江苏省高考文科数学试题及答案

1、数学I试题参考公式圆柱的体积公式： V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：V圆锥1Sh,其中S是圆锥的底面积，h为高.3一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1 .已知集合 A=,2,3,6, B=x-2<x<3,则 A。B=A2 .复数z=(1+2i)(3 i),其中i为虚数单位，则z的实部是 A223 .在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上上=1的焦距是 里734 .已知一组数据 4.748,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 5 .函数y= J3- 2x- x2的定义域是.6 .如图是一个算法的流程图

2、，则输出的a的值是 .7 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .8 .已知an是等差数列，Si是其前n项和.若a1+a22=- 3, S5=10 ,则a9的值是.9 .定义在区间0,3 nrH的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.乂22b10 .如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 x+4=1(a> b> 0)的右焦点，直线 y = 与椭圆ab2交于B, C两点，且NBFC =90，则该椭圆的离心率是.(第10题)x a, -1 _ x 二 0,1

3、1 .设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间?1,1)上，f(x)=2 c (其中a R.x ,0 <x<1,、5.5. 一 9若 f()=f(一)，则 f (5a)的值是. 22x -2y 4-012 .已知实数x, y满足2x+y220 ,则x2+y2的取值范围是.3x - y -3 三 0T T T T13 .如图，在4ABC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点，BC CA = 4，BF CF = 1则BE CE的值是一414 .在锐角三角形 ABC中，若sinA=2sinBsinC,贝(J tanAtanBtanC的最小值是 A二、解答题 (本大题共6

4、小题,共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本小题满分14分)-4. _ _4兀在 ABC 中，AC=6, cos B = , C =.54(1)求AB的长；(2)求 cos(A-)的值.616 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D, E分别为AB, BC的中点，点F在侧棱BB上，且 BD _L AF , AC1 _L A1B1.求证：(1)直线DE/平面AQF；(2)平面 B1DE,平面 A1C1F.17 .(本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P - A B G D

5、下部分的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1 (如图所示)，并要求 正四棱柱的高 QO是正四棱锥的高 PO1的四倍.(1)若AB =6 m, PO1 =2 m,则仓库的容积是多少(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当POi为多少时，仓库的容积最大18 .(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2 + y2 12x14y+ 60 = 0及其上一点A(2, 4)(1)设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；T(3)设点T (t,0)满足：存

6、在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围。19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x)=ax bx(a 0,b 0,a=1,b=1).e1(1)设 a=2,b=_.2 求方程f（x）=2的根;若对任意xwR,不等式f（2x） 2mf（x） -6恒成立，求实数 m的最大值;（2）若0<a<1,b>1 ,函数g（x）= f （x2有且只有1个零点，求ab的值.20.（本小题满分16分）记U =1,2，,100.对数列以（作 N）和U的子集T ,若T =0，定义St =0 ；若T =1承2,，tj ,定义S =%+%+弱.例如：T=1,3,66时，St =

7、a + S3+现设 an（nw N* ）是公比为3的等比数列，且当T = 2,4时，St =30.（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数k（1EkE100 ）,若T £ 1,2，k,求证：&<ak书；（3）设 C U, D U,ScSd,求证：Sc Scd_2Sd.21.【选做题】本题包括A、B、数学R （附加题）C、D四小题，请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.【选修4一1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在 BBC中，/ ABC=90°, BDXAC, D为垂

8、足，E是BC的中点，求证：/ EDC = /ABD.B.【选修42:矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1 2A = h _2 ,矩阵B的逆矩阵B =,求矩阵AB.C.【选修44 ：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系1x =1 - txOy中，已知直线l的参数万程为2_2（t为参数），椭圆C的参数3.rx =cos 1, 方程为y =2sin 1（日为参数）.设直线l与椭圆C相交于A, B两点，求线段 AB的长.D.设 a>0, |x-1|< a , |y-2|a ,求证：|2x+y-4|a. 33【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答

9、题卡指定 区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l： x-y-2=0,抛物线C： y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线 C的方程；(2)已知抛物线 C上存在关于直线l对称的相异两点 P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2-p, -p);求p的取值范围.23.(本小题满分10分)(1)求 7c6 WC4 的值；(2)设 m, n= N*, n汨，求证： mmmmmm+2(m+1) Cm+ (m+2) Cm+1 + (m+3) Cm+2+nCnl+ (n + 1) Cn = (m+1

10、) Cn+2 .参考答案1. ：-1,2?2.53. 2 .104.0.15. 1-3,116.97. 5.68.20.9.7.10.11.12.45,1313.14.8.15.解(1)因为 cosB =4,0 <B <n,所以 sin B =41 -cos2 B =Ji -()2 =-, 5.556 AC ABAC sin C 2 一由正弦定理知 =,所以 AB =-2 =5V2.sin B sin Csin B 35(2)在三角形 ABC 中 A + B+C =n，所以 A=n (B+C).于是 cosA = -cos(B C) = -cos(B ) = -cosBcos si

11、n Bsin ,444 又 cosB =-,sin B =3,故 cosA = -k +3x =55525210因为 0 <A <n ,所以 sin A = Ji cos2 A =721023 7. 2 17 2 -6因止匕 cos(A - -) =cosAcos sin Asin = 一 - =.6661021022016 .证明：(1)在直三棱柱 ABCA1B1c1 中，AC/AC1在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.所以 DE / /AC ,于是 DE /AC1又因为DE辽平面AC1F,AC1u平面AC1F所以直线DE平面AC1F(2)在直三棱柱 ABCA1B

12、1C1中，AA1_L平面AB1G因为 AC1U 平面 A1B1C1 ,所以 AA1 1A1C1又因为 AC1_LAB, AA1 仁平面 ABB1A,AB1 u 平面 ABBA, AB 口 AA1 = A所以AC1 _L平面ABB1A因为 B1D U 平面 ABB1A1 ,所以 AC1 _LB,D又因为 B1D_LAF, AC1 U 平面 A1clF,A1F 仁平面 A1clF,AC1nAF =A所以B1D _L平面A C1F因为直线 BDU平面B1DE ,所以 平面BQE _L平面AC1F.17 .本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运 用数学模

13、型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：(1)由 PO=2 知 OO1=4PO1=8.因为 A1B1=AB=6 ,1c1co所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积柱=一 AB12 .PO1 =父62父2 = 24 m3 ; 33正四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1 的体积柱=庆82 OO1 =62><8=288(m3).所以仓库的容积 V=V锥+V柱=24+288=312 (m3).(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 0<h<6,OO 1=4h.连结 O1B1.因为在 RT&PO1B1 中，OB12 +PO12 = PB1；所以

14、2 | +h2 =36,即 a2 =2(36h2 ),2一 I一o1 o于是仓库的容积V =V锥-V柱=a2 4h -a2 h13 2263=一 a2h = 36h - h3 , 0 :二 h :二 6332699从而 V'=36-3h2 =26 12-h2 .3令 V'=0 ,得 h =2弗或 h = 2J3 (舍).当0 ch <2j3时，V'a0 , V是单调增函数;当2j3ch<6时，V'<0, V是单调减函数故h =2j3时，V取得极大值，也是最大值.因此，当POi =2j3时，仓库的容积最大.18 .本小题主要考查直线方程、圆的方程

15、、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.22解：圆M的标傕万程为(x 6 ) +(y7) =25,所以圆心 M(6, 7),半径为5,.(1)由圆心在直线 x=6上，可设N(6,y0 )因为N与x轴相切，与圆 M外切,所以0 <y0 <7 ,于是圆N的半径为y0,从而7 y0 =5 + y0,解得y0 =1.一 一 22因此，圆N的标准万程为(x6 )十(y 1 ) =1.(2)因为直线l|OA,所以直线l的斜率为4s0=2.2 -0设直线l的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0 ,则圆心M到直线l的距离因

16、为 BC =OA= . 22 42 =2 .5,而 MC2 -d2 -IBC-,22所以 25 +5 ,解得 m=5 或 m=-15.5故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设 P(x,v )QU.)T T -x2 x. 2-t因为A(2,4),T(t,0 )TA+TP=TQ,所以2W 422因为点Q在圆M上，所以(x2 6) +(y27) =25.将代入，得(x1 t 4 2 +(y1 -3 )2 =25 .一口一_22,于是点P(x1,y1 )既在圆M上，又在圆, x(t +4) +( y _3 ) =25上， ,一一2222从而圆(x6) +(y7) =25与圆-x

17、(t+4) +(y-3) =25没有公共点， 所以 5 5 E J(t+4 ) 62 十(37 )2 E5+5,解得 2 2幅 E t E 2 + 2J21. 因此，实数t的取值范围是一22j21,2十2J2T1.119. (1)因为 a=2,b=,所以 f(x)=2x+2J2方程 f (x) = 2 ,即 2x +23 = 2,亦即(2x)2 -2x2x+1 = 0,所以(2x -1)2 =0,于是 2x =1 ,解得 x = 0.由条件知 f (2x) =22x - 22x =(2x 2*)2 -2 =( f(x)2 -2 .因为f (2x)之mf(x) -6对于xw R恒成立，且f (x

18、) >0 ,2 A所以m <对于x w R恒成立.(f(x)2 44而 = f (x)f(x)f(x)f(x)4口( f (0)4,至21f(x), =4,且 =4, f(x)f(0)所以m W 4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数 g(x) = f (x)-2只有 1 个零点，而 g(0) = f(0)-2 = a°+b°-2 = 0 ,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为所以'一- xx .g (x) =a ln a +b ln b ,又由 0 <a <1,b a1 知 ln a < 0,ln b a 0 ,、_ , ln a.

19、g(x)=0有唯一解 =logb(-).a lnb入''xx' x2 x2令 h(x) = g (x),贝U h (x) =(a ln a +b ln b) = a (ln a) +b (ln b),从而对任意xWR, h'(x)>0,所以g'(x) =h(x)是(s,+")上的单调增函数，于当 x u (-00, %) , g (x) Mg (Xo) =0 ；当 xu (x0,收)时，g (x) A g (Xo) =0.因而函数g(x)在(-g,Xo)上是单调减函数，在(X0,+g)上是单调增函数 下证x0 = 0 .若 Xo <

20、0 ,则 Xo <x° <0 ,于是 gCy) <g(0) =0， 又g(loga 2) =al0ga2 +bl0ga2 -2 >aloga2 2 = 0，且函数g(x)在以上和loga 2为端点的闭区间上的图2象不间断，所以在 x0和loga2之间存在g(x)的零点，记为Xi.因为0<a<1,所以loga2<0,又2包<0,所以为<0与"0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.2若x0>0,同理可得，在 包和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.2因此，x0 =0.一 In a于是 一=1,故 lna+lnb=

21、0,所以 ab =1.In bn 1*20. (1)由已知得 an 二a3 一，n u N .于是当 T =2,4时，Sr =a2 +a4 =3阚 +27a1 =30al.又 Sr =30,故 30a1 =30,即 a1=1.所以数列an的通项公式为 4=3n,nw N*.(2)因为 T31,2,|,k, an =3n>0,nw N* ,1所以 Sr<a1a2JUak=1 3 l|l3k=一(3k-1):二 3k.2因此，Sr < ak 1.(3)下面分三种情况证明.若 D是 C 的子集，则 SC +SC-D =SC +SD >SD +SD =2SD .若C是D的子集，

22、则Sc +S-d =Sc +Sc =2Sc至2Sd.若D不是C的子集，且C不是D的子集.令 E=cF1CuD, F=DCuC 则 E#4, F " EPlF=1.于是 Sc =Se +Sc，,d , Sd =Sf +Sc，,d ,进而由 Sc 之 Sd ,得 Se 之 Sf .设k是E中的最大数，I为F中的最大数，则k之1,l之1,k#l.由(2)知，Se <ak + ,于是 3l,=ai <Sf <Se <ak书=3k,所以 I 1 < k ,即 I M k .又 k¥l ,故 I <k-1,从而 SF <a1 +a2 +IH +

23、 a) =1+3 + IM+3 =3 = MSE1,222故 Se 之2Sf +1,所以 Sc -Sc-d 之2(Sd -Sc口d )+1 ,即 SC Sep - 2SD 1.综合得，SC Sc，、d _2SD .21. A证明：在AADB和AABC中,因为/ABC =90,BD _L AC,/A为公共角,所以MDB sAABC ,于是 ZABD =ZC .在RtABDC中，因为E是BC的中点, 所以 ED = EC ,从而. EDC =/C.所以.EDC -/ABD.a bB.解：设B =)1c d.B1B =了 b_?!c dR0111 a -c2-2ch 1Hb _ _ d22d1 a -c2二1故b -2d =0 ,解得2c =0命=4,c = 0所以114122d =1d=2因此，AB =1,02【-211412,05 14-1x-1 -tC.解：椭圆C的普通方程为x2 + =1 ,将直线l的参数方程42丁，代入'3 . y = t222 yx 一416712