函数周期性教案

1、学习必备欢迎下载函数周期性教案一，函数周期性1，函数 周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量 增大任意 实数 时（自变量有意义） ，函数值 有规律的重复出现假如函数 f(x)=f(x+T)( 或 f(x+a)=f(x-b) 其中 a+b=T), 则说 T 是函数的一个周期 .T 的整数倍也是函数的一个周期,2. 最小正周期 的概念：对于一个函数f(x) ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x) 的最小正周期。对于正弦函数y=sinx,自变量 x 只要并且至少增加到x+2 时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2 。（说明：如果以后无特

2、殊说明，周期指的就是最小正周期。）在函数图象 上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。3.周期函数性质：（ 1）若 T （ 0 ）是 f(X) 的周期，则 -T 也是 f(X) 的周期。（ 2）若 T （ 0 ）是 f(X) 的周期，则nT（ n 为任意非零整数）也是f(X) 的周期。（ 3）若 T1 与 T2都是 f(X) 的周期，则T1 ±T2 也是 f(X) 的周期。（ 4）若 f(X) 有最小正周期T* ，那么 f(X) 的任何正周期T 一定是 T* 的正整数倍。（ 5） T* 是 f(X) 的最小正周期，且T1 、T2 分别是 f(X) 的两个周期，则（ Q 是有理

3、数集 ）（ 6）若 T1 、T2 是 f(X) 的两个周期，且是无理数 ，则 f(X) 不存在最小正周期。（ 7）周期函数f(X) 的定义域M 必定是双方无界的集合。4.重要推论学习必备欢迎下载1，若有 f(x) 的 2个对称轴 x=a,x=b. 则 T=2|a-b|2，若有 f(X ）的 2个对称中心（a,0 ） (b,0) 则 T=2|a-b|3,若有 f(x) 的 1 个对称轴 x=a, 和 1个对称中心 (b,0) ，则 T=4|a-b|二，周期函数的性质及题型。利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法. 此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决

4、问题. 以下给出几个命题：命题 1：若 a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)周期函数 .（ 1）函数 y=f(x)满足 f(x+a)= f(x)，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.是（ 2）函数 y=f(x)1，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期 .满足 f(x+a)=f ( x)（ 3）函数 y=f(x)满足 f(x+a)+f(x)=1，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期 .命题 2：若 a、b( a b ) 是非零常数，对于函数y=f(x) 定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数

5、.(1)函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+b)，则 f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2) 函数图象关于两条直线 x=a，x=b对称，则函数 y=f(x) 是周期函数，且 2|a-b| 是它的一个周期 .(3) 函数图象关于点 M(a,0) 和点 N(b,0) 对称，则函数 y=f(x) 是周期函数， 且2|a-b| 是它的一个周期.(4) 函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题 3：若 a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数周期函数 .（ 1）若 f(

6、x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则 f(x) 是周期函数，且一个周期 .（ 2）若 f(x)是定义在 R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则 f(x) 是周期函数，且一个周期 .y=f(x)是2a是它的4a是它的我们也可以把命题 3看成命题 2的特例 , 命题 3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个 . 下面证明命题 3（1），其他命题的证明基本类似 .设条件 A:定义在 R上的函数 f(x)是一个偶函数 .条件 B: f(x)关于 x=a对称条件 C: f(x)是周期函数 , 且 2a是其一个周期 .结论 :已知其中的任两个条件可推出剩余

7、一个.证明 :已知 A、 B C （ 20XX年全国高考第 22题第二问） f(x) 是 R上的偶函数 f(-x)=f(x)又 f(x) 关于 x=a对称 f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a) f(x) 是周期函数 , 且 2a是它的一个周期已知 A、 C B定义在 R上的函数 f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x)学习必备欢迎下载又 2a是 f(x)一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于 x=a对称已知 C、 B A f(x) 关于 x=a对称 f(-x)=f(x+2a)又 2a是 f(x)一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)

8、=f(x) f(x) 是 R上的偶函数由命题 3(2) ，我们还可以得到结论:f(x)是周期为 T的奇函数，则 f( T )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系. 根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1. 求函数值例 1： f(x)是 R上的奇函数 f(x)= f(x+4)， x 0 ， 2 时 f(x)=x，求 f(2007)的值解：方法一 f(x)= f(x+4)f(x+8) = f(x+4) =f(x) 8是 f(x)的一个周期 f(2007)= f(251 ×8-1)=f(-1)= f(1)=1方法二 f

9、(x)= f(x+4) ， f(x)是奇函数 f(-x)=f(x+4) f(x) 关于 x=2对称 又 f(x) 是奇函数 8是 f(x) 的一个周期，以下与方法一相同 .例 2：已知 f(x) 是定义在 R上的函数，且满足f(x+2)1 f(x)=1+f(x)，f(1)=2 ，求 f(2009)的值解：由条件知 f(x)1，故 f ( x1 f ( x)2)1 f ( x)1f ( x2)1f ( x 4)f ( x2)f ( x)1类比命题 1可知，函数 f(x) 的周期为 8，故 f(2009)= f(251× 8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例 3：已知 f(x) 是

10、定义在 R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 x2,0 时， f(x)= 2x+1，则当x 4,6 时求 f(x) 的解析式解：当 x0,2 时 x 2,0 f( x)=2x+1 f(x) 是偶函数 f( x)=f(x)f(x)=2x+1当 x 4,6时 4 x 0,2 f( 4+x)=2( 4+x)+1=2x 7又函数 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3（ 1）知函数 f(x)的周期为 4故 f(-4+x)=f(x)当 x4,6 时求 f(x)=2x 73. 判断函数的奇偶性例 4：已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+999)=1x

11、) ， 试判断， f(999+x)=f(999f ( x)函数 f(x)的奇偶性 .学习必备欢迎下载解：由 f(x+999)=11 可知，函数f(x) 的周期为1998 即 f(x+1998)=f(x)；由，类比命题f ( x)f(999+x)=f(999 x) 知 f(x)关于 x=999对称，即 f( x)=f(1998+x)故 f(x)=f( x)f(x)是偶函数4. 判断函数的单调性例 5：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x)=f(4-x)，且当 x2,0时， f(x)是减函数，求证当 x 4,6时 f(x)为增函数解：设 4 x1x26 则 2x24x14 0 f(x)在

12、 -2，0上是减函数f (x24)f (x1 4)又函数 f(x) 是定义在 R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3（ 1）知函数 f(x)的周期为 4故 f(x+4)=f(x) f ( x2 )f ( x1 ) f(-x)=f(x)f ( x2 )f ( x1 )故当 x4,6时 f(x) 为增函数例 6：f(x) 满足 f(x) =-f(6-x)， f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)， a 5 ， 9且 f(x) 在 5 ， 9上单调 . 求 a的值 .解： f(x)=-f(6-x)f(x)关于（ 3， 0）对称 f(x)= f(2-x) f(x) 关

13、于 x=1对称根据命题 2（ 4）得 8是 f(x)的一个周期f(2000)= f(0)又 f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0)又 f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a 5 ， 9且f(x)在 5 ， 9 上单调 a =65. 确定方程根的个数例 7：已知 f(x) 是定义在 R上的函数， f(x)= f(4 x) ， f(7+x)= f(7 x),f(0)=0，求在区间 1000， 1000 上 f(x)=0至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2， x=7对称，类比命题2（ 2）可知 f(x)的一个周期是 10故f(x+10)=f(x

14、)f(10)=f(0)=0又 f(4)=f(0)=0即在区间 (0 ， 10 上，方程 f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为 10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间 1000， 1000 上至少有1+22000=401个根 .10练习1：定义在 R 上的非常数函数满足： f (10+x) 为偶函数，且 f (5 x) = f (5+x), 则 f (x) 一定是（）(A) 是偶函数，也是周期函数(B) 是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D) 是奇函数，但不是周期函数学习必备欢迎下载2.求证 :若 fxxR 为奇函数，则方程fx =0 若有根一定为奇数个。3. 设定义域为 R 的函数 y = f (x) 、y = g(x) 都有反函数，并且 f(x 1) 和 g-1 (x 2) 函数的图像关于直线 y = x 对称，若 g(5) = 1999 ，那么 f(4)= （ ）