向量正余弦定理知识点

1、学习必备欢迎下载第二章平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）零向量：长度为 0 的向量叫零向量 , 记作： 0 零向量的方向是任意的单位向量：长度等于 1个单位的向量 ( 与 AB 共线的单位向量是AB )；|AB|平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性（因为有 0

2、) ；三点 A、B、C 共线AB、AC 共线；相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量有传递性相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。下列命题：（1）若 ab ，则 a b 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形。（ 4）若 ABCD 是平行四边形， 则 AB DC 。（5）若 a b b, c ，则 ac 。（ 6）若 a /b,b/ c，则 a / c 。其中正确的是 _（答：（4）（5）2. 向量的表示方法 ：（ 1）几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；

3、（ 2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点学习必备欢迎下载三角形不等式：ababab （几何意义：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc ； a

4、0 0 a a 坐标运算：设 ax1, y1 ， bx2 , y2 ，则 abx1x2 , y1y2 4、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量（注意：此处减向量与被减向量的起点相同）C坐标运算：设 ax1, y1， bx2 , y2 ，则 a b x1x2 , y1y2 ab设 、两点的坐标分别为 x1, y1， x2 , y2，则 AB ( x2 x1 , y2y1 ) a bCC5、向量数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a aa ；当0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当0 时， a0 运算律：aa ；a

5、aa ；a ba b 坐标运算：设 ax, y ，则 ax, yx,y 6、向量共线定理：向量 a a0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba 设 ax1, y1， bx2 , y2 ，其中 b0 ，则当且仅当 x1 y2x2 y10 时，向量 a 、b b0 共线7、平面向量基本定理： 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a 1e1 2 e2 （不共学习必备欢迎下载线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底例：（ 1）若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，则 c_（

6、答： 1 a3 b ）；22（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. e1 (0,0), e2 (1, 2) C. e1 (3,5), e2 (6,10)B. e1 ( 1,2), e2 (5,7)D.e1(2, 3),e2( 1 ,3)（答： B）；248、分点坐标公式： 设点 是线段 1 2 上的一点， 1 、2 的坐标分别是 x , y，11x2 , y2，当 12 时，点 的坐标是x1x2 , y1y2119、平面向量的数量积：（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ， b ，作 OAa,OBb ， AOB0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向

7、，当 时， a ， b反向，当时， a ， b 垂直。2（ 2）平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作： ab ，即 ab a b cos规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数， 不是向量。（ 3）平面向量的数量积的性质：设 a 和 b 都是非零向量，其夹角为则 aba b0 当 a 与 b 同向时， a ba b ；当 a 与 b 反向时，a ba b ；a aa2a 2 或 aa a a ba b （ 4）运算律： abb a ；aba ba b ；abca cb

8、c （ 5）坐标运算： 设两个非零向量 ax1, y1， bx2 , y2，则 a bx1x2y1 y2 若 a2y2 ，或 ax2y 2 x, y ，则 ax2（ 6）向量垂直的充要条件： a ba b0 | ab | | ab |x1 x2y1 y20 学习必备欢迎下载设 a 、 b 都是非零向量， ax1, y1， bx2 , y2 ， 是 a 与 b 的夹角，则a bx1x2y1 y2cosa bx12y12x22y2210、 b 在 a 上的投影 为 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于0。11、平移公式 ：如果点 P(x, y) 按向量 ah, k 平移至 P(x , y

9、 ) ，则 xxh ；yyk曲线 f ( x, y)0 按向量 ah,k 平移得曲线 f ( xh, y k)0 .12、重心问题 ： PAPBPC0P 为ABC 的重心；重心坐标公式： 在ABC 中，若 A x1, y1 , B x2 , y2 , C x3, y3 ，则其重心的坐标为 G x1x2x3 , y1y2 y3 。33学习必备欢迎下载正余弦定理1、正弦定理： 在C 中， a 、b 、 c 分别为角、C的对边， R为C的外接圆的半径，则有abc2R sinsin Csin2、正弦定理的变形公式： a2Rsin， b2R sin， c2Rsin C ； sina， sinb， sin

10、 Cc；2R2R2R a : b : csin :sin:sin C ；a bcabcsinsinsin Csinsinsin C3、三角形面积公式： SC1 bc sin1 ab sin C1 ac sin2224、余弦定理： 在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos ，c2a2b22ab cosC 5、余弦定理的推论： cosb2c2a2，cosa2c2b2，cosCa2b2c22bc2ac2ab6、设 a 、b 、c 是C 的角、 、C 的对边，则：若 a2b2c2 ，则 C90 ；若 a2b2c2 ，则 C 90；若 a2b2c2 ，则 C90 7、射影定理： a b cosCc cos B, ba cosC c cos A, cacos Bb cos A8 、解三角形常用三角关系式：ABC;sin( AB)sin C , cos( AB)cosCsin