高中数学题库高一部分-D三角函数-三角函数的图像和性质

1、.(文）已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.答案：（），函数的最小正周期为.（）由，在区间上的最大值为1，最小值为.来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：中档对于函数f(x)=下列四个命题中正确的是（ ） A、该函数的值域是-1，1B、当且仅当时，该函数取得最大值1C、该函数是以为最小正周期的周期函数D、当且仅当(kZ)时f(x)<0答案：D来源：题型：选择题，难度：中档已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的值域. 答案： （I）函数的最小正周期是 （II） 所以的值域为：来源：09年浙江绍兴月考一题型：解答题，难度：中档已知函数,试求:(1)的

2、最小正周期; (2)当时,的最值及其对应的的值.答案：= (1)的最小正周期T= (2), 当即=0时,的最小值为当即=时,有最大值来源：09年福建福州市月考二题型：解答题，难度：中档已知函数的最大值为3,的图像的相邻两对称轴间的距离为2,在轴上的截距为2.(1)求函数的解析式；(2)求的对称中心.(3)设数列为其前项和,求.答案：(1),依题意 又得, .令得即,又, 所以函数的解析式为.(2)由得,故函数的对称中心为()(3)由知当为偶数时,;当为奇数时,(此题亦可:因,故.) 来源：09年福建福州市月考二题型：解答题，难度：中档如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛

3、道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0, >0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 答案：解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在MNP中MNP=120°，MP=5，设PMN=，则0°<<60°由正弦定理得,故0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30°时

4、，折线段道MNP最长解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MNP=即故从而，即当且仅当时，折线段道MNP最长来源：09年高考福建卷题型：解答题，难度：中档已知二次函数的图象过点（0，-3），且的解集.（）求的解析式；（）求函数的最值.答案：（）由题意可设二次函数f(x)=a(x-1)(x-3)(a<0) 当x=0时,y=-3,即有-3=a(-1)(-3), 解得a=-1,f(x)= -(x-1)(x-3)=, 的解析式为=. （）y=f(sinx)= =. , ,则当sinx=0时,y有最小值-3;当sinx=1时,y有最大值0. 来源：0

5、9年山东潍坊市月考一题型：解答题，难度：中档 已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.()求的解析式；（）当，求的值域. 答案：（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上的故 . 又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为-1,2 . 来源：09年高考陕西卷题型：解答题，难度：中档(文）已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为. ()求的解析式；（）当，求的最值.答案：（1）由最低点为 由由点在图像上得即所以故又，所以所以（）因为 所以当时，即x=0时，f(x)取得最小值1；来

6、源：09年高考陕西卷题型：解答题，难度：容易(文）已知函数其中，（I）若求的值； （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。答案：解法一：（I）由得即又. （）由（I）得，依题意， 又故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当即 从而，最小正实数解法二：（I）同解法一（）由（I）得， 依题意，. 又，故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当对恒成立亦即对恒成立。即对恒成立。故. 从而，最小正实数来源：09年高考福建卷题型：解答题，难度：中档已知的最大值为3

7、，求实数m的值.答案：.令. 4分综上，.来源：1题型：解答题，难度：中档化简并求函数的值域和最小正周期.答案：解: ，的值域是，最小正周期是来源：05年广东题型：解答题，难度：中档已知函数求使为正值的的集合.答案：解：2分4分 6分8分10分 又 12分来源：05高考题型：解答题，难度：较难设函数.若当时.f(-2m-2)<0恒成立.求实数的取值范围.答案：由.知是奇函数.而得在R上为增函数.则有.令有.恒成立.将转化为:.(1)当时.;(2)当时.由函数在上递减.知当时. .于是得.综(1).(2)所述.知.来源：1题型：解答题，难度：中档如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近

8、似满足函数（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式；答案：解：（1）由图示，这段时间的最大温差是（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期，解得由图示，这时，将代入上式，可取综上，所求的解析式为（）来源：02全国高考题型：解答题，难度：中档t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位小时)的函数，记作：y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acos+b。(1)根据上述数据，求出函数y=Acos+b的最小正周期T、振

9、幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？时间最短的一次是什么时候？有多长时间？答案：解：(1)，而A+b=1.5，b=1。再根据T=12，得，(2)由， k=0时，t0，3；当k=1时，t9，15；当k=2时，t21，24 一天内对冲浪爱好者能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共有6个小时，时间最短的一次是早晨零点到3点或晚上21时至第二天零点，时间都是3不时。来源：题型：解答题，难度：中档已知函数ysinxasin2xcosx.（1）当sinx1时，求y的值； （2）若函数的最大值为1，求实数a的取值

10、范围. 答案：（1）显然，当sinx1，时y1（2）由（1）知，函数值中必有1，从而问题就是求使对任意x，总有sinxasin2xcosx1，即gsinxasin2xcosx10成立的a的取值范围。令tsinx (t), 则gsinxa(2sinxcos2x)1sinx2asinx(1sin2x)12at3(12a)t1(t1)(2at22at1)由t1恒成立知，问题即要求使2at22at1，即2at22at1在t时恒成立的a的取值范围。1）当a0时，1显然满足题意2）当a>0时，即为t2t(t)2在t时恒成立，故有(1)2，结合a>0得，3）当a<0时，即为t2t0在t1,

11、1时恒成立，故有0结合a<0得，2a0综合上述1）、2）、3），得所求a的取值范围为来源：1题型：解答题，难度：较难给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，则称函数y=f(x)在D上封闭。（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭，且给出推理过程f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a使函数f(x)=在D2上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由。答案：（1）f1()=0Ï(0,1)，f(x)在D1上不封闭；(2&#

12、162;)f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，0f2(1)f2(x)f2(0)=1，f2(x)Î(0,1)Þ f 2(x)在D1上封闭；(4¢)f 3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，0= f 3(0)f 3(x)f 3(1)=1，f 3(x)Î(0,1)Þf3(x)在D1上封闭；(6¢)f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，cos1=f4(1)f4(x)f4(0)=1，f4(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf4(x)在D1上封闭；(8¢)（2）f (x)=5-，假

13、设f (x)在D2上封闭，对a+10讨论如下：若a+100,则f (x)在(1,2)上为增函数，故应有Þa=2 (10¢)若a+100，则f (x)=5，此与f (x)Î(1,2)不合，(12¢)若a+100，则f (x)在(1,2)上为减函数，故应有,无解,(14¢)综上可得，a=2时f (x)在D2上封闭.来源：08年高考探索性专题题型：解答题，难度：较难已知函数的图象如图所示.（）求函数f (x)的解析式；（）令答案：（）由图象可知，（）来源：题型：解答题，难度：中档已知奇函数f(x)在上有意义，且在上是增函数，f(1)=0。又有函数。若

14、集合，集合。（1）求f(x)<0的解集。（2）求。答案：解：（1）奇函数f(1)=0f(-1)=-f(1)=0又f(x)在（0，+）上是增函数f(x)在（，0）上也是增函数f(x)<0的解集为x|x<-1或0<x<14分（2）N=m | f g ()<0由（1）得N=m | g ()<-1或0<g()<1又M=m | g ()<0，MN=m | g ()<-17分10分且时“=”成立12分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数 () 求的值； () 设，求的值答案：解：()f(x)=sin2x+cos2x,(),(0,),sin

15、>0,故sin=来源：05年浙江题型：解答题，难度：较难设函数（），给出以下四个论断：它的图像关于直线对称；它的图像关于点（）对称；它的最小正周期是；它在区间上是增函数.以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中的一个命题加以证明.答案：解：两个正确的命题为 1）；2）. 4分 命题1）的证明如下：由题设和得=2，.再由得（），即（），因为，得（此时），所以.8分 显然成立.(同理可证2)成立.) 12分来源：题型：解答题，难度：中档对定义域分别是、的函数、，规定：函数（1）若函数，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中

16、是常数，且，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明答案：解（1）（2）当若其中等号当x=2时成立，若其中等号当x=0时成立，函数（3）解法一令则于是解法二令，则于是来源：05年上海题型：解答题，难度：中档已知集合是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T, 对任意XR,有f(x+T)=Tf(x)成立（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由（2）设函数的图象与y=x的图象有公共点，证明f(x)=M（3）若f(x)=sinkxM,求k的取值范围。答案：（1）f(x+T)=x+T=Tx 不能恒成立，所以不属于M（2），所以存在T,使，属于M（3）sink(x+T)=Ts

17、inkx 当k=0时，等式成立,由等式可知T=1或1，当T=1时，k=2m, 当T=1时, k=(2m+1)(mZ),所以k=n(nZ)来源：题型：解答题，难度：较难已知函数的定义域为，值域为试求函数（）的最小正周期和最值答案：已知函数的定义域为，值域为试求函数（）的最小正周期和最值解： 当0时，解得从而， ，T=，最大值为5，最小值为5；当m0时， 解得，从而，T=，最大值为，最小值为来源：09年江苏南通月考一题型：解答题，难度：中档已知函数（I）求函数的最小正周期和最大值；（II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.答案：解（I） 5分函数的最小正周期为，最大值为3. 7分（II）来源

18、：题型：解答题，难度：中档求y=3sin（2x+）的最小正周期，最大值，递减区间，并说明由y=sinx如何变化得到y=3sin（2x+）的图象；答案：T=最大值是3递减区间2k2x+2k2k2x2k kxk （kZ）所以递减区间为k，k （kZ）Sinx向左平移得sin（x+）的图象，横坐标缩为原来的一半得sin（2x+）的图象，纵坐标伸为原来的3倍得3sin（2x+）的图象；来源：09年海南省三亚市月考一题型：解答题，难度：中档已知函数，且存在非零常数（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明；（3）求证是周期函数，并求出的一个周期.答案：（1）均有4分 （2）令为偶函数 8分 （3）13分来源

19、：09年北京东城月考一题型：解答题，难度：中档已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求的表达式；（2）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的表达式。答案：（1）f(x)2sin(-) 因为f(x)为偶函数，所以-又因为0，所以-.f(x)2sin(+)=2cos. 由题意得, 所以，故f(x)=2cos2x. （2）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.所以来源：09年湖南月考三题型：解答题

20、，难度：中档已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）求函数的值域. 答案： （I）函数的最小正周期是 （II） 所以的值域为：来源：09年浙江绍兴月考一题型：解答题，难度：中档已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.答案：解：由来源：03年江苏题型：解答题，难度：中档已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=axM；（3）若函数f(x)=sinkx

21、M ,求实数k的取值范围.答案：解（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意xR，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=axM.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0M.当k0时，因为f(x)=sinkxM，所以存在非零常数T，对任意xR，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .因为k0，且xR

22、，所以kxR，kx+kTR，于是sinkx 1，1，sin(kx+kT) 1，1，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2m, mZ . 当T=1时，sin(kxk)=sinkx 成立，即sin(kxk+)= sinkx 成立，则k+=2m, mZ ，即k=2(m1) , mZ .综合得，实数k的取值范围是k|k= m, mZ来源：03年上海题型：解答题，难度：较难已知电流I与时间t的关系式为（）右图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么

23、的最小正整数值是多少？答案：解：（）由图可知 A300，设t1，t2， 则周期T2（t2t1）2（） 150 4分又当t时，I0，即sin（150·）0，而， 故所求的解析式为 8分（）依题意，周期T，即，（>0） 300942，又N*，故最小正整数943 12分来源：题型：解答题，难度：较难已知函数y=f(x)满足f(x)=(1)分别写出x,)时y=f(x)的解析式f1(x)和x1,2)时y=f(x)的解析式f2(x);并猜想xn,n+1,n-1,nZ时y=f(x)的解析式f n+1(x)（用x和n表示）（不必证明）；（2）当x=n+ (n-1,nZ)时，y=f n+1(x)

24、 xn,n+1）,(n-1,nZ)的图象上有点列A n+1（x,f(x)）和点列B n+1(n+1,f(n+1),线段A n+1B n+2与线段B n+1A n+2的交点C n+1,求点C n+1的坐标（a n+1(x),b n+1(x)）;(3)在前面（1）（2）的基础上，请你提出一个点列C n+1(a n+1(x),b n+1(x)的问题，并进行研究，并写下你研究的过程.答案：（1）x0,1)时，x-1-1,0),f1(x)=f(x-1)+1=sin(x-1)+1=1-sinx.x1,2)时，x-10,1),f2(x)=f(x-1)+1=1-sin(x-1)+1=2+sinx.xn,n+1

25、),n-1,nZ时，f n+1(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=n+1+(-1) n+1sinx.(2)当x=n+,A n+1(n+,n),B n+1(n+1,n+2),=1,=4,=4.C n+1是平行四边形A n+1A n+2B n+2B n+1的对角线的交点，C n+1(n+,n+).(3)第一类，例如：在（2）的条件下，点C n+1与C n+2之间具有怎样的数量关系.解答：C n+1C n+2=2,第二类，例如：在（2）的条件下，在C n+1与C n+2之间具有怎样的位置关系解答：C n+1与C n+2在直线y=x+上.第三类，例如：把（2）的条件x=n+改成xn,n+1)时

26、，点C n+1an+1(x),bn+1(x)的运动曲线是什么？解答：即yc=只需写出一个区间段上即可.来源：1题型：解答题，难度：较难已知函数，的最大值是1，其图像经过点.（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值.答案：（1）依题意有，则，将点代入得，而，故；（2）依题意有，而，。来源：08年高考广东卷题型：解答题，难度：容易设sinx+cosx+a=0在0，内有且只有两个x的值x1和x2使等式成立.（1）求常数a的取值范围；（2）求x1+x2的值.答案：解：（1）由条件得=sin(x+).3分0x,x+.6分结合函数y=和y=sin(x+)的图象，易知<1.2<a就是所求.9分（

27、2）x0, ,当2<a时，函数图象关于直线x=对称，故x1+x2=.来源：题型：解答题，难度：中档已知函数f(x)= asin2x在x= 时取到最大值.(1) 求函数f(x)的定义域;(2)求实数a的值.答案： (1) x要满足cos2x0, 从而2xk (kZ)因此f(x)的定义域为x|xk, (kZ) (4分)(2)由f(x)= asin2x=2sin2x(1cos2x)f(x)= 2sin2xcos2x (8分)x=时, f(x)取到最大值, 则2sincos = 3 = , 求得a=4 (12分)因此所求实数a的值为4来源：07年武汉市月考四题型：解答题，难度：中档已知函数（I）

28、求的最小正周期；（II）求函数图象的对称轴方程；（III）求的单调区间.答案：4分（I）的最小正周期.5分（II）Z.函数图象的对称轴方程是 Z.9分（注：若写成）（III）故的单调区间为11分的单调减区间为13分来源：07年北京东城月考三题型：解答题，难度：中档设a Î (0, )，函数f(x)的定义域为0,1，且f(0) = 0，f(1) = 1，当xy时，有f( ) = f(x)sina + (1sina )f(y)。（1）求f( )、f( )；（2）求a 的值；（3）求函数g(x) = sin(a 2x)的单调递增区间。答案：解：（1）f( ) = f( ) = f(1)si

29、na + (1sina )f(0) = sina ,f( ) = f( ) = f( )sina + (1sina )f(0) =sin2a . 4分(2)f( ) = f( ) = f(1)sina + (1sina )f( ) = sina (2sina ),而f( ) = f( ) = f( )sina + (1sina )f( ) = sin2a (32sina ), 6分sina = sin2a (32sina ),sina = 0,sina = 1或sina = . a Î (0, )，a = . 8分(3)g(x) = sin(2x) = sin(2x + ), 10分

30、g(x)的单调递增区间为kp ,kp (k Î Z). 12分来源：题型：解答题，难度：中档设a为常数f (x) = , 如果对任意xR，不等式f (x)+ 4 0恒成立，求实数a的取值范围.答案：f (x)+ 40cos2x (a23a)cosx30设t = cosx则1t1g (t) = t2(a23a)t30 对1t1所有t都成立. (4分)(8分) （10分） 或（12分）解法二： 同解法一得：g (t) = t2(a23a) t30对1t1的所有t均成立（4分）则当0即a3或a0时，g (1)0 a23a20 , a 3a或a0 （7分）当<0即0 < a &l

31、t; 3时，g (1)0a23a + 20 ，a2或 a1 0 < a1或2a < 3 （10分）综合得a1或2a （12分）来源：07年湖北省十一校大联考题型：解答题，难度：较难已知f(x)=，（）求f(x)的定义域、值域；（）若f(x)=2,x,求x的值.答案：解：（）f(x)=2分=.4分由1+sin2x0，得sin2x1，2x2k.xk(kZ).f(x)的定义域为x|xR，且xk,kZ.6分01+sin2x2，.f(x)的值域为y|y.8分()由f(x)=2，即=2，得sin2x=.9分x,2x,10分2x=或2x=,x=或x=.12分来源：题型：解答题，难度：容易函数为常

32、数，在闭区间上的图象如图所示，则_答案：3【解析】，所以， 来源：09年高考江苏卷题型：填空题，难度：中档函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 _ 答案：1.5来源：09年广东中山市月考二题型：填空题，难度：中档函数,若,则 的值为_.答案：0来源：09年浙江金华市月考一题型：填空题，难度：中档已知函数的最大值是1，其图像经过点，的解析式为_答案：f(x)=cosx来源：09年浙江金华市月考一题型：填空题，难度：中档(文）已知函数的图像如图所示，则 。. 答案：0【解析】由图象知最小正周期T（），故3，又x时，f（x）0，即2）0，可得，所以，20。来源：09年高考宁夏海南卷题型：填空题，难度：容易若奇函数关于对称,则最小正周期为_答案：2a来