (1 x) 知 f (x) 图象关于 (1 , 0)对称而 f ( x)( x a) 3的对称中心 P(a , 0) a1 f

13、(x)(x 1)3 则 f (2)f (2) 1 (3)3262 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数且满足f ( x)f ( x 1) 1，当 x 0 , 1 时有 f (x)x2 则1 f ( x) 是周期函数且周期为22 当 x1, 2 时， f ( x)2x x 23 f (2004 , 5)3其中正确的是 12 343.对于 yf ( x) ， xR 有下列命题。1 在同一坐标系下，函数yf (1x) 与 yf (1x) 的图象关于直线 x1对称。2 若 f (1x)f (1x) 且 f (2x)f (2x) 均成立，则 f ( x) 为偶函数。3 若 f ( x1)f (x1

14、) 恒成立，则yf ( x) 为周期函数。4 若 f ( x) 为单调增函数，则yf ( a x ) （ a0 且 a 1 ）也为单调增函数，其中正确的 2 34. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期是，且当 x0 , 时， f ( x)sin x 求25) 的值。f (3解 f (5) f (2)f ( 2)f ()f ()sin333333325. 设 yf ( x) 定义在 R 上，m，nR 有f (mn)f ( m)f (n) 且当 x0时， 0f (x) 1（ 1）求证：f (0)1且当 x0时， f ( x)1（ 2）求证：f (x

15、) 在 R上递减。解： 1 令 m1， n0 得 f (1)f (1) f (0) 0f (1)1f (0)1设 x0 ，则x0+欢迎下载有 f (0)f ( x) f ( x) f ( x)11f (x)（ 2）设 x1x2 则 x2x100 f (x2x1 ) 1f ( x2 )f ( x1 ) f ( x2x1 ) 即 0f (x2 )1f (x1 )f ( x2 )f (x1 )f ( x) 在 R上递减【模拟试题】1. 已知 f ( x) 满足 f ( x3)f ( x) ， xR 且 f( x) 是奇函数，若 f (1)2则 f (2000)（ B ）A.2B.2C.32D.322

16、. 已知 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且f ( x4)f (x) 对任何实数均成立，当0x2 时， f ( x)x ，当398x400时， f ( x)（C ）A. x400 B.x398 C. 400x D. 398x3. 若函数 f ( x)3sin(x) ，xR 都有f (6x )f (x) 则 f () 等于（ D）66A.0 B.3C.3 D.3或34.函数 ycos(32 x) 是（ C）2A.周期为2 的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为 4的奇函数5.f (x)2sin(2x) 的图象关于 y 轴对称的充要条件（ C）A.2kB.2kC.kD.k22

17、6. 如果 f (x)f (x) 且 f(x)f (x) 则 f( x) 可以是（ D）A. sin 2xB.cosxC.sin xD.sin x7.ysin(x)3cos(x)为偶函数的充要条件是（B）A.2kB.kC.2kD.k36668.设 f (x) 是 R 上的奇函数， f (x2)f ( x) 当0x 1时， f ( x)x ，则 f (7.5)（ B）A. 0.5B.0.5C. 1.5D.1.59. 设 f (x)x2bxc，x t有 f (2t)f (2t)那么（A）A.f (2)f (1)f (4)B.f (1)f (2)f (4)C.f (2)f (4)f (1)D.f (

18、4)f (2)f (1)10.yf ( x) 定义在 R 上，则 y f (x1)与 yf (1x)的图象关于（ D）精品资料A. y0对称 B.x0 对称 C. y1对称 D. x1对称11.f (x) 是 R 上的奇函数，且 f (x2)f (x) ，则f ()f (2)f (3)f (2003)0。12.ysin(2 x) 图象的对称轴中最靠近y 轴的是 x。31213.f (x) 为奇函数，且当 x0时， f (x)x x2 则当 x 0时 f ( x)x x2 。14. 偶函数 f ( x)的定义域为 R，且在 (, 0) 上是增函数，则下列正确的是 (2)。1） f ( 3)f (

19、 a2a 1) 2 ） f ( 3)f (a 2a 1)443） f ( 3)f (a2a1) 4 ） f ( 3 )f (a 2a 1)4415如果函数 yf (x) 的图象关于 xa 和 xb(ab) 都对称，证明这个函数满足f 2(ab)xf ( x)f()(2)(2)2b x A证：令，则f 2(ab)Af ( A) 即 f 2(ab)x f ( x)3. 已知f ( x)x 2bxc 对任意实数 t都有f (1t)f (1t ) ，比较 f ( 1) 与 f (2)的大小。2解：对称轴是 1 f( 1) f ( 3 )f(2)224. 定义在实数集上的函数f ( x) ，对一切实数x 都有f (1x)f (2x) 成立，若方程 f ( x)0 仅有 101 个不同实根，求所有实根之和。解：设 u2x 即 x2u f (u)f (3u)所有实根之和为10133032 25. 求证 :若 f x x R 为奇函