函数的单调性与曲线的凹凸性

1、精品资料欢迎下载§ 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法定理 1设 f (x) 在区间 I 上可导，则f (x) 在 I上递增（减）的充要条件是f '( x)0(0) .证 若 f 为增函数，则对每一 x0 I，当 xx0 时，有fxfx00 。xx0令 xx0 ，即得 f ' (x0 )0 。反之， 若 f (x) 在区间 I 上恒有 f '( x)0 ，则对任意 x1 , x2 I （设 x1x2 ），应用拉格朗日定理，存在，使得f ( x2 )f x1f 'x2x10 。由此证得 f在 I 上为增函数。定理 2若函数 f 在

2、(a, b) 内可导 ,则 f 在 (a, b) 内严格递增 (递减 )的充要条件是 :(1)x(a, b) 有 f ' (x) 0(0) ;(2)在 (a, b) 内的任何子区间上f '( x)0 .推论 设函数在区间 I上可微 ,若 f ' (x)0( f ' (x) 0) , 则 f 在 I 上 ( 严格 ) 递增 ( 递减).注 1 若函数 f 在 (a,b) 内 (严格 )递增 (递减 ), 且在点 a 右连续 ,则 f 在 a,b) 上亦为 (严格) 递增 (递减 ), 对右端点 b 可类似讨论 .注 2 如果函数 f (x) 在定义区间上连续，除去

3、有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程f ' (x)0的根及 f '(x) 不存在的点来划分函数f (x) 的定义区间就能保证 f '( x) 在各个部分区间保持固定符号，因而函数f (x) 在每个部分区间上单调。注意：如果函数f (x) 在区间 a,b 上连续，在 (a, b) 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有f ' (x)0 （或 f ' (x)0 ），那么由于连续性，f (x) 在区间 a,b 上仍然是单调增加（或单调减少）的。精品资料欢迎下载例如， yx3的一阶导数 y' 3x2 ，除在 x 0 点等于零

4、外，在其余的点都大于零，,内单调增加。又例如， y11除在 x0函数在整个区间x 3 ，它的一阶导数33 x 2点不存在外，在其余的点都大于零，从而函数在整个区间,内单调增加。例 1 设 f (x)x3x 。试讨论函数f的单调区间。解 由于f xf '( x)3x213x 13x1 ，131O因此x当 x,1时， f '(x)0 ， f递增；33f增f 减f增11时， f ' (x)0 ， f图 3-4-1当 x,3递减；31,时， f ' (x) 0， f当 x递增。3利用函数的单调性，可以证明一些不等式。例 1 证明不等式ex1 x x0,证 设 f (x)

5、ex1x ，则 f '(x)ex1。故当 x0 时， f ' (x)0 ， f 严格递增；当 x 0 时， f '(x)0， f 严格递减。又由于f 在 x0处连续，则当x 0 时f ( x)f00 ，从而证得ex1x, x0 。二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。 曲线的弯曲方向我们用曲线的凹凸性来表述。 下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法。在有的曲线弧上, 如果任取两点 , 则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上,而有的曲线弧 , 则正好相反 . .曲线的这种性质就是曲

6、线的凹凸性. 因此曲线的凹凸性可以用联结曲线上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点( 即具有相同横坐标的点) 的位置关系来描述 ,下面给出曲线凹凸性的定义.定义 1 设 f (x) 在区间 I 上连续 ,如果对 I 上任意两点x1, x2 恒有精品资料欢迎下载f ( x1x2 )f ( x1 )2f ( x2 ) ,2那么称 f (x) 在 I 上的图形是 (向上 )凹的 (或凹弧 );相应的函数称为凹函数: 如果恒有f ( x1x2 )f ( x1 )f (x2 ) ,22那么称 f (x) 在 I 上的图形是 (向上 )凸的 (或凸弧 ),相应的函数称为凸函数 .x1x2yfy2fx1f x

7、22f x1 fx2f x1x1x2f2f2fx2x1f x2Ox1x1 x2xOx1x1x2xxx2222(b)(a)图 3-4-2如果函数 f 在 I 内具有二阶导数 , 那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.定理3( 曲线凹凸性的判定定理) 设 f 为区间 I 上的二阶可导函数, 则在 I 上 f 为凹(凸 )函数的充要条件是几何解释：f " xf " x 0yyf " (x)0( f " ( x)0), x I0yf x 是凹弧；即f ' x '0f ' x 单调增加。f x 是凹弧；即f ' x '

8、;0f ' x 单调减少。yOx1 x2 x3xOx1 x2x3x(a)(b)图 3-4-3精品资料欢迎下载即 曲线弧 yf x 是凹（凸）弧的充要条件是：切线与x 轴正向夹角随x 增大而增大（减小）。设 f " x 连续，若f " x 经过点 x0 变号，则 f " x =0。例 1 讨论函数 f ( x) arctan x 的凹凸性区间解 由于 f " x2x2 ，因而当 x0 时 f " x0 ；当 x 0 时 f " x0。从12)(x而在,0 上 f ( x) 为凹函数，在0,上 f ( x) 为凸函数。定义 2 设

9、曲线 y =f ( x) 在点 (x0 , f (x0 ) 处有穿过曲线的切线. 且在切点近旁 ,曲线在切线的两侧分别是凸的和凹的,这时称点 (x0 , f (x0 ) 为曲线 y =f ( x ) 的拐点 .由定义可见 , 拐点正是凸和凹曲线的分界点。拐点亦称扭转点。有关拐点的定理定理 4 若 f在 x 二阶可导 , 则 ( x0 , f (x0 ) 为y0曲线 yf ( x) 的拐点的必要条件是f " ( x0 ) 0.M定理 5 设 f在 x0 可导 ,在某邻域 U( x0 ) 内二阶可导 ,若在 U (x0 ) 和 U- ( x0 ) 上 f " (x) 的符号相O

10、x0x反,则 ( x0 , f ( x0 ) 为曲线 yf ( x) 的拐点 .图 3-4-4必须指出 :若 ( x0 , f ( x0 ) 是曲线 y =f ( x) 的一个拐点 ,y = f ( x) 在 x0 的导数不一定存在 ,请考察函数 y3x 在 x0的情况 .判定区间 I 上的连续曲线yf ( x) 的拐点的步骤 :(1) 求 f " (x) ;(2)令 f " (x) =0,解出这方程在区间I 内的实根 ,并求出在区间I 内 f " ( x) 不存在的点 ; 解 f " ( x) =0, 得 x0 , x1 , x2 ,，并求出 I 内

11、f " (x) 不存在的点：0, 1, 2,；(3)对 (2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0 , 检查 f " ( x) 在 x0 左、右两侧邻近的符号 , 那么当两侧的符号相反时,点 (x0 , f ( x0 ) 是拐点 ,当两侧的符号相同时, 点精品资料欢迎下载( x0 , f (x0 ) 不是拐点 . 考察 f " ( x) 经过 x0 , x1 , x2 ,， 0 ,1, 2,时是否变号。例 2求曲线 y3x 44x31的拐点及凹凸的区间。解 函数 y3x44x31 的定义域为,，y'12x312x21, y"36x 224x

12、36xx23解方程 y"0 ，得 x10, x22。3把函数的定义域,分成三个部分区间0022。, ,332上 , y"0 ,因此在在0 及2上 ,这曲线是凹的。在在0 及,3,3,20 ,因此在在0,2上,这曲线是凸的。0,1 ,2110, 上 , y"33,是这曲线的两个拐点。327例 3问曲线 yx4是否有拐点？解 y' 4x3 , y' 12x2 。显然，只有 x0 是方程 y" 0 的根，但当 x 0 时，无论 x0 或 x0 都有 y"0 ，因此点 0,0不是这曲线的拐点。曲线yx4 没有拐点，它在,内是凹的。例 4 求曲线 y3x 的拐点。,内连续，当 x0时，