函数的详解奇偶性与解题

1、精品资料欢迎下载第二章第四节函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知 y f(x)是定义在R 上的奇函数， 则下列函数中为奇函数的是() y f(|x|)； y f( x)； y xf(x)； y f(x) x.A. B.C. D.解析： 由奇函数的定义验证可知正确，选D.答案： D2.(2010 长·郡模拟 )已知二次函数f(x) x2 ax 4，若 f(x 1)是偶函数，则实数a 的值为()A.1B.1C. 2D.2解析： f(x) x2 ，ax4f(x 1) (x 1)2 a(x 1)4 x2 2x 1 axa 4 x2 (2 a) x 5 a，f(1 x) (1 x)2

2、a(1 x) 4 x2 2x 1 aax 4 x2 (a 2)x 5 a.f(x 1)是偶函数，f(x 1) f( x 1)，a2 2 a，即 a 2.答案： D3.(2009 浙·江高考 )若函数2a(aR) ，则下列结论正确的是()f(x) xxA. ? a R， f (x) 在 (0， )上是增函数B.? a R， f (x)在 (0， )上是减函数C. ? a R， f (x)是偶函数D. ? a R， f (x)是奇函数精品资料欢迎下载216， (16解析： 当 a 16 时， f(x) x2，xf x)2xx令 f(x)0 得 x 2.f(x)在 (2， )上是增函数，故

3、A、 B 错 .当 a 0 时， f(x) x2 是偶函数，故C 正确 .D 显然错误，故选C.答案： C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数 f (x) ax4 bcosxx，且 f (3)7，则 f (3)的值为()A.1B. 7C.4D. 10解析： 设 g(x) ax4bcosx，则g(x)g(x).由f (3)g(3) ，得g(3)f(3)3 3 4，所以 g(3) g( 3) 4，所以 f (3) g(3) 3 4 3 1.答案： A5.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x 4) f(x)，当 x (0,2)时，f(x) 2x2，则 f(7) ()A. 2B.2C. 98

4、D.98解析： 由 f(x 4) f( x)，得 f (7) f(3) f( 1)，又 f(x)为奇函数， f( 1) f(1)，f(1) 2×12 2，f(7) 2.故选 A.答案： A1，f( x 2) f(x) f(2)，则 f(5)()6.设函数 f(x)( xR) 为奇函数， f(1) 2A.0B.1C.5D.52解析： 由 f(1) 12，对 f(x 2) f(x) f(2) ，令 x 1，得 f(1) f( 1) f(2).又f(x) 为奇函数， f( 1) f(1).于是 f(2) 2f(1) 1；精品资料欢迎下载3令 x 1，得 f(3) f(1) f(2) 2，5

5、于是 f(5) f(3) f(2) 2.答案： C17.已知函数 f(x)是定义在(，0) (0 ， )上的偶函数， 在 (0，)上单调递减， 且 f(2) 0 f(3)，则方程f(x) 0 的根的个数为()A.0B.1C.2D.3解析： 由于函数是偶函数，且在(0， )上单调递减，因此在( ， 0)上单调递增，11又因为 f(2) 0 f(3) f( 3)，所以函数 f(x)在 (2， 3)上与 x 轴有一个交点， 必在 (13， 2)上也有一个交点，故方程f(x) 0 的根的个数为 2.答案： C8.(2010 滨·州模拟 )定义在 R 上的奇函数f(x)满足：当 x 0 时，

6、f(x) 2008 x log2008x，则方程 f(x) 0 的实根的个数为.解析： 当 x 0 时， f(x) 0即 2008x，在同一坐标系下分别画出函数1log2008f(x)x 2008x，f22008x的图象图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)0(x)log(只有一个实根，又因为f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以当 x 0 时，方程 f( x) 0也有一个实根，又因为f(0) 0，所以方程 f (x) 0 的实根的个数为 3.答案： 3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在 R 上的偶函数，x 0， )(xf(x2) f( x1) 0，则 ()f (x)

7、，对任意 x1 21x2)，有x2 x1A. f(3) f( 2) f(1)B.f(1) f ( 2) f(3)C. f( 2) f(1) f (3)D.f(3) f (1) f( 2)f(x2) f(x1)解析： 由已知0，得 f(x)在 x0， )上单调递减，由偶函数性质得f(3)x2 x1 f(2) f(1)，故选 A. 此类题能用数形结合更好.答案： A10.(2009 福·建高考 )定义在 R 上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在 ( 2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()精品资料欢迎下载A. y x2 1B. y|x| 12 x1, x 0C. y3

8、1, x<0xD. yex , x 0e x , x<0解析： f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在 (2,0)上为减函数，而 y x3 1 在 ( ， 0)上为增函数，故选C.答案： C11.(2009 山·东高考 )已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数 .若方程 f(x) m(m 0)在区间 8,8上有四个不同的根x1， x2，x3， x4，则 x1 x2 x3 x4.解析： 由 f(x 4) f(x)? f(4 x) f(x)，故函数图象关于直线x 2 对称，又函数 f (x)在 0,2上是增函数，且为奇函数，故

9、 f(0) 0，故函数 f(x)在 (0,2上大于 0，根据对称性知函数 f( x) 在 2,4)上大于 0，同理推知函数 f(x)在 (4,8)上小于 0，故在区间 (0,8)上方程 f(x) m(m 0)的两根关于直线 x 2 对称，故此两根之和等于 4，根据 f(x 4) f(x)? f(x 8) f(x 4) f(x)，函数 f(x)以 8 为周期，故在区间 ( 8,0)上方程 f(x) m(m 0)的两根关于直线x 6 对称，此两根之和等于 12，综上四个根之和等于8.答案： 8精品资料欢迎下载x22x, x>012.(文 )已知函数f(x)0,x0, 是奇函数 .x2mx,

10、x<0(1) 求实数 m 的值；(2) 若函数 f(x)的区间 1， a2上单调递增，求实数a 的取值范围 .解： (1)设 x<0，则 x>0 ，所以 f( x) (x) 2 2(x) x2 2x.又 f(x)为奇函数，所以f( x) f(x)，于是 x<0 时， f(x) x2 2xx2 mx，所以 m 2.(2) 要使 f(x)在 1， a 2上单调递增，a2> 1,结合 f(x)的图象知2 1,a所以 1 a 3，故实数a 的取值范围是 (1,3. 2x b(理 )已知定义域为R 的函数 f(x) 2x 1 a 是奇函数 .(1) 求 a、 b 的值；(2

11、) 若对任意的 t R，不等式 f(t2 2t) f(2t2 k)<0 恒成立，求 k 的取值范围 .解：(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以f (0) 0，1 b 2x 1即 0，解得 b 1，从而有 f(x).ax 1 a221 2121又由f(1) f( 1)，知，解得a 2.4 a1 a故 a 2， b 1.2x 11 x 1(2) 由 (1)知 f( x) x 1.2 22 21由上式易知f(x)在 ( ， )上为减函数 .又因 f(x)是奇函数，从而不等式f(t2 2t) f(2t2 k)<0精品资料欢迎下载等价于 f (t2 2t)< f(2t2 k) f( 2t2 k).因 f(x)是减函数，由上式推