第二章板壳理论PPT课件

1、 薄板小挠度弯曲的变分方程 Ritz法 Ritz法的应用举例 Galerkin法 Galerkin法的应用举例第1页/共25页 建立薄板小挠度弯曲问题的变分方程，用变分法推导弹性力学问题的基本方程和边界条件，并在此基础上发展一系列的近似解法，是解决弹性力学问题的一个重要途径。 薄板小挠度弯曲问题的变形能与余变形能 弹性体每单位体积变形能增量为： 对于薄板小挠度弯曲问题，上式变为： 沿厚度积分，用曲率、扭率和弯矩、扭矩表示板单位 面积上的应变能密度增量 把板的应变能密度看成是 、 和 的函数，应满足2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程xxyyzzxyxyxzxzzyzydUddddddxxyyxyx

2、ydUddd2xxyyxyxydWM dM dM dxyxyxyxyxyxyWWWdWddd12xxyyxyxyWMWMWM第2页/共25页 由弯矩、扭矩以及曲率、扭率的表达式： 得到单位面积上的应变能密度为： 把内力分量 、 和 看成是自变量，板的余变形能密度满足： 板的余变形能密度增量为：2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程2222222222 1()2(1)22xyxyxyDDwwwWwx yxy xMyMxyM,1xxyyyxxyxyMDMDMD 222222xyxywwwxyy x 2exxyyxyxyWWMMM2exxyyxyxydWdMdMdM第3页/共25页 板的余应变能密度应满足

3、： 所以有： 对于线弹性问题，变形能密度W与余变形能密度We相等。 在线弹性情况下，余变形能密度可以表示为： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程22362 1exyxyxyWMMM MMEheeeexyxyxyxyWWWdWdMdMdMMMM1,2eeexyxyxyxyWWWMMM第4页/共25页 几何可能解 ：在面内关于x，y连续，且二阶可导，满足所有的位移边界条件，可以由几何方程得到对应的可能变形。 静力可能解：在面内满足与外力q平衡，满足所有的力边界条件，由物理方程的到的变形不一定是几何可能的。 真实解: 满足所有方程和边界条件。 运用最小位能原理推导薄板小挠度弯曲问题的微分方程和边界条件

4、 最小位能原理：在一切几何可能解中，真实解使位能取得最小值。 对应几何可能解的位能表达式为： U是每单位体积的变形能，Xi是体积力， 为给定的边界力 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程0,wx yooiiiiVAUX udVFu dA iF第5页/共25页 对于薄板，板上作用与z方向相同的分布载荷q，在给定位移边界上，有 或 。在力的边界上，给定弯矩 ， 给定等效剪力 ，在k个未给定位移的角点上，有给定的集中力 。 用几何可能解表示的薄板的位能为： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程,wwwwnnnMnV1,2,.,lR lk1okoooSfSfnnlllAwWqwdxdyMdsV w dsR w

5、n ,1,2,.,iiwwik第6页/共25页 真实解使位能的变分为零，对上式变分得薄板小挠度弯曲的变分方程。 其中单位面积变形能（变形能密度）的变分为： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程10ooSfnAkooSfnlllwWq wdxdyMdsnVw dsR w 2xxyyxyxyWMMM第7页/共25页 由格林公式得： 带入位能的变分得： 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程012xxyyxyxyAAokyooxSSnnlllAWdAMMMdAQQww dAMdsVw dsR wxyn 011oyxS SfSunAokkooooS SfSuSfSfnllnnllllQQwqw dAMdsxyn

6、wVw dsR wMdsVw dsR wn 第8页/共25页 在位移边界上，几何可能解满足： ，上一个式子可以进一步简化为： 真实解应使： ，由于变分 的任意性，真实解w应满足： 变分方程与薄板弯曲微分方程及相应边界条件是等价的。 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程1oyoxSfnnAkooSfnnllllQQwqw dAMMdsxynVVw dsRRw 0,0oowwn0 ,oowwn0yxQQqxy在A域内1,2,.nnnnfllMMVVSRRlk，在上第9页/共25页 运用最小余能原理 ，我们同样可以得到薄板弯曲基本微分方程： 最小位能原理和最小余能原理得到的变分方程，与薄板小挠度弯曲的微

7、分方程及边界条件是等价的，对于微分方程，我们可以采用双三角级数或单三角级数法来求解，对于变分方程，可以采用Ritz法、Galerkin法等近似解法求解。 2.1 薄板小挠度弯曲的变分方程0e 0yxQQqxy在A域内1,2,.uiiwwwwSnnwwik，在 上第10页/共25页l最小位能原理指出：在一切几何可能解中，真实解使得薄板的位能取得最小值。假设真实解的表达式为：l其中 为满足所有位移边界条件的设定函数，而ai是待定常数，它应该满足：l因为 是任意的，故满足上式的条件是：l如果 是完备函数族，且自由度 ，则所得到的解是精确解。一般情况下，若给出合理的设定函数，则只需要几项上式就可以得到

8、足够精度的解。2.2 Ritz法1,niiiw x yax y10niiiaa n ia01,2,.,iinaii 方程变为代数方程把求w的问题转化为求ai的问题，第11页/共25页l位能表达式写成关于挠度w的形式：l如果每个边都满足至少下面边界条件之一：l则有：l得2.2 Ritz法222222211()2(1)()2.SfSfnnkkDwwwwdxdyxyx ywqwdxdyMdsV wdsR wR wn 222222()0wwwdxdyxyx y 211()2.SfSfnnkkDw dxdyqwdxdywMdsV wdsR wR wn 0,0wwn第12页/共25页l例1 1：四边固支矩

9、形薄板，利用Ritz法求解，承受均布载荷q q，挠度假设为：l满足边界条件l将挠度表达式带入到位能表达式中，得到2.3 Ritz法的应用11221 cos1 cosmnijiji xi ywaab 0,0,00,0,0wxawxwybwy第13页/共25页2.3 Ritz法的应用220 02112220 0114424244224cos1 cos222cos1 cos221 cos1 cos2332mna bijijmna bijijijDii xj yaaabjj yi xdxdybbai xj yqadxdyabijiDabaaba 2221144441111111122mnijm mnn

10、mnmnirisrjsjijirsjrsijr sr sjbija aa aqabaab 第14页/共25页laij应满足：l即：l这是关于aij代数方程组，当m=1, n=1, 时有2.3 Ritz法的应用01,2,., ,1,2,.ijim jna4422444224444114332220ijijmnirrjrjr jijijDab aaababijaaqabab41144242143 32qaaDaabb第15页/共25页l对于方板a=b：l最大挠度发生在板的中点 l当m=3, n=3时有l只要位移函数取得合适，Ritz法具有足够的精度。增加m，n精度可以得到进一步改善。2.3 Rit

11、z法的应用441140.000320832qaqaaDD4max0.001283qawD4max0.001266qawD第16页/共25页l例2：两对边简支，一边固定，一边自由，承受均布载荷q q，挠度假设为：l满足所有位移边界条件 l代入到位能的表达式2.3 Ritz法的应用11,sinimiixi yw x yaab0,000,0ybwwxwx222222211()2(1)()2.SfSfnnkkDwwwwdxdyxyx ywqwdxdyMdsV wdsR wR wn 第17页/共25页l真实解使得 ，若m=1，得到关于a1的代数方程 ：l求解得： l所以挠度为：2.3 Ritz法的应用2

12、410314122203103aaba Dq ababba40124241322310q aaaaDbb220242sin41322310yq a xbwaaDbb10a第18页/共25页l在一切几何可能解中，真实解应是使位能的变分为零的解。薄板小挠度弯曲的变分方程为： l如果几何可能解在力的边界上满足所有力的边界条件，则位能的变分可进一步表达为 ：2.4 Galerkin法10ooSfnAkooSfnlllwWq wdxdyMdsnVw dsR w Dw qwdxdy 第19页/共25页l假设位移边界条件和力的边界条件均为齐次，Galerkin法假设板的挠度为：l 满足所有的边界条件， ai

13、是待定的系数，满足变分方程，即：l因为 是任意的所以有：l这是一个关于ai的代数方程组，求解可得ai。2.4 Galerkin法1,miiiw x yax y1,niiiwx yai10miiiDw qdxdy a ia01,2,.,iDwqdxdyim 第20页/共25页l物理含义： 在域内，近似的挠度不可能使得平衡方程 处处精确满足，但应该使残差值 在各个位移位移函数所做的功在整个域上的积分为零。2.4 Galerkin法0Dwq Dwq 01,2,.,iDw qdxdyim 第21页/共25页l例1 1：仍以四边固支矩形薄板为例，利用Galerkin法求解，承受均布载荷q q，挠度假设为：l满足全部边界条件2.4 Galerkin法的应用11221 cos1 cosmnijiji xi ywaab 0,0,00,0,0wxawxwybwy第22页/共25页l若只取：m=1, n=1m=1, n=1l代入l得到：2.4 Galerkin法的应用11221 cos1 cosxy