三角形轴对称角平分线和垂直平分线应用集锦

1、角平分线和线段的垂直平分线    知识点讲解：    1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；       定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理

2、叫互逆定理。其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。5.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。  逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 例题分析  第一阶梯例1.已知：如图CDAB于D，BEAC于E，且CD、BE相交于O点。   求证：（1）当1=2时，OB=OC （2）当OB=OC时，1=2  点拨：要证OB=OC，只须证RtCEO与RtBDO全等，由对顶角相等与1=2的条件，

3、即可得证，反之成立。 此例是证明互逆命题。  答案： 证明（1）1=2，OEAC，ODAB   OE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等）OB=OC  在OEC与ODB中  OECODB（ASA）  （2）OEAC，ODABOECODB（AAS）          OEC=ODBOE=OD               

4、;      在OEC与ODB中         说明：利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件。  例2.写出命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题，并判断它的真假。  点拨：在判断逆命题时，要明确互余的两角必是锐角，另外在未对一个三角形作出判断之前一般不称“锐角”。  答案：解：逆命题是：有两个角互余的三角形是直角三角形。  说明：在写一个命题的逆命题时，并不是将原命题的题设和结论简单地互换，要注意命题本身的逻辑

5、性。  例3.已知：如图1=2，BCAC于C，BDAD于D，连结CD交AB于E .求证：AB垂直平分CD   点拨：要证的结论“垂直平分”，实际是（1）ABCD（2）CE=ED把角相等和垂直两个条件写出后，再使用角平分线性质定理，得BC=BD，利用 CBE与DBE全等得证。答案：    证明：1=2，BCAC，BDADBC=BD（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）               

6、60;  1+3=2+4=90°3=4（等角的余角相等）在CBE与DBE中             CBEDBE（SAS）    CE=DE，CEB=DEB    C，E，D三点在同一直线上    ABCD于E    AB垂直平分CD说明：用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程。第二阶梯例1.已知：如图AB=CD，AD=BC，AO=OC， 过点O的任一直线交AB

7、于E，交CD于F 求证：（1）AD/BC（2）D+DAB=180°（3）BE=DF    点拨：要证AD/BC，只须证3=4，由已知条件，可证得ADCCBA得到角等线段相等的结论后，再证EOA与FOC全等，再做线段和、差  证明：（1）在ADC与CBA中              AD/BC          

8、0;   B+DAB=180°              ADCCBA（SSS）              3=4              AD/BC（2）ADCCBA 

9、;             B=D                 D+DAB=180°              DC=AB     &#

10、160; CF=AE              AB-AE=CD-CF 即BE=DF              （3）ADCCBA              1=2    

11、;          在FOC与EOA中              FOCEOA（ASA）                CF=AE    说明：    （1）利用三角形全等可以证

12、明线段相等，角相等（或互补），也可以证明两直线的位置关系。（平行或垂直）      （2）如果EF分别与AD，CB的延长线相交，结论如何呢？如果EFAB，结论又如何呢？请试一试，让EF过O点动起来，观察其特殊的位置关系，看看有什么结论？    例2.求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等。      点拨：对于命题证明，要先依题意，画出符合条件的锐角三角形，再根据图形，写出已知，求证，利用全等三角形知识进行证明。  已知：如图，在锐角ABC与ABC中，AB=

13、AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于D，AD=AD      求证：ABCABC      证明：在RtABD与RtABD中在ABC与ABC中                              RtABDRtABD（HL）ABCABC（

14、SAS）          B=B说明：（1）此类命题中的两个三角形，在画图时，一般不具备特殊的位置关系，证明要在独立的两个三角形间进行。 （2）命题证明是个难点，要加强文字语言与数学符号，语言的转化训练。  例3.已知：如图AD为ABC的角平分线，DEAC于E，DFAB于F，EF交AD于M ,求证：MF=ME  点拨：要证MF=ME，只要证所在的三角形全等，由AD是角平分线条件，可得DE=DF，3=4，则这两个结论恰巧为全等创造了极好的条件。  答案：  

15、0; 证明：AD为ABC的角平分线，在RtAFD与RtAED中DEAC，DFAB1+3=2+4=90°      DE=DF3=4       1=2在FDM与EDM中    FDMEDM      MF=ME    说明：在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造全等三角形。  第三阶梯    例1.已知：如图，在正方形ABCD中

16、，E是对角线BD上一点 ，过点D作DGAE交AC于F，G为垂足。   求证：（1）CDFDAE（2）EF/AB  点拨：在CDF与DAE中，由已知正方形条件可得到边DC=AD，DCF=ADE=45°只须再证一边或一角等，由BDAC，DGAE，证出1=2，则CDG=DAE证明：（1）四边形ABCD是正方形（2）由CDFDAE得   DC=DACF=DE   AC与BD为对角线AC，BD交于O   3=ADE=45°ABCD是正方形   4=5=45°DO=CO，DOCO  ACBDOE=OF &#

17、160;DGAEOFE是等腰直角三角形  在RtDFO与RtAFG中OAB是等腰直角三角形   1=2（等角的余角相等）OEF=OBA=45°   CDF=DAEEF/AB  CDFDAE（ASA）说明：    在较复杂的图形中，注意特殊四边形，三角形所隐含的条件，如正方形的对角线具有的性质，平行四边形的边，角，梯形的中位线，内角，等边三角形的边与角等都具有特殊性质，结合题目中的条件进行选择性应用。例2.已知：如图在ABC中，ÐACB=90°，CDAB于D，ABC的平分线BE交CD于G，交AC于

18、E，GF/AB交AC于F 求证：AF=CG  点拨：AF不在某个三角形中，所以要借助于它的等量来证明。由1=2，BG是公共边，可以构造与CGB全等的三角形，所以过G作GH/AF就势在必行。    答案：证明：过G作GH/AF交AB于H  FG/AB  四边形AHGF是平行四边形  AF=HG，A=4  ACB=90°，CDAB  3=A=4BE是角平分线1=2BCGBHG（ASA）CG=GH=AFAF=CG说明：把线段用平行线转移到其它三角形中，借助于中介量证明线段相等，还可以在长线段上截取某线

19、段与已知线段等。  例3.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分ÐABC    求证：（1）AEBD    （2）EF=（BC-AB）点拨：在（1）中，只须证ABE与ADE全等， 在（2）中，把AE延长，可构造ADE与GBE全等，得AD=BG，把AB和等量AD转移到BC上。答案：证明（1）AD/BC（2）延长AE交BC于G 2=3可证AEDGEB（ASA）       AB=ADAD=BG=AB  E是BD的中点EF是A

20、GC的中位线 BE=DEEF=GC1=2=3GC=BC-BG    AE是公共边=BC-AD  AEBAED=BC-AB  AEB=AEDEF=（BC-AB）                                 

21、60;   AEB=90°AEBD说明：从直观上看，图形不够完善，可通过作辅助线先完善图形，如把AE延长后既没有破坏原图形的完整性，又构造了全等形和图形具有的对称性。  例题精讲例1.已知如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，求证：ADEF。分析：欲证ADEF，就要证AOE=AOF= EOF=90°。所以要考虑证AEOAFO。由题中条件可知 AEO，AFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明AEDAFD。证明：AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC（已知） DE=DF（角平

22、分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtAED和RtAFD中 RtAEDRtAFD(HL), AE=AF(全等三角形的对应边相等)在AEO和AFO中     AEOAFO, AOE=AOF (全等三角形对应角相等) AOE=EOF=90°， ADEF（垂直定义）。例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。(1)同位角相等，两直线平行。(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果ABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，ABC的三个外角中只有两个钝角。(4)如果ABCA'B'C'，那么BC=B'C', AC=A

23、'C', ABC=A'B'C'。解：(1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题。(2)的逆命题是：x2=9, 则x=3。它是一个假命题。 (-3)2=9, x=3或x=-3.(3)的逆命题是：如果ABC的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角，那么ABC是直角三角形。它是一个假命题，因为ABC还可能是钝角三角形。(4)的逆命题：如果在ABC和A'B'C'中，BC=B'C'，AC=A'C'，ABC=A'B'C'，那么ABCA'B'C'。

24、这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。例3.已知：如图，M，N分别在AOB的两边上，求作一点P，使点P到M，N两点的距离相等，且到AOB两边的距离相等。作法：1、连结MN，作线段MN的垂直平分线CD。2、作AOB的平分线OE，交CD于P，点P即为所求。例4.在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC，B的平分线交AC于D。求证：BC=AC+AD分析：如图：BD为ABC的平分线，DAAB，利用角平分线的性质，可以转化AD，方法是作DE垂直BC于E，则有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。证明：过D作DE垂直BC于E， BD为ABC的平分线，A=90

25、76; AD=DE（角平分线的性质）在RtABD和RtEBD中，RtABDRtEBD（HL）AB=EBABC为等腰直角三角形（已知）， C=45°DE垂直BC于E， DEC=90°， C=EDC=45°，DE=EC（等腰三角形的性质）BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD说明：这种方法是利用角平分线的性质作DEBC，实际上是在长的线段BC上，作出了BE=AB=AC，所以只要再证明AD=EC就可以证明结论。相应的，还可以将线段AB补长，方法如下。方法二：如图，延长BA到M，使得AM=AD，连接DM。证明提示：只要证明三角形BDM和三角形BDC全等即可。（容易证明M

26、=C=45°）例5.已知：如图，1=2，BC=BD。求证：AC=AD。分析：注意利用图形的对称性，连结CD，只须证明直线AB是线段CD的垂直平分线。证明：连结CD交AB于点E， BC=BD，1=2， BE是等腰CBD顶角平分线（三角形角平分线定义） BE垂直平分CD（等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边） 直线AE是线段CD的垂直平分线，又点A在直线AE上， AC=AD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。）说明：还可以证明CBA和DBA全等。小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等；对于原

27、命题和逆命题的关系，要能说出题设和结论都比较简单的命题的逆命题。    同步练习：一、写出下列命题的逆命题，并判断真假。（1）对顶角相等；（2）两直线平行，同位角相等。（3）如果a=-b, 那么|a|=|b|。（4）若a·b=0,则a=0.二、填空题：在等腰ABC中，AB=AC，BAC=120°。AB的垂直平分线交BC于D，且DC=6厘米，则DAC=_, BC=_, 点D到AB的距离是_，点D到AC的距离为_。三、已知如图，在RtABC中，C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，CADDAB=12，求B的度数。四、如图所示，已知，三角

28、形ABC中，AB>AC,P在ABC的角平分线AD上。求证：AB-AC>BP-PC.五、如图：BFAC，CEAB，CE、BF交于D，且 BD=CD。求证：D在BAC的平分线上。六、如图，在RtABC中，C=90°，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E。求证：DBE的周长等于AB。七、在ABC中，已知AB的垂直平分线交AC于E，ABC和BEC的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长。答案：一、1. 若两个角相等，则这两个角是对顶角，假命题。2同位角相等，两直线平行，真命题。3如果|a|=|b|，那么a=-b，假命题。4若a=0, 则ab=0真命题。二、90&#

29、176;, 9cm, 1.5cm, 3cm三、B=36°四、提示：在AB上取AE=AC，在BEP中，BP-PE<BE. 五、提示：证RtBDERtCDF，得DE=DF。六、提示：DE=CD可证ACDAED， AC=AE，DBE的周长=DE+EB+BD=CD+BD+EB=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB。七、提示：如图，连接BE，BE=AE，AD=BD， 三角形BEC的周长等于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC，AB=24-14=10（cm） 专题辅导角平分线的使用平分线的应用。几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。这个条件一般有下面几个方面的应用：（

30、1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。（2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。（3）构造等腰三角形。应用举例：1.利用角平分线的定义例1.如图，已知AB=AC，AD/BC，求证AD平分EAC。证明：因AB=AC，故B=C。又因AD/BC，故1=B，2=C，故1=2，即AD平分EAC。2.利用等腰三角形三线合一例2.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则FDGFCE，故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF，故AF是

31、等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分DAE。3.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。例3.如图，已知ABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。证明：过P作PDAB，PEAC，PFBC，垂足分别是D、E、F，因P在MAC的平分线上，故PD=PE。又因P在ACN的平分线上，故PE=PF，于是PD=PF，故点P在B的平分线上。4.和平行线结合使用，容易得到相等的线段。基本图形：P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=2=3，所以AD=DP。例4.如图，ABC中，B的平分线与C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求

32、证EF=BE-CF。分析：由BD平分ABC，EDBC，不难得出BE=DE。要证EF=BE-CF，就转化为要证EF=DE-CF。下面要证FD=FC，即要证FCD=FDC。由CD平分ACG，EDBC，很容易得出FCD=FDC，从而问题得证。5.利用角平分线的对称性。例5.如图，已知在ABC中，AB>AC，AD是ABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内。通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在AB上截取AC'=AC，则有AC'PACP，AC'=AC,PC'=PC。在BPC'中，BC'+C'P>PB, 即AB-AC'>PB-PC'，从而得出AB-AC>PB-PC。  中考典例1（云南昆明）如图，在ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，BCE的周长为14，BC=6，则AB的长为_。考点：垂直平分线的性质评析：因为DE是AB的中垂线，可知AE=BE，又BCE的周长为14，BC=6，所以BE+EC=8，而BE+EC=AE+EC=AC=AB=8。真题专练1（安徽省）在ABC中，A