计算力学课堂3PPT课件

1、2.3 2.3 广义坐标有限元法的一般格式广义坐标有限元法的一般格式第1页/共100页常见的单元类型：常见的单元类型：第2页/共100页选择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则（1 1）位移模式中的待定系数（广义坐标）个数，应与单元的结点位移数相等；）位移模式中的待定系数（广义坐标）个数，应与单元的结点位移数相等；yxu321yxv654（）（2 2）位移模式中，常数项与一次项必须完备；）位移模式中，常数项与一次项必须完备；（3 3）多项式选取由低次到高次，且尽可能选取完全的多项式，以提高单元的精度；如：）多项式选取由低次到高次，且尽可能选取完全的多项式，以提高单元的精度；如：26

2、524321yxyxyxu21211210987yxyxyxv第3页/共100页1yx 22 yxyx3223 yxyyxx432234 yxyyxyxx 一次二次三次四次0 次Pascal 三角形（4 4）当由于项数限制，不能选取取完全多项式时，应考当由于项数限制，不能选取取完全多项式时，应考虑多项式应具有对称性，如：虑多项式应具有对称性，如：4节点矩形单元xyyxu4321xyyxv8765第4页/共100页广义坐标有限单元的一般格式广义坐标有限单元的一般格式（1 1）以广义坐标以广义坐标 为待定参数，给出单元内位移分布为待定参数，给出单元内位移分布 u u ；u （）对于二维问题：对于二

3、维问题：,vuu 2 100对于对于3 3结点三角形单元：结点三角形单元：3 3节点节点三角形单元三角形单元1 12 23 3yxu321yxv65462 1 yx1第5页/共100页 2用单元结点位移 ea表示广义坐标 惯用的单元结点位移排列是 T2211vuvuea为便于求解广义坐标，可采用另一表示方法，如 T2121vvuuea（231）式中代入单元结点坐标得到 )2 . 3 . 2(Aae二维问题 AAA00用（232）式解出 )3 . 3 . 2(-1eaA第6页/共100页 3以单元结点位移ae 表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N N将（233）式代入（23l）式 (2.3

4、.4)1eeaNaAu二维问题 *N*NN00211NNAN*将结点位移 改为一般排列顺序ae ，则有 (2.3.5)eNau 321NNNN 第7页/共100页 4以单元结点位移ae 表示单元应变和应力应变： )6(2.3.),(eaBLuyxLNB 应力：由弹性变形产生的应力 eDBaD当有初应力和初应变时，应力的一般式是 )7 . 3 . 2(0000DDBa-De第8页/共100页 5用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程 系统总位能的离散形式 )8 . 3 . 2(eSeVpeedSdVU将（235）（237）式代入上式并将单元结点位移ae用结构结点位移a表示，即ae=Ga，（23

5、8）式即为 )9 . 3 . 2(21)21(TTTTTTTTPa-KaadSTNdVfNdVBdVDBGadVDBBGaeeeeeVSV0eV0VTp第9页/共100页 总位能的变分 0p得到有限元求解方程 )10. 3 . 2(PKa 其中 )11. 3 . 2(eGGKeTk k)12. 3 . 2(TeVdVDBBke式（2312）是单元刚度矩阵的普遍公式（239）式中的是作用在连续体边界上的力，包括作用在有关单元边界上的分布力和作用在结点上的集中力两部分。为了方便起见可以将这两部分外载分开，将T T作为分布面力，结点集中力用F F表示，则载荷列阵P P可以写作第10页/共100页)1

6、3. 3 . 2(TFeSefFSfPPPPPGPPPPPP0000eee(2.3.14),0T0TTTdVdVdSdVeeeeVeVeSVDBPBPTNPfNP00eSefP PF F 结点集中力列阵（2314）式是计算单元等效结点载荷列阵的普遍公式。第11页/共100页 6引入强制边界条件 7解方程得到结点位移 8进行需要的辅助计算 如利用（236）、（237）式计算单元应变和应力，也可按需要计算其他项目。第12页/共100页 由上面过程可以看到： 13是假定位移模式、求解广义坐标，最后得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限元的特征。 45是利用变分原理建立有限元格式的一般方法。这里用的是

7、最小位能原理，建立以位移为基本场变量的有限元求解方程，求解平衡问题。 68是建立有限元方程后的一般解法和计算步骤。第13页/共100页 广义坐标有限元可能产生的困难是： 当位移函数选择不恰当时，可能不存在A-1而使求解广义坐标 成为不可能。 同时，当单元结点较多时，解广义坐标的过程显得繁琐，因此也可以利用自然坐标直接构造单元的插值函数，这样就可以避免求解广义坐标的过程，建立有限元的方程和求解只需从第4步开始。 本章第5节将结合矩形单元和高精度三角形单元讨论直接建立单元插值函数的方法，关于建立单元插值函数更系统方法将在下一章中给出。第14页/共100页2.4 2.4 有限单元解的性质与收敛性有限

8、单元解的性质与收敛性第15页/共100页一. Ritz法的收敛准则对连续介质问题，有泛函：其中:要求试函数必须满足：完备的函数系列（完备性）应满足连续性要求（协调性）1）2）第16页/共100页Ritz 法的收敛条件：法的收敛条件：（1）近似函数）近似函数 u 具有具有完备性完备性（2）试探函数）试探函数 u 具有具有连续性连续性（取完全多项式）（取完全多项式）（C0 类连续）类连续）FEM 法与法与Ritz 法的区别：法的区别：Ritz 法在法在全域全域上假设近似函数上假设近似函数 u，FEM 法在法在单元单元上假设近似函数上假设近似函数 u，近似函数近似函数 u可以有多种类型。可以有多种类

9、型。近似函数近似函数 u一般都为一般都为简单多项式简单多项式。问题：问题：在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，FEM 法的解趋于精确解？法的解趋于精确解？第17页/共100页引例：引例：设一标量场：设一标量场：0)()(bLA存在标量泛函：存在标量泛函：b.t)()(21dbCC假设泛函假设泛函 中含有：中含有：mmdxddxddxd,22mmdxd且为非零的，为非零的，则近似函数则近似函数 至少为至少为 m 次多项式，即次多项式，即 第18页/共100页ppxxxx332210mp 1232132ppxpxxdxd23222) 1(62ppxppxdxd mp

10、pmmmmxmppxmmdxd)!(!)!1(!1（）显然，仅当显然，仅当 pm 时，时，mmdxddxddxd,22各项都包含常数项，各项都包含常数项，意味着，当单元尺寸趋意味着，当单元尺寸趋mmdxddxddxd,22各项趋于常数，即，各项趋于常数，即，有限元法的近似解有限元法的近似解收敛于收敛于精确解。精确解。于零时，于零时，第19页/共100页收敛条件收敛条件1：必须是必须是m次以上的完备多项式；次以上的完备多项式；收敛条件收敛条件2：仅可能在相邻单元边界上连续。仅可能在相邻单元边界上连续。弹性力学问题中，有限元法的收敛准则：弹性力学问题中，有限元法的收敛准则：准则准则1：完备性要求完

11、备性要求 若泛函若泛函p中含有未知函数的最高阶导数为中含有未知函数的最高阶导数为 m 阶，则未知函数至少是阶，则未知函数至少是 m 次次完全多项完全多项式。式。第20页/共100页dSTudVfudVDSiiViiklijklijVP21p中含：中含：),(,zuyuxuuiiiiji要求：要求：为为 x、y、z 一次完全多项式一次完全多项式Nau 对于平面问题：对于平面问题：yxu321yxv654对于空间问题：对于空间问题：zyxu4321zyxv8765zyxw1211109对于梁的弯曲问题？对于梁的弯曲问题？ 最高阶导数次数最高阶导数次数 m=1弹性力学问题：弹性力学问题：第21页/共

12、100页准则准则2：协调性要求协调性要求 若泛函若泛函p中含有未知函数的最高阶导数为中含有未知函数的最高阶导数为 m 阶，则要求未知函数在相邻阶，则要求未知函数在相邻单元交界面上须满足单元交界面上须满足 Cm-1 类连续性类连续性，即保证交界面上未知函数即保证交界面上未知函数 m1 阶的连阶的连续可导。续可导。当单元的插值函数满足上述要求时，称这种当单元的插值函数满足上述要求时，称这种单元是协调的单元是协调的。第22页/共100页对对弹性力学问题弹性力学问题，泛函泛函p中含有未知函数中含有未知函数故要求近似位移函数故要求近似位移函数 uyxu321yxv654对于对于3结点三角形单元：结点三角

13、形单元：满足协调条件满足协调条件的最高阶导数为的最高阶导数为 1 阶，阶，在相邻单元交界面上须满足在相邻单元交界面上须满足 C0 类连续性类连续性。第23页/共100页总结：总结：同时满足同时满足完备性完备性、协调性协调性条件的单元条件的单元称为称为协调单元协调单元（3 3结点三角形单元结点三角形单元为完备、协调单元）为完备、协调单元）完备、协调单元的解一定收敛于精确解。完备、协调单元的解一定收敛于精确解。不满足不满足协调性协调性条件的单元条件的单元称为称为非协调单元非协调单元如：板壳问题中某些单元。如：板壳问题中某些单元。第24页/共100页二. 在有限元法中，插值函数（试函数）对应单元内，

14、而不是全域。插值函数一般选用多项式以满足其完备性要求当单元尺寸0 时，精确值（即趋于常数）这里插值函数至少应选用m次完备的多项式第25页/共100页位移模式必须能够反映单元的刚体位移。位移包括两部分，一部分是变形引起的，另一部分是由于刚体位移引起的。位移模式必须能够反映单元的常应变。一部分与该单元中各点的位置坐标有关，是各点不同的，即变量应变。另一部分与单元中各点的位置坐标无关。是各点相同的，即常量应变。第26页/共100页位移场应当能够反映连续弹性体系位移的连续性。在单元内位移模式取坐标的单值连续函数，在公共边界上（单元间）具有相同的位移。C0连续性要求，由于m=1 ，即要求m-1 阶连续，

15、即场函数自身连续。物理意义：位移场在单元交界面连续，否则单元交界面会引起无限大应变。（由此产生附加应变能）第27页/共100页很明显：3结点三角形有限元，满足上述二条件，是收敛的。但在实际计算中，因为是有限尺寸单元，所以存在离散误差。（*）一般来讲位移元得到的是位移的下限解，所以连续体(无限多自由度) 离散有限个自由度，刚性变大，位移变小。第28页/共100页收敛准则的物理意义收敛准则的物理意义1. 1. 完备性准则完备性准则要求位移函数为一次完全多项式要求位移函数为一次完全多项式yxu321yxv654常数项：常数项：一次项：一次项： 反映刚体位移反映刚体位移 反映常应变反映常应变2. 2.

16、 协调性准则协调性准则 要求位移函数在相邻单元边界上连续，避免在单元交界面产生无限大的应要求位移函数在相邻单元边界上连续，避免在单元交界面产生无限大的应变能。变能。收敛速度与精度估计收敛速度与精度估计第29页/共100页三. 离散误差估计精确解可以在域内一点i 的某一邻域内泰勒展开：如果：单元(特征尺寸h)内位移插值函数是p次完全多项式 , 则可局部拟合泰勒展开p阶.第30页/共100页x, y为h 量级，位移的误差约为应力和应变（为位移的一阶导数）则误差约为，精度低于位移。例： 3结点三角形单元位移误差应力误差（应变）第31页/共100页提高精度的方法：(1) 单元尺寸变小,(2) 插值函数

17、，完备的多项式次数提高。由其他误差:计算误差，包括截断误差，舍入误差.提高精度的方法:(1) 增长字长(双精度)(2) 选取有效的计算方法和合理的程序结构。第32页/共100页位移解的下限性质位移解的下限性质位移有限元法位移有限元法基于最小位能原理：基于最小位能原理：0pPaKaa21pPKa 由第由第1 1章讨论，可知：章讨论，可知：UpKaa21变形位能（应变能）变形位能（应变能）第33页/共100页设有限元解的总位能、应变能、刚度矩阵、结点位移向量为：设有限元解的总位能、应变能、刚度矩阵、结点位移向量为：aK,Up由最小位能原理，有由最小位能原理，有pp aKa21Kaa21即：即：aK

18、aKaa由由PaPa aa即，精确解取近似解的下限。即，精确解取近似解的下限。第34页/共100页位移解下限性质解释：位移解下限性质解释：单元原是连续体的一部分，具有无限个单元原是连续体的一部分，具有无限个自由度。假定单元的位移函数后，其自度自由度。假定单元的位移函数后，其自度数限制为只有以结点位移表示的有限个自数限制为只有以结点位移表示的有限个自由度，相当于由度，相当于对单元的变形施加了约束和对单元的变形施加了约束和限制限制，使，使单元的刚度较实际情况加强了单元的刚度较实际情况加强了，随之，整个连续体的刚度增加了，故求得随之，整个连续体的刚度增加了，故求得的位移总体上小精确解。的位移总体上小

19、精确解。第35页/共100页2.5 2.5 矩形单元和高精度三角形单矩形单元和高精度三角形单元元第36页/共100页结点矩形单元结点矩形单元 2314xy4u4v1u1v2u2v3u3vaabb设:边长分别为2a 和2b。取坐标原点在单元形心上，x 、y轴分别平行两对对边。第37页/共100页结点矩形单元结点矩形单元 1. 1. 结点编号与单元结点位移向量结点编号与单元结点位移向量结点编号：结点编号：4 3 2 1逆时针转向为正逆时针转向为正单元结点位移向量：单元结点位移向量：44332211 vuvuvuvuea 8 8个自由度个自由度2314xy4u4v1u1v2u2v3u3vaabb（）

20、第38页/共100页2. 2. 单元位移模式单元位移模式yxu321xy4xyyxv8765 双线性位移模式双线性位移模式将结点的将结点的 x 方向位移与坐标代入方向位移与坐标代入114131211yxyxu 444434214yxyxu1yx 22 yxyx3223 yxyyxx432234 yxyyxyxx 一次二次三次四次0 次Pascal 三角形118171651yxyxv448474654yxyxv 第39页/共100页位移多项式：位移模式是具有完全一次式，非完全二次式。因为它在x, , y方向呈线形变化，所以称之为双线形位移模式。第40页/共100页2314xy4u4v1u1v2u

21、2v3u3vaabb由此可解出：由此可解出：,418544332211uNuNuNuNu44332211vNvNvNvNv其中：其中：byaxN11411byaxN11412byaxN11413byaxN11413 单元插值单元插值函数函数或或形函数形函数（）第41页/共100页2314xy4u4v1u1v2u2v3u3vaabb令：令：byax,则有则有11411N11412N11413N11414N（） 局部坐标局部坐标表示的表示的单元插值函数单元插值函数或或形函数形函数 自然坐标自然坐标或或局部坐标局部坐标, x, y第42页/共100页3. 3. 自然坐标与插值函数自然坐标与插值函数（

22、1 1）自然（局部）坐标）自然（局部）坐标2314, x, y4u4v1u1v2u2v3u3vaabbbyax,由：由：有：有：（1 1）1,1（2 2）1, 1矩形单元四边的方程为：矩形单元四边的方程为：（3 3）角点值（坐标）角点值（坐标）: ),(iii),1 , 1 ( 1),1 , 1( 2 ),1 , 1( 3),1 , 1 ( 41111第43页/共100页23144u4v1u1v2u2v3u3vaabbxy) ,(00yx一般情形，将自然坐标原点取在单一般情形，将自然坐标原点取在单元的重心上，整体坐标与自然坐标的关系元的重心上，整体坐标与自然坐标的关系为：为：,0axx;0ax

23、x,0byybyy0（）第44页/共100页（2 2）插值函数（形函数）插值函数（形函数）Ni 的性质的性质（1 1）（2 2）（3 3）),(jjiN角点值：角点值：ij)( 0)( 1jiji, 141iiN或：或：14321NNNN令：令：,0ii0其中：其中：ii,为它们在角点为它们在角点 i 处的值处的值则插值函数可表示为：则插值函数可表示为：001141iN4 , 3 , 2 , 1i（）2314, x, y4u4v1u1v2u2v3u3vaabb1111第45页/共100页4. 4. 单元位移单元位移 ae 的矩阵表示的矩阵表示2314, x, y4u4v1u1v2u2v3u3v

24、aabbvuueNa（）其中：其中：44332211 vuvuvuvuea4321432100000000NNNNNNNNN18824321NNNN4321NNNNIIII1001I（） 形函数矩阵形函数矩阵第46页/共100页2314, x, y4u4v1u1v2u2v3u3vaabb5. 5. 单元应变与应力单元应变与应力（1 1）单元应变）单元应变Lu eLNaeBaLNB 应变矩阵应变矩阵eaBBBB3321（）iiLNB xNyNyNxNiiii00第47页/共100页2314, x, y4u4v1u1v2u2v3u3vaabb由由byax,得得,1axby1iiiiiNNNNab0

25、01B)1 ()1 ()1 (00)1 (410000iiiibaabab（）)4 , 3 , 2 , 1( i第48页/共100页（2 2）单元应力）单元应力2314, x, y4u4v1u1v2u2v3u3vaabbeDBaDeaBBBBD3321eaSSSS3321（）eSa应力矩阵应力矩阵其中：其中：iiDBS )1 (4200abE)1 (21)1 (21)1 ()1 ()1 ()1 (0000000000iiiiiibaabab说明：说明：矩形单元的应变、应力关于矩形单元的应变、应力关于 x、y 线性分布线性分布第49页/共100页6. 6. 单元刚度矩阵单元刚度矩阵eetdxdy

26、kDBB 1 11 1dtabdDBB按结点的分块矩阵形式：按结点的分块矩阵形式：8844434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkkeesrrstdxdykDBB 1111dtabdsrDBB4321200)1 (4kkkkabE88)4 , 3 , 2 , 1,(sr（）第50页/共100页其中：其中：)311 (21srsrbk)311 (2120srsra)21(002srsrabk)21(003srsrabk)311 (24srsrak)311 (2120srsrb（）注意：注意：rsrskk平面应变问题：平面应变问题：1,1020E

27、E（P67P67）第51页/共100页 对于平面应力问题，应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵的显式如（2518）式（2520）。 第52页/共100页 由应力矩阵（2514）式或（2519）式可见，矩形单元中的应力分量都不是常量。 正应力分量x的主项（即不与相乘的项）沿x方向按线性变化，而它的次要项（与相乘的项）沿x方向按线性变化。 正应力y 与此相反。 剪应力分量xy则沿x及y两个方向都呈线性变化。 这种一个方向为常量，另一方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。第53页/共100页 矩形单元明显的缺点是不能很好地符合曲线边界， 包括与坐标轴不平行的直线边界，因此直接应用受到限制。 解决

28、上述问题的方法之一是采用矩形单元和三角形单元混合使用，如图213所示。 更为一般的方法是通过等参变换将局部坐标内的矩形单元变换为总体坐标内的任意四边形（包括曲边四边形）的单元，这将在第4章中进行讨论。 第54页/共100页7. 7. 单元等效结点载荷矩阵单元等效结点载荷矩阵ePtdxdyeeb fNPtdSeSeSTNP（1 1）体积力引起的：）体积力引起的： 1 11 1 dtabdfNyxfff 体力向量体力向量（2 2）边界面力引起的：）边界面力引起的：yxTTT 面力向量面力向量第55页/共100页（3 3）初始应力引起的：）初始应力引起的：tdxdyee 00BP 1 11 10 d

29、tabdBxyyx0000 初应力向量初应力向量（4 4）初始应变引起的：）初始应变引起的：tdxdyee 00DBP 1 11 10 dtabdDBxyyx0000 初应变向量初应变向量第56页/共100页8. 8. 矩形单元插值函数构造矩形单元插值函数构造23144u4v1u1v2u2v3u3v111101010101（1 1）插值函数构造的原则：）插值函数构造的原则：),(jjiNij)( 0)( 1jiji或：或：14321NNNN, 141iiN（2 2）（1 1） 角点值：角点值：（2 2）插值函数构造的方法）插值函数构造的方法1N) 1( ) 1( k待定系数待定系数将将1 1点

30、的坐标：点的坐标：1, 111代入代入) 11)(11 (1 kN1由此可解得：由此可解得：41k第57页/共100页代入，得代入，得) 1)(1(411N又如：又如：2N) 1( ) 1( k将将2 2点的坐标：点的坐标：1, 122代入代入) 11)(11(2 kN1由此可解得：由此可解得：41k)1)(1 (412N23144u4v1u1v2u2v3u3v01010101第58页/共100页同理：同理：3N) 1( ) 1( k将将3 3点的坐标：点的坐标：1, 133代入代入) 11)(11(3 kN1由此可解得：由此可解得：41k)1)(1 (413N4N) 1( ) 1( k将将4

31、 4点的坐标：点的坐标：1, 144代入代入) 11)(11 (4 kN1由此可解得：由此可解得：41k)1)(1 (414N第59页/共100页23144u4v1u1v2u2v3u3v01010101综合，得：综合，得：)1)(1 (412N)1)(1 (411N)1)(1 (413N)1)(1 (414N第60页/共100页010101012314856701010101例：例：8 8结点矩形单元插值函数的构造。结点矩形单元插值函数的构造。（1 1）4 4个角点：个角点：1N) 1( ) 1( k) 1(将将1 1点的坐标：点的坐标：1, 111代入代入1N) 11 ( ) 11 ( k)

32、 111 (1由此可解得：由此可解得：41k: ),(1N) 1)(1)(1 (411N第61页/共100页) 1)(1)(1 (411N同理，可求得：同理，可求得：) 1)(1)(1 (412N) 1)(1)(1 (413N) 1)(1)(1 (414N010101012314856701010101第62页/共100页（2 2）4 4个中点：个中点：: ),(5N5N) 1( ) 1( k) 1( 将将5 5点的坐标：点的坐标：1, 055代入代入5N) 10( ) 11 ( k) 10( 1由此可解得：由此可解得：21k)1)(1)(1 (215N01010101231485670101

33、0101第63页/共100页: ),(6N6N) 1( ) 1( ) 1( k将将6 6点的坐标：点的坐标：0, 166代入代入6N) 10( ) 11(k) 10( 1由此可解得：由此可解得：21k)1)(1)(1(216N)1)(1)(1(217N)1)(1)(1(218N010101012314856701010101第64页/共100页23148567) 1)(1)(1 (411N) 1)(1)(1 (412N) 1)(1)(1 (413N) 1)(1)(1 (414N)1)(1)(1 (215N)1)(1)(1 (216N)1)(1)(1 (217N)1)(1)(1 (218N 8

34、8结点矩形结点矩形单元插值函数单元插值函数或形函数或形函数（三次多项式）（三次多项式）第65页/共100页23148567单元位移分布函数为：单元位移分布函数为：44332211uNuNuNuNu88776655uNuNuNuN44332211vNvNvNvNv88776655vNvNvNvN第66页/共100页说明：说明：矩形单元的缺点：矩形单元的缺点：对边界形状的适应差。对边界形状的适应差。矩形单元的优点：矩形单元的优点：（1 1）插值函数（形函数）容易构造；）插值函数（形函数）容易构造；（2 2）单元矩阵）单元矩阵 k ke、P Pe 积分求解方便。积分求解方便。 1111DBB dta

35、bdke 1111DBBdtabdksrerstdSeSeSTNP 1 11 1 dtabdeffNP第67页/共100页高精度三角形单元高精度三角形单元 6 6节点节点三角形单元三角形单元1 12 23 34 45 56 61yx 22 yxyx3223 yxyyxx432234 yxyyxyxx Pascal Pascal 三角三角形形1. 1. 二次单元：二次单元：6 6节点三角形单元节点三角形单元其中：其中： 4 4，5 5，6 6节点为三角形边的中点。节点为三角形边的中点。24321xyxu265yxy210987xyxv21211yxy单元位移模式：单元位移模式：第68页/共100

36、页vuLLu应变与应力向量：应变与应力向量：DLuD应变、应力应变、应力 线性分布线性分布 协调单元协调单元满足完备性；满足完备性；满足协调性。满足协调性。6 6节点三角形单元的精度较节点三角形单元的精度较3 3结点单元高。结点单元高。第69页/共100页1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101010节点节点三角形单元三角形单元2. 2. 三次单元：三次单元：10 10 节点三角形单元节点三角形单元 其中：其中： 4-9 4-9 节点为三角形三边的三节点为三角形三边的三分点，分点，1010结点为三角形的中点。结点为三角形的中点。1yx 22 yxyx3223 yxyyx

37、x432234 yxyyxyxx Pascal Pascal 三角三角形形24321xyxu265yxy214131211xyxv21615yxy单元位移模式：单元位移模式：310292837yxyyxx320219218317yxyyxx第70页/共100页vuLLuDLuD应变、应力应变、应力 抛物线分布抛物线分布 协调单元协调单元满足完备性；满足完备性；满足协调性。满足协调性。其精度高于其精度高于6 6节点的三角形单元。节点的三角形单元。第71页/共100页面积坐标为自然坐标时三角形单元的插值函数及面积坐标为自然坐标时三角形单元的插值函数及单元矩阵的计算单元矩阵的计算 1. 1. 面积坐

38、标面积坐标i jm P(x,y)AiAmAj(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym) 设设 P（x,y）为单元内任一点，该点与单为单元内任一点，该点与单元三角点的连线确定三个三角形，其面积分别元三角点的连线确定三个三角形，其面积分别用：用：Ai、Aj、Am 表示，表示，0iL0jL0mL(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)令：令：,AALii,AALjjAALmm（）第72页/共100页P点的位置完全由此确定，即点的位置完全由此确定，即),(mjiLLLP 称为称为面积坐标面积坐标mjiLLL,其中：其中：A 为三角形单元的面积，有为三角形单元的面积，有显然，有显然，有1,0mjiLL

39、LAAAAmjii jm P(x,y)AiAmAj(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)0iL0jL0mL(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),AALii,AALjjAALmm第73页/共100页面积坐标的特点：面积坐标的特点：（1 1）mjiLLL,角点值：角点值：)0 , 0 , 1 ( i)0 , 1 , 0( j) 1 , 0 , 0(m（2 2）单元三边的方程：）单元三边的方程：jm边：边：0iLmi边：边：0jLij边：边：0mLi jm P(x,y)AiAmAj(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)0iL0jL0mL(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),AAL

40、ii,AALjjAALmm第74页/共100页di（3 3）平行于单元边界直线上的面积坐标值：）平行于单元边界直线上的面积坐标值：l如：直线如：直线 l 平行于边平行于边 jm则直线则直线 l 任一点任一点 Li 值，有值，有AALiiAdlijm2（4 4）mjiLLL,不独立不独立mjiLLL1AAAAAAmji 与单元的与单元的具体形状具体形状、整体、整体坐标坐标x、y无关。无关。（5 5）mjiLLL,为三角单元的为三角单元的局部坐标局部坐标常数i jm P(x,y)AiAmAj(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)0iL0jL0mL(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)第75

41、页/共100页i jm P(x,y)AidiAmAj0iL0jL0mL(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)l2. 2. 面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系Ai 的值：的值：mmjjiyxyxyxA11121)(21mjmjxyyxyxxxyyjmmj)()()(21ycxbaAiiiiiaibicAALii)(21ycxbaAiii),(yxNi（）（）AALjj)(21ycxbaAjjj),(yxNjAALmm)(21ycxbaAmmm),(yxNm第76页/共100页yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji121（）用整体坐标用整体坐标 x、y 表示面积坐

42、标表示面积坐标 Li、Lj、Lm。mmjjiiLxLxLxxmmjjiiLyLyLyymjiLLL1用矩阵表示，有用矩阵表示，有mjimjimjiLLLyyyxxxyx1111（）将将mjiLLL,分别乘以分别乘以xi、xj、xm，并相加，有，并相加，有用面积坐标用面积坐标 Li、Lj、Lm表示整体坐标表示整体坐标 x、y 。第77页/共100页3. 3. 面积坐标微积分运算面积坐标微积分运算)(21ycxbaALiiii由由有：有：,2AbxLiiAcyLii2),(mjixxLLiixLLjjxLLmmmmjjiibLbLbLA21yyLLiiyLLjjyLLmmmmjjiicLcLcLA

43、21微分运算微分运算（）第78页/共100页积分运算积分运算（1 1）面积坐标）面积坐标 Li、Lj、Lm的幂函数在三角形全面积上的积分：的幂函数在三角形全面积上的积分：dxdyLLLcmbjAaiAcbacba2)!2(! ! !（）（2 2）面积坐标）面积坐标 Li、Lj、Lm的幂函数在三角形某一边（的幂函数在三角形某一边（i-j）上的积分：）上的积分：dSLLlbjailbaba)!1( ! !（）, 0dSLLlcmai0dSLLlcmbj)0(mL第79页/共100页如：如：dxdyLAiA2)!2001 (! 0 ! 0 ! 13AdxdyLAi2A2)!2002(! 0 ! 0

44、! 26AdxdyLLAjiA2)!2011 (! 0 ! 1 ! 112A第80页/共100页4. 4. 面积坐标给出的三角形单元的插值函数面积坐标给出的三角形单元的插值函数（1 1） 线性单元线性单元3 3节点三角形单元节点三角形单元01L02L03L1 23(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),11LN ,22LN 33LN iiLN 3 , 2 , 1i（）第81页/共100页（2 2） 二次单元二次单元6 6节点三角形单元节点三角形单元1 23(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)45621,0,2121,21,00,21,21211L0121L212L0122L213L0

45、123L3 3个角点：个角点：1N1L) 12(1Lk将将1 1节点的面积坐标：节点的面积坐标：L1= =1代入代入) 112(11 kN1求得：求得：1k) 12(111LLN所求所求 N1 为为同理：同理：) 12(222LLN) 12(333LLN第82页/共100页1 23(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)45621,0,2121,21,00,21,2103L01L02L3 3个中点：个中点：4N1L2Lk将将4 4节点的坐标：节点的坐标：L1= = L2 = =1/2 代入代入21214kN1求得：求得：4k2144LLN 所求所求 N4 为为5N2L3Lk将将4 4节点的坐

46、标：节点的坐标：L2= = L3 = =1/2 代入代入21215kN1求得：求得：4k3254LLN 所求所求 N5 为为同理：同理：1364LLN 第83页/共100页1364LLN 综合得：综合得：) 12(111LLN) 12(222LLN) 12(333LLN2144LLN 3254LLN ) 12(iiiLLN)3 , 2 , 1( i（）1 23(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)45621,0,2121,21,00,21,2103L01L02L第84页/共100页（3 3） 三次单元三次单元1010节点三角形单元节点三角形单元123456789100131L0231L01

47、32L0232L0133L0233L01L02L03L)23)(13(211111LLLN)23)(13(212222LLLN)23)(13(213333LLLN第85页/共100页) 13(291214LLLN) 13(292215LLLN) 13(292326LLLN) 13(293327LLLN) 13(293138LLLN) 13(291139LLLN3211027LLLN 123456789100131L0231L0132L0232L0233L01L02L03L第86页/共100页5. 5. 采用面积坐标时，单元矩阵的计算采用面积坐标时，单元矩阵的计算单元刚度矩阵单元刚度矩阵ePtdxdyeeb fNPyxfff 体力向量体力向量eetdxdykDBBesrrstdxdykDBB单元等效结点载荷矩阵单元等效结点载荷矩阵ekiyixibPPPeyxiitdxdyffNN 00体力引起：体力引起：第87页/共100页tdSeSeSTNPyxTTT 面力向量面力向量iyixiSPPPeSyxiitdSTTNN 00边界面力引起：边界面力引起：dxdyLLLcmbjAaiAcbacba2)!2(! ! !（）dSL