上海高二数学矩阵及其运算有详细问题详解

1、实用文案 文案大全 上海版高二上数学 矩阵及其运算 一初识矩阵 （一）引入： 引例1：已知向量?1,3OP ? ，如果把OP的坐标排成一列，可简记为13?； 引例2：2008 年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?； 引例3：将方程组231324244xymzxyzxynz?中未知数zyx,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441mn?；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414mn?。 （二）矩阵的概念 1、上述形如13?、512128363836232128?、2332441mn?、2313242414mn?这

2、样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量?12,naaa?称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12nbbb?称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn?阶矩阵，mn?阶矩阵可记做mnA?，如矩阵13?为21?阶矩阵，可记做21A?；矩阵512128363836232128?为33?阶矩阵，可记做33A?。有时矩阵也可用A、B等字母表示。 奖项 国家（地区） 金牌 银牌 中国 51 21 28 美国 36 38 36 俄罗斯 23 21 28 实用文案 文案大全 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn?阶矩阵mnA?中的第i（im?）行第j（jn?）

3、列数可用字母ija表示，如矩阵512128363836232128?第3行第2个数为3221a?。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?为一个23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128?、2332441mn?均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?为2阶单位矩阵，矩阵100010001?为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A与矩阵B的

4、行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB?。 7、对于方程组231324244xymzxyzxynz?中未知数zyx,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441mn?，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414mn?叫做方程组的增广矩阵。 （三）、应用举例： 例1 、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表： 各阶段姓 第1组 第2组 第3组 第4组 总成绩张娟26272928110朴成29262628109 （1）将两人的

5、成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。 实用文案 文案大全 例2、已知矩阵222,22xxybaABxabyxy?且AB?，求a、b的值及矩阵A。 例3、写出下列线性方程组的增广矩阵： （1）23146xyxy?； （2）23203250230xyzxyzxyz? 例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组： （1）235124? （2）210203213023? 例5、已知矩阵sincos0sincos1? 为单位矩阵，且,2?，求?sin?的值。 （四）、课堂练习： 1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1?

6、 表示，相同则为0）。 实用文案 文案大全 2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下： 中国平新西兰11 巴西胜比利时10 中国负比利时02 巴西胜新西兰50 中国负巴西03 比利时胜新西兰01 （1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列） （2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同） （3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。 二、矩阵的三种基本变换 （一）、复习引入： 引例、根据下列增广矩阵，写出

7、其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？ （1）213322? （2）322213? （3）1312222133? （4 （5 ）108113066? （6）1080113? （二）、矩阵的三种基本变换新课讲解： 通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换： （1）互换矩阵的两行； （2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。 显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 （三）、应用举例： 例1

8、、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计实用文案 文案大全 462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”） 例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238xyzxyzxyz?的解。 例3、运用矩阵变换方法解方程组：322axyxyb?（a、b为常数） 说明：（1）符合情况）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解； 实用文案 文案大全 （3）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。 （四）、课

9、堂练习： 用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2(1)(1)4xykxky?的解x与y相等，求k的值。 （2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？ （3）解方程组：320255781xyzxyzxyz? 三、矩阵运算 （对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1相等 定义 如果两个矩阵?nmijaA?，?psijbB?满足： (1) 行、列数相同，即 pn

10、sm?,； (2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )， 则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B （由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵 A =?232221131211aaaaaa， B =?412503 第一次称量 第二次称量 实用文案 文案大全 那么A = B，当且仅当 a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而 C = ?22211211cccc 因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c1

11、2, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等. 2加法 定义2.3 设?nmijaA?，?psijbB?是两个mn矩阵，则称矩阵 C = ?mnmnmmmmnnnnbababababababababa?221122222221211112121111 为A与B的和，记作 C = A + B = ?ijijba? （由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =?ijijba? 称D为A与B的差. 例1 设矩阵A =?152403， B =?130432，求A + B，A - B. 例2、矩

12、阵coscos0tan1A?，00tantantanB? ，201017C?，若ABC? ，(0,)2? ，(,)2? ，求sin2?的值。 矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A； 实用文案 文案大全 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘 定义2.4 设矩阵?nmijaA?，?为任意实数，则称矩阵?nmijcC?为数?与

13、矩阵A的数乘，其中),2,1;,2,1(njmiacijij? ?，记为 C =?A （由定义2.4可知，数?乘一个矩阵A，需要用数?去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当? = -1时，?A = -A，得到A的负矩阵.） 例3 设矩阵A =?062504713，用2去乘矩阵A，求2A. 数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l和矩阵A = ?nmija?，B =?nmijb?满足以下运算规则： 1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA

14、) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A. 例4 设矩阵 A =?610523，B =?712834，求3A - 2B. 例5给出二元一次方程组111222axbycaxbyc?存在唯一解的条件。 实用文案 文案大全 4乘法 某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润 A = ?91811251020 B = ?2.158.05.3 用矩阵C = ?23?ijc表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入

15、和总利润，那么C中的元素分别为 ， 即 C =?323122211211cccccc= ?2.198.018595.3182.1118.0255115.3252.1108.0205105.320 =?2.251082.335.14228120 其中，矩阵C中的第行第j列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j列对应元素的乘积之和. 矩阵乘积的定义 设A=?ija是一个ms矩阵，B=?ijb是一个sn矩阵，则称mn矩阵C =?ijc为矩阵A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2,

16、 , n ). （由矩阵乘积的定义可知：） (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则. 例6 设矩阵 A = ?530412， B = ?10789，计算AB. 丙 I II 总 收 入 总 利 润 实用文案 文案大全 例7 设矩阵 A = ?2142，B =?1122， 求AB和BA. 由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩

17、阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变. 在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O，不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论. 一般地，当乘积矩阵AB = AC，且AO时，不能消去矩阵A，而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律. 那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C）

18、= AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数. 例8：已知?0110A，矩阵12B?，求AB。 解：21AB?，这可以看作向量12?经过矩阵变换为向量21?。变换后的向量与原向量关于直线yx?对称。 练习：已知1001A?，矩阵uBv?，（1）求AB；（2）说明矩阵A对向量B产生了怎样的变换。 练习：计算下列矩阵的乘法 实用文案 文案大全 （1）1212()nnbbaaab? ?；（2）1212()nnaabbba? ?。 例9、已知矩阵?)(xfA?，?xxB?1，?a2xC，若A=

19、BC，求函数)x(f在1,2 上的最小值. 例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式 （1）21437xyxy?；（2）2314231241xyzxyzxyz?。 例11：若ABBA?，矩阵B就称为与A可变换，设1101A?，求所有与A可交换的矩阵B。 例12、?102101A,求),3,2(?kAk 实用文案 文案大全 练习:设1101A?，求2A、3A，猜测*()nAnN?并证明。 5转置 矩阵转置的定义 把将一个mn矩阵 A =?mnmmnnaaaaaaaaa?212222111211 的行和列按顺序互换得到的nm矩阵，称为A的转置矩阵，记作A?，即 A? = ?mnnnmmaaaaa

20、aaaa?212221212111 由定义2.6可知，转置矩阵A?的第行第j列的元素等于矩阵A的第j行第列的元素，简记为 A?的（，j）元 = A的（j，）元 矩阵的转置满足下列运算规则： 1. )(?A= A； 2. )(?BA=A? +B?； 3. )(?kA = kA? , ( k为实数)； 4. )(?AB=B?A?. 高二数学讲义第十八讲（130812）课后作业 （本试卷共19题，时间45分钟，满分100分） 实用文案 文案大全 班级： 姓名： 一、选择题(每小题4分,共15个小题,共60分) 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不

21、充分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组?1y2x2y3x2其中正确的是（ ） A、?122132yx B、?122312yx C、?122132yx D、?121223yx 3、若211403201453AB?，且23AXB?，则矩阵X?_. 4、点A（1，2）在矩阵?1022对应的变换作用下得到的点的坐标是_ 5、已知?ba2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= . 6、若点 A)22,22(在矩阵?cossinsincos对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么= . 7、若点A在矩阵1222?对应的变换作用下下

22、得到的点为（2，4），那么点A的坐标为 . 8、已知?1sincossincos1?A ，?1221B若A=B，那么+= . 9、设A为二阶矩阵，其元素满足，0aajiij?i=1，2，j=1，2，且2aa2112?，那么矩阵 A= . 10：46xAy?，13uBv?，且AB?，那么A+AB= 。 11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)?，那么该线性方程组为 。 实用文案 文案大全 12、计算: 若矩阵13cos60sin6022sin60cos603122AB?，则AB?_. 13、计算：342112546110221?= . 14. 线性方程组60

23、3540xyxy?对应的系数矩阵是_，增广矩阵是_. 15、 已知矩阵2301(1,2)123ABC?，则()ABC?_. 二、简答题 1. 已知1011A?，分别计算23AA、，猜测*(2)nAnn?N，； 2. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: 32110250xyxy?； 111612102113xyz?. 实用文案 文案大全 3. 若202137xy?，则xy?_. 4、已知矩阵?)(xfA?，?xxxBsin2cossin?，?xxCsincos，若A=BC，求函数)x(f 在3,0?上的最小值. 实用文案 文案大全 老师讲义 2013年暑期高二数学讲义第十八讲

24、（130812） 矩阵及其运算 一初识矩阵 （一）引入： 引例1：已知向量?1,3OP ? ，如果把OP的坐标排成一列，可简记为13?； 引例2：2008 年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?； 引例3：将方程组231324244xymzxyzxynz?中未知数zyx,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441mn?；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414mn?。 （二）矩阵的概念 1、上述形如13?、512128363836232128?、2332441mn?、2313242414mn?这样的矩形数表叫做矩阵

25、。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量?12,naaa?称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12nbbb?称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn?阶矩阵，mn?阶矩阵可记做mnA?，如矩阵13?为21?阶矩阵，可记做21A?；矩阵512128363836232128?为33?阶矩阵，可记做33A?。有时矩阵也可用A、B等字母表示。 奖项 国家（地区） 金牌 银牌 中国 51 21 28 美国 36 38 36 俄罗斯 23 21 28 实用文案 文案大全 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn?阶矩阵mnA?中的第i（im?）行第j（jn?）列数可用字母ija表

26、示，如矩阵512128363836232128?第3行第2个数为3221a?。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?为一个23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128?、2332441mn?均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?为2阶单位矩阵，矩阵100010001?为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，

27、那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB?。 7、对于方程组231324244xymzxyzxynz?中未知数zyx,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441mn?，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414mn?叫做方程组的增广矩阵。 （三）、应用举例： 例1 、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表： 各阶段姓 第1组 第2组 第3组 第4组 总成绩张娟26272928110朴成29262628109 （1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵

28、表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。 解：（1）2627292811029262628109? （2）有两个行向量，分别为：?126272928110a?， ?229262628109a?， 实用文案 文案大全 它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩； 有五个列向量，分别为1234526272928110,29262628109bbbbb? ? 它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。 例2、已知矩阵222,22xxybaABxabyxy?且AB?，求a、b的值及矩阵A。 解：由题意知：22xyxy?解得：24xy?，又由222214baxabxy?解得：26ab?， 2

29、2414A? 例3、写出下列线性方程组的增广矩阵： （1）23146xyxy?； （2）23203250230xyzxyzxyz? 解：（1）231416?； （2）123213252113? 例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组： （1）235124? （2）210203213023? 解：（1）23524xyxy? （2）22321323xyyzxz? 例5、已知矩阵sincos0sincos1? 为单位矩阵，且,2?，求?sin?的值。 解：由单位矩阵定义可知：sincos1sincos0? ，,2? ? ，234? ? ?2sinsin42?。 （四）、课堂练习： 1、请

30、根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1? 表示，相同则为0）。 实用文案 文案大全 解：011101110? 2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下： 中国平新西兰11 巴西胜比利时10 中国负比利时02 巴西胜新西兰50 中国负巴西03 比利时胜新西兰01 （1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列） （2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同） （3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、

31、（2）两个矩阵确定各队名次。 解：（1）0320301521010510?（2）0001303330031000?（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。 二、矩阵的三种基本变换 （一）、复习引入： 引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？ （1）213322? （2）322213? （3）1312222133? （4 （5 ）108113066? （6）1080113? 解：这些方程组为23322xyxy?；32223xyxy? ；13222233xyxy?； 132211366xyy? ；

32、811366xy?；813xy?。 这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。 （二）、矩阵的三种基本变换新课讲解： 通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换： （1）互换矩阵的两行； （2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； 实用文案 文案大全 （3）某一行乘以一个数加到另一行。 显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 （三）、应用举例： 例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来

33、自网上“新鸡兔同笼问题”） 解：设一元硬币有x个，五角硬币有y 个，则根据题意可得：4620.52165132xyxy? 则该方程组的增广矩阵为11462112165264A?，设、分别表示矩阵A的第1、2行，对矩阵A进行下列变换： 11462112165264? ? ? 1146211 6658? ? 114623 1320405? 1146201352? 1011001352? 由最后一个矩阵可知：110352xy? 答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。 例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238xyzxyzxyz?的解。 解：此方程对应的增广矩阵为：4315721

34、45238? 设此矩阵第1、2、3行分别为、，对此矩阵进行下列变换： 431572145238? 115097214264020? 115097214131052? 43001626016131052? ?33? 不变 15?加到 不变 403? 不变 (1)?加加到 3?加(2)?加(5)?加不变 14? 、不变 实用文案 文案大全 32100436016131052? 3210 04366001437 01043 ? ? 3210 0437010436600143?， ?此方程组的解为32437436643xyz? 说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量；

35、 2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据数字的特点，运用适当的程序进行化简运算。 例3、运用矩阵变换方法解方程组：322axyxyb?（a、b为常数） 解：此方程组对应的增广矩阵为：3221ab?，设、分别表示此矩阵的第1、2行， 对此矩阵进行下列变换：3221ab? 602321abb? ）当60a?，即6a?时，以上矩阵可作如下变换： 2310621bab? 231064016baaba? 231064016baaba?，?此时方程有唯一解23646bxaabya?； ）当60a?即6a?时，若230b?即23b?时，方程组无解； ）当60a?即6a?时且23b?时，方程组

36、有无穷多解，它们均符合6320xy?。 说明：（1）符合情况）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解； （3）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。 （四）、课堂练习： 用矩阵变换方法解下列问题： 2()43? 、不变 6?加到 13()2?加不变 交换、 不变 3?加到 不变 16a? 不变 (2)?加到 不变 (1)? 不变 实用文案 文案大全 （1）若方程组2(1)(1)4xykxky?的解x与y相等，求k的值。 解：1121121121140262013kkkk?101013k

37、k? 解得13xkyk?，由题意知：13kk?求得：2k?。 （2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？ 解：设黑球和白球的质量各为x、y千克，则由题意知：25310xyxy? 通过矩阵变换1251251251033110055011011? 解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。 （3）解方程组：320255781xyzxyzxyz? 解：3210055150113112511251125578101222606113? 011301130102101210121001005500110

38、011? 100101020011?即方程组的解为121xyz?。 三、矩阵运算 （对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1相等 定义 如果两个矩阵?nmijaA?，?psijbB?满足： 第一次称量 第二次称量 实用文案 文案大全 (1) 行、列数相同，即 pnsm?,； (2) 对应元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )， 则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B （由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mn矩阵相

39、等，等价于元素之间的mn个等式.）例如，矩阵 A =?232221131211aaaaaa， B =?412503 那么A = B，当且仅当 a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而 C = ?22211211cccc 因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等. 2加法 定义2.3 设?nmijaA?，?psijbB?是两个mn矩阵，则称矩阵 C = ?mnmnmmmmnnnnbababababababababa?221122222221211112121

40、111 为A与B的和，记作 C = A + B = ?ijijba? （由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =?ijijba? 称D为A与B的差. 例1 设矩阵A =?152403， B =?130432，求A + B，A - B. 解 ： A + B = ?152403+?130432 = ?11)3(5024430)2(3=?022031 A - B = ?152403-?130432 实用文案 文案大全 =?11)3(5024430)2(3=?282835 例2、矩阵coscos0tan1A?，00tantantanB? ，201017C?，若ABC? ，(0,)2? ，(,)2? ，求sin2?的值。 解：由A+B=C知： ?710102tantan1tantan0coscos? cos cos =102? tan + tan=-1; 1-tan tan =7 71tantan1tantan)tan(? ，知Zkkk?),2(? 由于(0,)2? ，(,)2? 知：)23,2(? 从而),2(?, 有)2,4(2? 102)sin(? ;1027)cos(? , 2027102102712)cos(1