上海市闸北区2013年高考一模数学理试题

1、 闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷（一模） 考生注意： 1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码 3. 本试卷共有18道试题，满分150分考试时间120分钟 一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分 1已知2()2aii?，其中i是虚数单位，那么实数a? 2已知52)1(px?的展开式中，6x的系数为80，则?p 3设?na 是公比为21的等比数列，且4)(lim1253

2、1?nnaaaa，则?1a 4 设双曲线221916xy?的右顶点为A，右焦点为F过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则AFB?的面积为 5函数?.0),1(,0,2)(1xxf则(3.5)f的值为 6一人在海面某处测得某山顶C的仰角为?)450(?，在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为?90，则该山的高度为 米（结果化简） 7已知点P在抛物线24yx?上，那么点P到点(21)Q?，的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 8甲、乙、丙3人安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外

3、两位前面不同的安排方法共有 种 9（理） 设不等式1)11(log?xa的解集为D，若D?1，则?D 10（理）设函数?.0,2sin2,0,2)(xxxxxfx 则方程1)(2?xxf的实数解的个数为 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11（理）曲线)0(0622?yxyx与直线)2(?xky有公共点的充要条件是【 】 A ?0,43k B ?34,0k C ? ? ?43,0k D?43,43k 12已知向量a ，b 满足：1| |?ba ，且|3|bkabak?（

4、0?k）则向量a与向量b的夹角的最大值为 【 】 A6? B3? C65? D32? 13以下四个命题中，真命题的个数为 【 】 集合?4321,aaaa的真子集的个数为15； 平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角； 设Czz?21,，若02221?zz，则01?z且02?z； 设无穷数列?na的前n项和为nS，若?nS是等差数列，则?na一定是常数列 A0 B1 C2 D3 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤 14（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 已知函数)cos(sincos)(xxx

5、xf?，R?x （1）请指出函数)(xf的奇偶性，并给予证明； （2）当? 2,0?x时，求)(xf的取值范围 15（理）（本题满分14分） 如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内 种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个 形状相同、大小相等的矩形中试验田四周和三个种植区 域之间设有1米宽的非种植区已知种植区的占地面积为 800平方米，问：应怎样设计试验田ABCD的长与宽， 才能使其占地面积最小？最小占地面积是多少？ 16（理）（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分） 假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念由指数函数)10

6、()(?aaaxfx且在实数集R上是单调函数，可知指数函数)10()(?aaaxfx且存在反函数)(1xfy?，?x?,0请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题： （1）对于任意的正实数21,xx，都有?)(211xxf)()(2111xfxf?； （2）函数)(1xfy?是单调函数 17（理）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分） 设点)0,(1cF?，)0,(2cF分别是椭圆)1(1:222?ayaxC的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且?1PF2PF最小值为0 （1）求椭圆C的方程； （2）设定点)0,(mD，已知过点2F且与坐标轴不

7、垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，满足BDAD?，求m的取值范围 18（理）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） 若数列?nb满足：对于?Nn，都有dbbnn?2（常数），则称数列?nb是公差为d的准等差数列如：若?.9414为偶数时，当为奇数时；，当nnnncn 则?nc是公差为8的准等差数列 （1）求上述准等差数列?nc的前9项的和9T； （2）设数列?na满足：aa?1，对于?Nn，都有naann21?求证：?na为准等差数列，并求其通项公式； （3）设（2）中的数列?na的前n项和为nS，试研究：是否存在实数a，使得数列?nS有连续的两项都等于50若

8、存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由 闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷答案 一、11?； 22； 33； 4310； 5 22； 6?2tan21m； 7114?，； 820； 9?0,11a； 10（理）3；（文）2 二、11C 12B 13B 三、14解：2142sin22)(?xxf （3分） （1）?8212218?ff?，)(xf?是非奇非偶函数 （3分） 注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如01)0(?f?，)(xf?不是奇函数 （2）由?2,0?x，得45424?x，142sin22?x （4分） 所以2122142sin220?x即?212,0)(xf （2分

9、） 15解：设ABCD的长与宽分别为x和y，则 800)2)(4(?yx （3分） 42792?xxy （2分） 试验田ABCD的面积?xyS4)2792(?xxx （2分） 令tx?4，0?t，则96880832002?ttS， （4分） 当且仅当tt32002?时，40?t，即44?x，此时，22?y （2分） 答: 试验田ABCD的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. （1分） 16（理）证明：（1）设)(111xfy?，)(212xfy?，由题意，有11yax?，22yax?，（2分） 所以212121yyyyaaaxx?， （3分） 所以，)(21121xxfyy

10、?，即?)(211xxf?)(11xf)(21xf? （2分） （2）当1?a时，)(1xfy?是增函数 证明：设021?xx，即021?yyaa，又由指数函数)1(?aayx是增函数，得 21yy?，即?)(11xf)(21xf? （4分） 所以，当1?a时，)(1xfy?是增函数 （2分） 同理，当10?a时，xyalog?是减函数 （2分） 16（文）解（1）任取),0(,21?xx，21xx?，则由210xx? （2分） 由)(xfy?在区间)0,(?上是单调递减函数，有)()(21xfxf?， （3分） 又由)(xfy?是奇函数，有)()(21xfxf?，即)()(21xfxf? （

11、3分） 所以，函数)(xfy?在区间),0(?上是单调递减函数 （1分） （2）如?.0,2,0,0,0,2)(xxxxxxf 或?.0,0,0,1)(xxxxf等 （6分） 17（理）解：（1）设),(yxP ，则有),(1ycxPF? ，),(2ycxPF? （1分） ?aaxcxaacyxPFPF,11222222221? （3分）由题意，210122?acc， （2分） 所以，椭圆C 的方程为1222?yx （1分） （2）由(1)得(1,0)F，设l的方程为(1)ykx?， （1分） 代入2212xy?，得2222(21)4220kxkxk? （2分） 设1122(,),(,)Axy

12、Bxy ，则22121222422,2121kkxxxxkk?， 121222(2)21kyykxxk? 设AB的中点为M ，则)12,122(222?kkkkM， （2分） BDAD?，ABDM?，即1?ABCMkk 22224220(12)2121kkmkmkmkk? （2分） 因为直线l 不与坐标轴垂直的，所以.212mmk? ?021mm210?m （2分） 17（文）解：（1）由题意，可求得)0,1(1?F，)0,1(2F （1分） 设),(yxP ，则有),1(1yxPF? ，),1( 2yx PF? （3分） ?2,2,21122221 ? ?xxyxPFPF （2分） 所以，?

13、1,021?PFPF （1分） （2）设直线AB的方程为 )0)(1(?kxky， （1分） 代入1222?yx，整理得0224)21(2222?kxkxk，（*） （2分） 因为直线AB过椭圆的左焦点1F，所以方程*有两个不相等的实根 设),(11yxA，),(22yxB，AB中点为),(00yxM，则 1242221?kkxx ，122220?kkx ，1220?kky （2分） 线段AB的垂直平分线NG 的方程为)(100xxkyy? （1分） 令0?y ，则241211212122222222200?kkkkkkkkyxxG（2分） 因为0?k，所以021?Gx即点G横坐标的取值范围为

14、?0,21 （1分） 18（理）解：（1 ）.21124)4117(25)353(9?T （4分） （2）naann21?（?Nn） )1(221?naann -得22?nnaa（?Nn） （2分） 所以，?na为公差为2的准等差数列 （1分） 当n为偶数时，annaan?2122， （2分） 当n 为奇数时，解法一：12121?annaan； （2分） 解法二： ?11)1(2)1(21?anannanann； 解法三：先求n为奇数时的na，再用求n为偶数时的na同样给分 ?为偶数）（为奇数）（nannanan,1 （1分） （3）解一： 当n 为偶数时，? ?221221222222122

15、2nnnnannnaSn?； （1分） 当n 为奇数时，? ?2212121212221212121?nnnannnaSn21212?an （1分） 当k为偶数时，50212?kSk，得10?k （1分） 由题意，有10502192129?aaS； （1分） 或1050211121211?aaS （1分） 所以，10?a （1分） 解二：当n为偶数时，naann21?, ?2211312nnSn? （1分） 当n为奇数时，1)1(2121?annaSSnn n21212?an （1分） 以下与解法一相同 18（文）解：（1）418?c，359?c （2分） .21124)4117(25)353(9?T （4分） （2）naann21? )1(221?naann -得22?nnaa 所以，?na为公差为2的准等差数列 （2分）当n为 奇数时，12121?annaan； （2分） 当n 为偶数时，annaan?2122， （2分） ?为偶数