江苏东海高复中心高三数学综合训练

1、江苏省东海高复中心2009届高三数学综合训练(满分160分，答题时间120分钟)一、填空题(每小题 5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的指定位置内)1 .若 zwC,且(3+z)i =1 ,则 z=。2 .已知全集 U =R,集合 A=x|x2-2x-3<0, xe R , B =x|x 2|<2, xw R,那么集合aDb=。3 .从2008名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样 从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率I1S 0While I < mS- S+II1+1End while Pr

2、int S End为 .4 .已知实数a >0,直线l过点P(2, -2),且垂直于向量>*m =(3, 3),若直线 l 与圆 x2 + y2 -2ax + a2 a = 0相交，则实数a的取值范围是。5 . 下面求1+4+7+10+, +2008的值的伪代码中， 正整数m的最大值为.6 .在数列 Qn)中，&=0, 22=2,且2门也一2门=1十(一1) (n 匚 N1*), S100 。7 .在 AABC 中，AB=4, B=±，AABC 的面积为 J3 ,则 AC =。38 . 设 p： x|x+1|=2x2, q： (x+1)2=4x2,贝U p 是 q

3、 的 条件.9 .已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且AP=J2,则动点P的 轨迹的长度是.一 . x10 .某同学在研究函数 f (x) =(x R)时，分别给出下面几个结论：1 |x|等式f(x)+f(x)=0对xWR恒成立；若f(x1)¥ f (x2)，则一定有x1#x2；若m >0 ,方程| f (x) |二m有两个不等实数根；函数 g(x) = f (x) -x在R上有三个零点。其中正确结论的序号有 。(请将你认为正确的结论的序号都填上)11 .对于实数 x,若nCZ, nWxvn+1,规定x=n,则不等式 4x2-40x+75。的解集

4、是.12 .已知集合 A=z|z=1 + i+i2+in,nWN*, B=co|8=4马，z1 > z2e A,(4可以等于z2),从集合B中任取一元素，则该元素的模为 <2的概率为 o13 .已知函数f(x) =xCOSx*COSx*sinx+2 (xC -8兀，8兀)的最大值为 M,最小值为 cosx 2m,贝U M + m=14 .将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的 直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”。(1)直角三角形具有性质：两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方仿照此性质写出直角三棱锥具有的

5、性质：。(2)直角三角形具有性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：。二、解答题(共6大题，满分90分.解答须写出必须的解题过程.)15 .已知函数 f (x) = cos2 x - sin2 x 2 3sin xcosx 1.(1)求f(x)的最小正周期，并求 f(x)的最小值；(2)若f(a)=2,且aw土二求式的值。 4 216 .随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数)，每人每年可创利 10万元.据评估，在经营条件不变的前提下，有越曼x人，则留岗职员每人每年.多创利0.1x万元

6、，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？2x17 .已知双曲线ay2=1的渐近线方程为y =±xb233A( a, 0 ) ,B卜0 b勺直线为l,原点到直线l的距离是 .2(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y =x+ m交双曲线于不同的两点C, D,问是否存在实数 m,使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。18 .如图是表示以 AB=4, BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体, 其中四边形 EFGH为截面.已知 AE=

7、5, BF=8, CG=12.f (x)称为G函数。(1)作出截面 EFGH与底面ABCD的交线l;(2)截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论;(3)求DH的长.19 .对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数对任意的xw0, 1,总有f(x) >0；当 Xi 之0, x2 之 0, Xi +x2 <1 时，总有 f (Xi +x2)之 f (Xi) + f (x2)成立。已知函数g(x) =x2与h(x) =a 2x1是定义在0, 1上的函数。(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数a组成的集合；(3)在(2)的条件下

8、，讨论方程 g(2x)+h(2x + 1) = m (mW R)解的个数情况。_ _x20 .已知点列Bi(1,必)，民(2, y2),，Bn(n, %),(n N*)顺次为直线y =一上的点， 4点列A(Xi,0)A2X(2, 0) ,AnXn(,0*N *)顺次为x轴上的点，其中Xi =a ( 0<a < 1)对任意的nN*,点An、Bn、An中构成以Bn为顶点的等腰三角形。(1)证明：数列yn)是等差数列；(2)求证：对任意的nW N * , xn七-xn是常数，并求数列 &n的通项公式；(3)对上述等腰三角形 AnBnAn+添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。(

9、根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分)江苏省东海高复中心2009届高三数学综合训练参考答案1.- 3-i 2. x|0 <x <3 3.8.既不充分也不必要9.12513ji24.2,8 5.2011 6. 255010. 11. 3.8) 12.7.,1322 13. 2714.在直角三棱锥中，三个直角面的面积的平方和等于斜面面积的平方;在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一。二.解答题15.（本题满分12分）解:(1) f (x) = cos2 x -sin2 x +23sin xcosx +1 = J3sin2x + cos2x + 1= 2sin(2x -

10、) 1.因此f （x）的最小正周期为 冗，最小值为-1.(2)由 f (口)=2得 2sin(2口 +.一 /1一)+1=2,即 sin(2口 +)=-662而由: 一42272： 一 一：.一二63616.一 二 5故 2a +-=-Ji ,66（本题满分14分）JT解得二一3解：，设裁员x （ x（0, 50xw N*）人，可获得的经济效益为 y万元，则y =(2a -x)(10 0.1x)-4x12x2 -2(a-70)x 20a10_ _ _ *x (0,50 x N当 0 <a70 <50，即70 <a M120时,x =a 70,y 取到最大值;当 a70>

11、50,即120<2<210时,x =50,y取到最大值;12分答：当70 < a ? 120时，公司应裁员a - 70人，经济效益取到最大值当120 < a < 210,公司应裁员50人， 经济效益取到最大值17.（本题?荫分14分）解：(1) b_ = " 2 分a 3,V3* 4 分.2原点到直线AB: 土_上=1的距离，d _ ab _ ab = a b 一一、, a2b2- - c 一2“x 2 db =1,a =瓜故所求双曲线万程为-y =1.3(2 )把 y = x + m 代入 x2 3y 2 = 3 中_2422x 6mx 3m 3=0.

12、设C(x1，y1), D(X2, 丫2),则3m23x1x2 - -3m, x1 x2 = , F( - 2, 0),2因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F,所以FCf6=0可得 (x1 + 2) (x2 + 2)+ y y = 0 把 y1 =x1 +m, y16分消去 y , 整理得8分,10 分=x1 +m代入，解得：m =3± J2 13 分解4 >0,得 m2 >2,= m=3±J2 满足 A >0, m m = 3±2 14分18. (1)作HE与DA勺交点P,彳GF与CB的交点Q连PCW直线l ,它便是所求作.(2)截面EFGH

13、菱形.因平面ABF日平面DCGH且平面EFGHHW平面 ABFEW平面DCGHI直线EF与GH 故 EF/ GH同理，FG/ EH故四边形EFGH平行四边形.又 eF=aB+(BEAB2=25, fG=bC+(CGBF)2=25,于是EF=FG=5,故四边形EFGHJ菱形.(3)由 AEbCGBF+DH 得 D等9.1 9 .(本题满分1 6分)解：(1)当xW 10,1】时，总有g(x) =x2 >0 ,满足，1分当 x1 2 0, x2 20, x1 +x2 W1 时，g(x1 +x2) =(x1 +x2)2 =x12 +x22 +2x1x2 Axi2 +x22 =g(x1) + g

14、(x2),满足4分(2)若a<1时，h (0) =a1<0 不满足，所以不是 G函数； 5分若 a* 时，h( x) =a2x-1,在 x £ 0,1上是增函数，h (x)h( 0) = a1 之 0,满足6分由 g(Xi +X2)之g(Xi) +g(X2),得 a -2xHx2 -1 >a 2x1 -1 +a 2x2 1 ,即 a1 -(2x1 -1)(2X2 -1) <1 , 7 分因为 X1 :二 0, X2 :二 0, X1x2 < 1所以 0W2X11W10W 个1 E 1 X1 与 X2 不同时等于 10 <( 2X1 -1)( 2X1

15、 -1) <1,0 ：1 -(2X1 -1)( 2X1 -1) <11a X：X：1 -(2X1 -1)( 2X1 -1)当 X1 = X2=0 时，（1 -(2X1 -1)(2X1 -1)min 一144所以数列yn）是等差数列.4分（2）由题意得Xn Xn 1=n，即 XnXn 1 =2n综合上述：a 1 1 0分(3)根据(2)知： a=1,方程为4X+22+1 =m , 11分，X 2令 4X=t tw1,4方程为 t +,=m+1 12分13分由图形可知:当m气2五152,-时,有一解； 2当m亡（2/21,2时，有二不同解；当m （ （°°, 2J2

16、 1） = （一 ,*）时，方程无解。16分220.（本题满分1 8分）n1斛：（1）依题息有yn，于是yn 1 - yn.所以又有xn虫+xn,=2(n+1).由得：xn也xn=2,所以Xn卡Xn是常数.6分由 X1, x3,x5, ；x2 ,x4,x6,都是等差数列.x1 =a(0 <a <1), x2 =2 a ,那么得x2k,=x1 +2(k 1) = 2k + a 2 ,x2k -x2 2(k1)=2 a 2(k -1) -2k-a.(k N )n + a -1 (n为奇数)“- n -a(n为偶数).(3)提出问题：若等腰三角形 AnBnAn书中，是否有直角三角形，若有

17、，求出实数a提出问题：若等腰三角形 AnBnAn书中，是否有正三角形，若有，求出实数 a解：问题 当 n为奇数时，A(n+a1,0),从书(口+12,0),所以 AnA书=2(1 a);当n为偶数时，An(na,0),An书(n+a,0),所以 凡人书=2a;作BnCn _Lx轴,垂足为Cn,则BnCn|=n,要使等腰三角形 AnBn An书为直角三角形，必须且 4只须：|AnAn+|=2EnCn|. 13 分当n为奇数时，有2(1 -a) =2x-,gpa=1 -44， 一 3, 一 1_二 当n=1时，a= ；当n=3时，a =, 当n之5, a< 0不合题意.15分44当n为偶数时，有2a =2黑口，a=匚，同理可求得当n = 2寸 中442当n之4时，a <0不合题意.17分3.1 ,1综上所述，使等腰二角形AnBnAn+中，有直角三角形，a的值为一或一或一4421 8分解：问题1 1分当 n为奇数时，A(n+a1,0),An噌(n+1a,0)J5W 4%十=2(1 a);当 n 为偶数时，An(na,0),An 由(n+a,0),所以 AnAn+ =2a;作BnCn _LX轴,垂足为Cn,则B°Cn = n ,要使等腰三角形BnA书为正三角形，必须且只4须:AnAn